Bac à sable de causalité

Génère des données synthétiques à partir de différentes structures causales et observe comment la corrélation et la pente évoluent.

Exemple résolu — Bac à sable de causalité

r(X,Y)	−0.8871
Pente Y~X	−0.8077
r(X,Z)	0.9452
r(Y,Z)	−0.9315

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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pourquoi les graphes causaux valent mieux que les tableaux de corrélation 🖖

Une corrélation indique que deux variables évoluent ensemble — pas pourquoi. Le même chiffre peut provenir de trois structures fondamentalement différentes :

Cause directe (X → Y) : supprimer X modifie Y.
Facteur de confusion (Z → X, Z → Y) : Z cause les deux ; X et Y sont corrélées, mais aucune ne cause l'autre. Contrôler pour Z fait disparaître la corrélation.
Collision (X → Z ← Y) : X et Y sont indépendantes, mais si l'on sélectionne ou conditionne sur Z, on crée un lien artificiel entre elles.

Le graphe orienté acyclique (DAG) du graphique code quelles variables sont des causes et lesquelles sont des effets. Sans lui, impossible de distinguer ces cas à partir d'un seul coefficient de corrélation — c'est pourquoi l'inférence causale part toujours d'un modèle structurel, jamais d'une matrice de corrélation.

la corrélation observe, la causalité agit 🖖

Tout se joue ici dans l’écart entre observer une variable et agir sur elle. Variables de confusion et collisionneurs vous induisent également en erreur, car vous ne voyez jamais que des données déjà façonnées par un mécanisme caché. Une expérience randomisée permet de trancher : déterminer X à pile ou face coupe toutes les flèches qui aboutissent à X. Toute corrélation avec Y qui subsiste est donc nécessairement causale. Voilà pourquoi un essai contrôlé peut résoudre une question qu’aucune quantité de données observationnelles ne suffirait à élucider.

le paradoxe des admissions de Berkeley 🖖

Le scénario de Simpson n'a rien d'un jouet. En 1973, les admissions en cycle supérieur de UC Berkeley affichaient environ 44% d'hommes admis contre 35% de femmes, laissant soupçonner un biais. Pourtant, département par département, les femmes étaient admises à des taux légèrement supérieurs : elles avaient simplement candidaté bien plus nombreuses dans les départements les plus sélectifs. L'agrégation entre départements inversait la tendance interne à chaque groupe — exactement le renversement que trace la ligne pointillée de cet outil.

Problème entièrement résolu

Corrélation de −0,8871 sur 400 points avec Z maintenue constante 6 étapes
La corrélation entre X et Y est de −0,8871 sur 400 points. Déterminez ce qu'il en reste lorsque vous maintenez Z constante, et indiquez la confiance que vous pouvez accorder à ces deux nombres.
1. Trois corrélations, toutes mesurées à partir des mêmes 400 points. Tout ce qui suit repose uniquement sur l'arithmétique de ces trois nombres — aucun accès supplémentaire aux données n'est nécessaire, ce qui en fait l'aspect pratique.
  
  $r_{X Y} = - 0.8871, r_{X Z} = 0.9452, r_{Y Z} = - 0.9315$
2. La corrélation partielle cherche à déterminer ce qu'il reste de la relation X–Y une fois soustraite la part de chacun expliquée par Z. La formule est la corrélation des deux résidus, exprimée en fonction des corrélations brutes.
  
  $r_{X Y \cdot Z} = \frac{r _{X Y} - r _{X Z} r _{Y Z}}{( 1 - r _{X Z}^{2} ) ( 1 - r _{Y Z}^{2} )}$
3. C'est au numérateur que se joue la réponse. L'effet de Z sur X multiplié par l'effet de Z sur Y représente 0,8805 sur les 0,8871 observés — la corrélation est une ombre, pas un signal.
  
  $numerator = - 0.8871 - (0.9452) (- 0.9315) = - 0.8871 + 0.8805 = - 0.0066$
4. Le dénominateur ne fait que changer l'échelle. Remarquez qu'il est construit à partir de la variance non expliquée par Z, ce qui explique pourquoi un Z qui explique presque tout rend l'estimation instable.
  
  $denominator = 0.1066 \times 0.1323 = 0.1188 ⟹ r_{X Y \cdot Z} = - 0.055$
5. Associez à présent une barre d'erreur à ces deux nombres. La transformation de Fisher donne à une corrélation une distribution approximativement normale, et sa multiplication par √(n−3) indique la distance à zéro en erreurs types. Vous utiliserez √(n−4) pour la corrélation partielle, qui a consommé un degré de liberté pour Z.
  
  $z = \frac{1}{2} ln \frac{1 + r}{1 - r} n - 3 - k : r = - 0.8871 (k = 0) \Rightarrow z = - 28.1; r = - 0.0553 (k = 1) \Rightarrow z = - 1.10$
6. Pour une vérification rapide, l'erreur type de r au voisinage de zéro est de 1/√(n−3). À 0,050, une corrélation partielle de −0,055 s'écarte d'un peu plus d'une erreur type.
  
  $SE (r) \approx \frac{1}{n - 3} = \frac{1}{397} = 0.050$
Réponse

Il n'en reste presque rien : −0,0553. Convertissez les deux valeurs en z de Fisher. La corrélation brute s'éloigne alors de 28 erreurs types de zéro, tandis que la corrélation partielle s'établit à 1,1. C'est la différence entre la certitude la plus solide de votre jeu de données et un résultat que vous pourriez attendre du seul bruit statistique un quart du temps. Deux avertissements accompagnent ce constat. Le numérateur est la différence de deux nombres presque égaux, 0,8871 contre 0,8805. Les quatre chiffres que vous fournissez dans le calcul vous en assurent donc à peine deux dans la réponse. Ensuite, cette simple arithmétique ne peut vous dire si Z est un facteur de confusion plutôt qu'un médiateur. Cette conclusion vient de votre connaissance de ce qu'est Z. Conditionner sur un médiateur détruit un effet réel tout aussi radicalement que conditionner sur un facteur de confusion détruit un effet illusoire.

$r_{X Y} = - 0.8871 ⟶ r_{X Y \cdot Z} = - 0.0553 28 σ ⟶ 1.1 σ$

Références (1)

Insight block 3 — Simpson's paradox in the case that made it famous: P. J. Bickel, E. A. Hammel and J. W. O'Connell, "Sex Bias in Graduate Admissions: Data from Berkeley." Science 187(4175), 398–404, 1975.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.