Régression vers la moyenne

Chacun possède une compétence réelle et stable, à laquelle chaque score ajoute une part de chance. Choisissez quelle proportion de la dispersion relève de la compétence et quelle proportion relève de la chance, sélectionnez un groupe en fonction d'un score, et observez ses performances au suivant. La page calcule avec précision le changement attendu et simule une population pour l'illustrer. Le tableau situé sous le graphique détaille les calculs.

Exemple résolu — Régression vers la moyenne

Fiabilité	0,50
Dispersion à chaque mesure	14,14
Seuil en unités standard	1,2816
Score seuil	118,1
Densité au seuil	0,1755
Inverse du ratio de Mills	1,7550
Moyenne du groupe sur ce score x̄1	124,8
Moyenne attendue sur l'autre x̄2	112,4

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

Chargement de la simulation interactive...

Leçon

La théorie — Régression vers la moyenne

Lorsqu'une mesure correspond à la compétence réelle plus une chance indépendante, deux mesures des mêmes personnes sont corrélées à r = σ_S² ÷ (σ_S² + σ_L²), la part de la variance attribuable à la compétence. On attend d'un groupe sélectionné pour ses scores extrêmes sur une mesure qu'il obtienne μ + r(x̄ − μ) sur l'autre : sa distance à la moyenne multipliée par r. C'est la régression vers la moyenne. Elle n'a besoin d'aucune cause, opère dans les deux sens, et n'exige pas que la dispersion de la population diminue : ici, elle reste identique.

Ce que signifie chaque symbole

r: la corrélation entre deux mesures, la part de la variance qui relève de la compétence. 1 signifie l'absence de chance, 0 signifie que tout est dû à la chance
σ_S: la dispersion de la compétence réelle dans la population
σ_L: la dispersion de la chance sur une seule mesure
μ: la moyenne de la population, le point vers lequel le groupe régresse
λ: l'inverse du ratio de Mills : la moyenne du groupe sélectionné se situe à λ écarts-types de μ, elle est donc de μ + σλ pour un groupe supérieur

Les meilleurs font moins bien ensuite, et personne ne perd en niveau 🖖

Cliquez sur Top 10 %, r = 0,5. Les personnes ayant obtenu les scores les plus élevés la première fois ont une moyenne de 124,8, et la seconde fois, on s'attend à ce qu'elles aient une moyenne de 112,4. Personne n'a perdu en compétence. Les 10 % les meilleurs étaient, en moyenne, à la fois meilleurs et plus chanceux que tous les autres. Lors de la seconde session, la compétence subsiste tandis que la chance est tirée à nouveau. Le second score attendu est μ + r(x̄ − μ) : avec r = 0,5, la moitié de la distance à la moyenne subsiste. Cliquez sur Fiabilité parfaite et il n'y a plus aucune chance à perdre, donc rien ne bouge ; cliquez sur Pure chance et il n'y a plus aucune compétence à conserver, le groupe retombe donc entièrement à 100.

Un traitement qui ne fait rien fonctionne sur les moins bons 🖖

Cliquez sur 10 % inférieurs traités. Ceux qui ont obtenu les scores les plus bas reçoivent un traitement dont l'effet est fixé exactement à zéro, et lors de la session suivante, ils se sont améliorés de 12,4 points. Tout professeur, remède ou nouveau manager assigné à ceux qui ont le moins bien réussi la fois précédente semblera plus efficace qu'il ne l'est réellement, d'environ cette valeur, à moins qu'il n'y ait un groupe de comparaison. Daniel Kahneman raconte l'histoire d'instructeurs de vol convaincus que crier sur un cadet après un mauvais atterrissage fonctionnait, et que le féliciter après un bon atterrissage le desservait : dans les deux cas, ce n'étaient que les scores qui retournaient vers la moyenne. Cliquez sur Avec groupe témoin. La moitié des moins bons est traitée et l'autre non, les deux groupes gagnent environ 12 points, et la seule mesure honnête du traitement, soit la différence entre les deux, est attendue à zéro.

Elle opère à rebours dans le temps, et personne ne converge 🖖

Cliquez sur Tailles parents-enfants : les parents des 10 % les plus grands mesurent 187,4 cm en moyenne et on s'attend à ce que leurs enfants mesurent 181,2 cm en moyenne. Francis Galton a publié cela en 1886, à partir des tailles de parents et de leurs enfants adultes, et l'a baptisé la régression vers la médiocrité. Cliquez maintenant sur Tailles, à rebours : sélectionnez plutôt les enfants les plus grands, et l'on s'attend à ce que leurs parents soient plus petits qu'eux, dans ce modèle où les deux générations partagent la même dispersion, de la même quantité. Ce n'est donc pas une force qui attire les individus vers la moyenne au fil du temps. La dispersion ne se réduit pas non plus : le tableau indique presque la même dispersion pour les deux mesures, 7,09 et 7,10 cm. Les personnes aux extrêmes sont remplacées par d'autres personnes aux extrêmes à chaque fois, parce que d'autres personnes ont de la chance.

Problème entièrement résolu

De combien chutent les dix premiers pour cent 5 étapes
Les scores à un test ont une moyenne de 100. La dispersion de la compétence réelle est de 10 et la dispersion de la chance sur une session est également de 10. Les 10 % les meilleurs à la première session sont testés à nouveau. Trouvez leur moyenne à la première session et leur moyenne attendue à la seconde. Cliquez sur Top 10 %, r = 0,5 pour vérifier.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. La corrélation entre les sessions correspond à la part de la variance attribuable à la compétence, et la dispersion totale s'ensuit :
  
  $r = \frac{σ _{S}^{2}}{σ _{S}^{2} + σ _{L}^{2}} = \frac{100}{200} = 0.5, σ = 200 = 14.14$
2. Les 10 % les meilleurs commencent au 90e centile, à 1,2816 écart-type au-dessus de la moyenne :
  
  $z_{c} = Φ^{- 1} (0.90) = 1.2816, x_{c} = 100 + 14.14 \cdot 1.2816 = 118.1$
3. La moyenne de tout le monde au-dessus de ce seuil, d'après la hauteur et la queue de la courbe normale à ce niveau :
  
  $λ = \frac{φ ( z _{c} )}{1 - Φ ( z _{c} )} = \frac{0 . 1755}{0 . 10} = 1.7550, \overset{x}{ˉ}_{1} = 100 + 14.14 \cdot 1.7550 = 124.8$
4. À la seconde session, la moyenne attendue ne conserve que la fraction r de la distance depuis μ :
  
  $\overset{x}{ˉ}_{2} = μ + r (\overset{x}{ˉ}_{1} - μ) = 100 + 0.5 \cdot 24.8 = 112.4$
5. Le groupe devrait donc chuter de :
  
  $\overset{x}{ˉ}_{2} - \overset{x}{ˉ}_{1} = 112.4 - 124.8 = - 12.4$
Réponse

Le dixième supérieur obtient une moyenne de 124,8 la première fois et on s'attend à ce qu'il atteigne 112,4 la seconde, une chute de 12,4 points sans aucun changement dans les compétences de quiconque. L'espérance de leur compétence réelle moyenne est de 112,4 depuis le début : la seconde session n'est pas biaisée par la chance qui les a sélectionnés, car cette chance n'est pas sélectionnée une nouvelle fois.

$\overset{x}{ˉ}_{1} = 124.8, \overset{x}{ˉ}_{2} = 112.4$

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.