Bac à sable de causalité

Génère des données synthétiques à partir de différentes structures causales et observe comment la corrélation et la pente évoluent.

Exemple résolu — Bac à sable de causalité

r(X,Y)	−0.8871
Pente Y~X	−0.8077
r(X,Z)	0.9452
r(Y,Z)	−0.9315

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pourquoi les graphes causaux valent mieux que les tableaux de corrélation 🖖

Une corrélation indique que deux variables évoluent ensemble — pas pourquoi. Le même chiffre peut provenir de trois structures fondamentalement différentes :

Cause directe (X → Y) : supprimer X modifie Y.
Facteur de confusion (Z → X, Z → Y) : Z cause les deux ; X et Y sont corrélées, mais aucune ne cause l'autre. Contrôler pour Z fait disparaître la corrélation.
Collision (X → Z ← Y) : X et Y sont indépendantes, mais si l'on sélectionne ou conditionne sur Z, on crée un lien artificiel entre elles.

Le graphe orienté acyclique (DAG) du graphique code quelles variables sont des causes et lesquelles sont des effets. Sans lui, impossible de distinguer ces cas à partir d'un seul coefficient de corrélation — c'est pourquoi l'inférence causale part toujours d'un modèle structurel, jamais d'une matrice de corrélation.

la corrélation observe, la causalité agit 🖖

Tout se joue ici dans l’écart entre observer une variable et agir sur elle. Variables de confusion et collisionneurs vous induisent également en erreur, car vous ne voyez jamais que des données déjà façonnées par un mécanisme caché. Une expérience randomisée permet de trancher : déterminer X à pile ou face coupe toutes les flèches qui aboutissent à X. Toute corrélation avec Y qui subsiste est donc nécessairement causale. Voilà pourquoi un essai contrôlé peut résoudre une question qu’aucune quantité de données observationnelles ne suffirait à élucider.

le paradoxe des admissions de Berkeley 🖖

Le scénario de Simpson n'a rien d'un jouet. En 1973, les admissions en cycle supérieur de UC Berkeley affichaient environ 44% d'hommes admis contre 35% de femmes, laissant soupçonner un biais. Pourtant, département par département, les femmes étaient admises à des taux légèrement supérieurs : elles avaient simplement candidaté bien plus nombreuses dans les départements les plus sélectifs. L'agrégation entre départements inversait la tendance interne à chaque groupe — exactement le renversement que trace la ligne pointillée de cet outil.

Problème entièrement résolu

Corrélation de −0,887 sur 400 points avec Z maintenu fixe 6 étapes
X et Y présentent une corrélation de −0,887 sur 400 points. Calculez la part qui subsiste une fois Z maintenu fixe, et indiquez le degré de confiance permis pour chacun des deux nombres.
1. Trois corrélations, toutes mesurées à partir des mêmes 400 points. Tout ce qui suit repose uniquement sur l'arithmétique de ces trois nombres — aucun accès supplémentaire aux données n'est nécessaire, ce qui en fait l'aspect pratique.
  
  $r_{X Y} = - 0.8871, r_{X Z} = 0.9452, r_{Y Z} = - 0.9315$
2. La corrélation partielle cherche à déterminer ce qu'il reste de la relation X–Y une fois soustraite la part de chacun expliquée par Z. La formule est la corrélation des deux résidus, exprimée en fonction des corrélations brutes.
  
  $r_{X Y \cdot Z} = \frac{r _{X Y} - r _{X Z} r _{Y Z}}{( 1 - r _{X Z}^{2} ) ( 1 - r _{Y Z}^{2} )}$
3. C'est au numérateur que se joue la réponse. L'effet de Z sur X multiplié par l'effet de Z sur Y représente 0,8805 sur les 0,8871 observés — la corrélation est une ombre, pas un signal.
  
  $numerator = - 0.8871 - (0.9452) (- 0.9315) = - 0.8871 + 0.8805 = - 0.0066$
4. Le dénominateur ne fait que changer l'échelle. Remarquez qu'il est construit à partir de la variance non expliquée par Z, ce qui explique pourquoi un Z qui explique presque tout rend l'estimation instable.
  
  $denominator = 0.1066 \times 0.1322 = 0.1188 ⟹ r_{X Y \cdot Z} = - 0.055$
5. Associons maintenant une barre d'erreur à chacun des deux. La transformation de Fisher convertit une corrélation en une grandeur approximativement normale, et la multiplier par √(n−3) donne la distance à zéro en erreurs-types.
  
  $z = \frac{1}{2} ln \frac{1 + r}{1 - r} n - 3 : r = - 0.8871 \Rightarrow z = - 28.1; r = - 0.0553 \Rightarrow z = - 1.10$
6. Pour une vérification rapide, l'erreur-type de r proche de zéro est 1/√(n−3). À 0,050, une corrélation partielle de −0,055 s'écarte d'une erreur-type.
  
  $SE (r) \approx \frac{1}{n - 3} = \frac{1}{397} = 0.050$
Réponse

Presque rien n'en subsiste : −0,0553. En convertissant les deux en z de Fisher, la corrélation brute se situe à 28 erreurs-types de zéro, tandis que la corrélation partielle se situe à 1,1 — la différence entre ce qu'il y a de plus certain dans le jeu de données et un résultat que l'on attendrait du bruit un quart du temps. Deux mises en garde accompagnent ce résultat. La corrélation partielle est la différence entre deux nombres presque égaux, 0,8871 et 0,8805, si bien que les quatre chiffres fournis n'en rapportent à peine que deux dans le résultat. Et cette arithmétique ne permet pas de dire si Z est un facteur de confusion plutôt qu'un médiateur ; cela provient du fait de savoir ce qu'est Z. Conditionner par un médiateur détruit un effet réel tout aussi radicalement que conditionner par un facteur de confusion détruit un faux effet.

$r_{X Y} = - 0.8871 ⟶ r_{X Y \cdot Z} = - 0.0553 28 σ ⟶ 1.1 σ$

Références (1)

Insight block 3 — Simpson's paradox in the case that made it famous: P. J. Bickel, E. A. Hammel and J. W. O'Connell, "Sex Bias in Graduate Admissions: Data from Berkeley." Science 187(4175), 398–404, 1975.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-06-04

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Exemples de problèmes

Causal - X cause Y, sans aucune autre cause : r = 0,9401, et maintenir Z constant donne encore 0,9400. Z n’est relié par aucune flèche dans ce graphe ; le contrôler ne change donc rien. C’est le cas témoin.
Confusion - Entre X et Y, r = -0,8871, alors qu’aucune de ces variables ne cause l’autre. Lorsque Z est maintenu constant, r tombe à -0,0553 : cette corrélation provenait presque entièrement de Z.
Collision - X et Y sont indépendants par construction. Une sélection selon Z conserve 143 points sur 400 et fait déjà apparaître r = -0,4288 ; conditionner en plus par Z le porte à -0,8127. Cette association est entièrement artificielle.
Simpson - La pente sur l’ensemble des données vaut +0,121, tandis que celles des deux sous-groupes valent -0,619 et -0,624. Toutes les tendances individuelles descendent, mais la tendance agrégée monte.