Calculatrice de vecteurs

Calcule et visualise les opérations vectorielles : produit scalaire, produit vectoriel, projection et angle.

Exemple résolu — Calculatrice de vecteurs

\|A\|	2.2361
\|B\|	2.2361
Spanned Line Eq.	0

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

Chargement de la simulation interactive...

Leçon

La théorie — Calculatrice de vecteurs

Le produit scalaire de deux vecteurs peut s'écrire de deux manières qui ne se ressemblent absolument pas : en multipliant les composantes correspondantes puis en les additionnant, ou en multipliant leurs deux longueurs par le cosinus de l'angle qu'ils forment. Elles concordent toujours, et c'est cette équivalence qui fait toute l'utilité du produit scalaire — il transforme la géométrie en arithmétique.

Ce que signifie chaque symbole

A · B: le produit scalaire : un nombre réel, pas un vecteur. Pour les valeurs par défaut, 2·−1 + 1·2 = 0.
|A|: la longueur (norme) d'un vecteur, d'après le théorème de Pythagore : √(2² + 1²) = 2.2361.
θ: l'angle entre les deux vecteurs, que la page affiche simultanément en radians et en degrés — 1.5708 rad = 90° avec les valeurs par défaut.
comp: la projection scalaire — la mesure dans laquelle un vecteur s'aligne sur l'autre. Il s'agit du produit scalaire divisé par la longueur du vecteur sur lequel on projette.

D’où vient la formule

Considérez le triangle formé par A, B et le vecteur A − B qui relie leurs extrémités. Le théorème d'Al-Kashi relie ses côtés : |A − B|² = |A|² + |B|² − 2|A||B|cos θ.
Développez maintenant ce même |A − B|² composante par composante. Chaque terme au carré se regroupe pour former |A|² et |B|², et le reste correspond à −2(A_xB_x + A_yB_y).
En égalant les deux expressions, |A|² et |B|² se simplifient, ce qui donne A_xB_x + A_yB_y = |A||B|cos θ. En isolant l'angle, on retrouve exactement la formule affichée sur la page : θ = arccos(A·B / (|A||B|)).

Comment lire ce que vous voyez

Chaque ligne détaille les étapes du calcul et pas seulement le résultat : le produit scalaire sous la forme A·B = A_xB_x + A_yB_y = 2·−1 + 1·2 = 0, les deux longueurs d'après Pythagore, puis l'angle sous la forme arccos(0) = 1.5708 rad = 90°. Laissez les deux cases z à 0 et les vecteurs s'afficheront sous forme de colonnes à deux composantes ; renseignez une valeur pour z dans l'un ou l'autre vecteur et l'affichage passe en trois dimensions.

Suppose: Des coordonnées cartésiennes avec des axes orthogonaux et la même unité sur chaque axe. Les formules ci-dessus s'appliquent à ce cas de figure ; sur une projection cartographique, ou dans tout système de coordonnées dont les axes ne sont pas à angle droit, le calcul par composantes ne donne plus le produit scalaire.
Ne tient plus quand: Un produit scalaire égal à exactement 0 signifie que les vecteurs sont orthogonaux — mais cela vaut pour n'importe quelle paire de vecteurs orthogonaux, quelle que soit leur longueur, ce qui ne donne aucune information sur leur taille. Et l'angle obtenu est toujours l'angle non orienté compris entre 0 et 180° : échanger A et B donne un résultat identique, le produit scalaire seul ne permettant jamais de déterminer le sens de rotation.

Les deux produits répondent zéro, et zéro veut dire le contraire 🖖

Les deux premiers préréglages sont la même découverte vue de deux côtés. Dans perp2d, le produit scalaire affiche exactement 0 tandis que le produit vectoriel vaut 1 ; dans parallel, le produit vectoriel affiche exactement 0 tandis que le scalaire vaut 26. Un produit scalaire nul signifie donc que les vecteurs sont perpendiculaires, un produit vectoriel nul qu’ils sont alignés : les deux tests ne sont pas interchangeables, ils se complètent. La ligne de l’aire engendrée rend le second concret : des vecteurs parallèles n’enferment rien, et la paire 3 par 4 de area enferme exactement 12.

Deux produits, deux réponses très différentes 🖖

Cet outil calcule les deux façons de multiplier des vecteurs. Le produit scalaire renvoie un seul nombre mesurant à quel point deux vecteurs pointent dans la même direction : zéro signifie qu'ils sont perpendiculaires. Le produit vectoriel (3D) renvoie un tout nouveau vecteur, perpendiculaire aux deux, dont la longueur égale l'aire du parallélogramme qu'ils engendrent. Pour trouver l'angle, il suffit de réarranger le produit scalaire : cos θ = (a·b)/(|a| |b|).

Le produit vectoriel n'existe qu'en 3D et 7D 🖖

Le produit scalaire fonctionne en toute dimension, mais un vrai produit vectoriel — deux vecteurs en entrée, un vecteur perpendiculaire aux deux en sortie — n'existe qu'en trois et sept dimensions. Cette bizarrerie est directement liée aux algèbres des quaternions et des octonions, les seules algèbres à division normées au-delà des nombres réels et complexes. Le produit vectoriel 3D si familier est donc bien moins universel qu'il n'y paraît.

Problèmes entièrement résolus

L'aire sous-tendue par A = (2, 1) et B = (−1, 2) 6 étapes
A = (2, 1) et B = (−1, 2). Le produit scalaire est nul et l'aire engendrée vaut 5. Montrez que ces deux faits n'en font qu'un.
1. Deux vecteurs, et le produit scalaire est la somme des produits des coordonnées correspondantes. Le résultat est nul, ce qui répond déjà sur le plan géométrique.
  
  $A = (21), B = (- 1 2); A \cdot B = 2 (- 1) + 1 (2) = 0$
2. Les deux normes sont égales, et elles le sont pour une raison qui apparaîtra à l'étape 5.
  
  $∣ A ∣ = 2^{2} + 1^{2} = 5 = 2.2361 = ∣ B ∣$
3. Le cosinus de l'angle est le produit scalaire divisé par le produit des normes. Zéro divisé par n'importe quel nombre donne zéro, et l'arccosinus de zéro correspond à un angle droit.
  
  $cos θ = \frac{0}{5 5} = 0 ⟹ θ = \frac{π}{2} = 1.5708 rad = 9 0^{\circ}$
4. L'aire engendrée est le déterminant, ce qui, pour des vecteurs perpendiculaires, est simplement le produit des normes — √5 × √5.
  
  $area = ∣ A_{x} B_{y} - A_{y} B_{x} ∣ = ∣2 (2) - 1 (- 1) ∣ = 5 = ∣ A ∣∣ B ∣ sin θ = 5 \cdot 5 \cdot 1$
5. Voici pourquoi les normes étaient égales. Une rotation d'un quart de tour échange les coordonnées et inverse un signe ; l'appliquer à A donne exactement B.
  
  $R_{9 0^{\circ}} (x y) = (- y x) : (21) \mapsto (- 1 2) = B$
6. La projection le confirme d'un autre point de vue : aucune composante de A ne se trouve le long de B, si bien que soustraire la projection laisse A intact.
  
  $proj_{B} A = \frac{0}{5} B = 0 ⟹ A is entirely its own perpendicular component$
Réponse

Parce que B est l'image de A par une rotation d'un quart de tour. La rotation (x, y) → (−y, x) envoie (2, 1) exactement sur (−1, 2), ce qui impose un angle de 90° et donc un produit scalaire nul. Elle conserve aussi les longueurs, de sorte que les deux vecteurs ont pour norme √5, et le parallélogramme qu'ils engendrent est un carré de côté √5 — d'aire 5, ce qu'affiche le panneau. Le produit scalaire et le produit vectoriel sont les deux moitiés d'un même produit : |A||B| cos θ et |A||B| sin θ. À 90°, le premier est nul et le second est maximal, et la projection de A sur B est le vecteur nul, ce qui signifie que A n'a aucune composante selon B. Faites pivoter l'un ou l'autre vecteur de quelques degrés et les deux nombres varient, la somme de leurs carrés restant toujours égale à |A|²|B|² = 25.

$A \cdot B = 0, θ = 9 0^{\circ}, area = 5; B = R_{9 0^{\circ}} A$
Produit scalaire de 32 et norme du produit vectoriel de 7,3485 6 étapes
A = (1, 2, 3), B = (4, 5, 6). Le panneau affiche un produit scalaire de 32 et une norme du produit vectoriel de 7,3485. Montrez que ces deux nombres ne sont pas indépendants. Il s'agit de l'état angle 3D.
1. Produit scalaire et les deux normes, directement d'après les définitions. Aucune des deux racines carrées n'est simple, ce qui est le cas général en trois dimensions.
  
  $A \cdot B = 1 (4) + 2 (5) + 3 (6) = 32; ∣ A ∣ = 14 = 3.7417, ∣ B ∣ = 77 = 8.775$
2. On en déduit l'angle. À 12,9°, ces deux vecteurs sont presque parallèles, ce qui mérite d'être noté avant l'étape suivante : le produit vectoriel va être petit.
  
  $cos θ = \frac{32}{14 77} = \frac{32}{1078} = 0.9746 ⟹ θ = 0.2257 rad = 12.933 2^{\circ}$
3. Le produit vectoriel est le déterminant d'une matrice 3×3 dont la première ligne est formée des vecteurs unitaires. Sa norme est l'aire du parallélogramme.
  
  $A \times B = 2 (6) - 3 (5) 3 (4) - 1 (6) 1 (5) - 2 (4) = - 3 6 - 3, ∣ A \times B ∣ = 54 = 7.3485$
4. Rapprochons maintenant les deux produits. Élevons chacun au carré, additionnons, et comparons avec le produit des normes au carré.
  
  $∣ A ∣^{2} ∣ B ∣^{2} = 14 \times 77 = 1078; (A \cdot B)^{2} + ∣ A \times B ∣^{2} = 1024 + 54 = 1078$
5. Divisons l'identité par |A|²|B|² et la trigonométrie apparaît — la même identité, dans les coordonnées de départ.
  
  $cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1 re-derived : \frac{1024}{1078} + \frac{54}{1078} = 1$
6. Une ligne supplémentaire confirme que le produit vectoriel remplit son rôle : il est orthogonal à A, et par symétrie à B.
  
  $A \cdot (A \times B) = 1 (- 3) + 2 (6) + 3 (- 3) = 0 ⟹ the cross product leaves the plane$
Réponse

32² + 7,3485² = 1078 = 14 × 77 = |A|²|B|². C'est l'identité de Lagrange, et c'est l'identité pythagoricienne sous une autre forme : en divisant par |A|²|B|², elle s'écrit cos²θ + sin²θ = 1. Ainsi, le produit scalaire et le produit vectoriel ne sont pas deux mesures séparées de deux choses distinctes — ils sont le côté adjacent et le côté opposé d'un même triangle rectangle, et connaître l'un plus les deux normes détermine l'autre au signe près. La conséquence pratique est qu'il ne faut jamais calculer un angle uniquement à partir du produit scalaire quand il est proche de zéro ou de 180° : le cosinus y varie peu, et le produit vectoriel, dont le sinus présente une pente forte, est numériquement préférable.

$(A \cdot B)^{2} + ∣ A \times B ∣^{2} = ∣ A ∣^{2} ∣ B ∣^{2} = 1078$

Parcours

Ajuster une droite à des données

Mène à Géométrie des moindres carrés le produit scalaire, et avec lui la notion de projection — la part d'un vecteur portée par un autre.

Références (1)

The dot product from both directions, and why the two definitions agree: G. Strang, Introduction to Linear Algebra, 5th ed. Wellesley-Cambridge Press, 2016. ISBN 978-0-9802327-7-6.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-06-28

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Exemples de problèmes

Perpendiculaire - Perpendiculaires
Parallèle - (2, 3) et (4, 6), le second étant le double du premier. Le produit vectoriel vaut exactement 0 et le produit scalaire 26, ce qui vous offre une lecture opposée à celle de vecteurs perpendiculaires.
Angle 3D - (1, 2, 3) et (4, 5, 6) : un produit scalaire de 32 sur des normes de √14 et √77. Vous obtenez donc cos θ = 0,9746 et l'angle est de 12,93°. Ces vecteurs sont presque alignés, et le produit scalaire vous l'indique avant même que l'angle ne soit calculé.
Aire - Un vecteur de longueur 3 sur l'axe des x face à un de longueur 4 sur l'axe des y : le produit vectoriel a une norme d'exactement 12, ce qui représente le rectangle qu'ils forment. La norme du produit vectoriel correspond à l'aire.