Bons et obligations : l'effet du rendement sur le prix

Achetez un titre du Trésor au pair à une date de 2026, réévaluez-le à une autre, et observez l'évolution de son prix. Les chiffres proviennent des courbes quotidiennes du Trésor, nominales et indexées sur l'inflation.

Exemple résolu — Bons et obligations : l'effet du rendement sur le prix

Le segment long de 2026, mesuré	4 septembre
Variation du rendement	+38 bp
Rendement réel (TIPS)	+33 bp
Inflation d'équilibre	+5 bp
Prix pour 100 de nominal	94,28
Variation depuis l'achat	−5,72%
Duration modifiée	15,70
Points de base pour 1 % du prix	6

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Bons et obligations : l'effet du rendement sur le prix

Une obligation est une promesse de payer des montants fixes à des dates fixes. Son prix et son rendement sont une seule et même réalité exprimée de deux manières. Le rendement correspond au taux d'actualisation unique qui permet à la somme de ces paiements promis d'égaler ce prix. Fixez les paiements, et ces deux variables ne pourront évoluer qu'en sens inverse.

Ce que signifie chaque symbole

P: le prix pour 100 de nominal
c: le coupon annuel, versé en deux moitiés
y: le rendement annuel
n: le nombre de paiements à venir
D: la duration modifiée, soit le pourcentage de baisse du prix lorsque le rendement augmente d'un point de pourcentage

Suppose: Que les paiements soient bien effectués. Un bon du Trésor américain ne comporte aucune prime de défaut dans son rendement, ce qui en fait l'instrument idéal pour cette leçon. Les prix ici sont calculés à une date de détachement du coupon, il n'y a donc aucun intérêt couru. Chaque titre est acheté au pair, son coupon est ainsi égal au rendement à sa date d'achat.
Ne tient plus quand: La duration est une ligne droite posée sur une courbe. Elle surestime donc une perte et sous-estime un gain. Cette erreur s'accroît avec l'ampleur du mouvement : 0,02 point de pourcentage sur le 2 ans cette année, 0,25 sur le 30 ans. Cette courbure s'appelle la convexité. Le graphique trace les deux lignes pour vous permettre de les voir s'écarter. La duration suppose également que l'ensemble de la courbe se déplace de concert. Ce ne fut pas le cas en 2026, lorsque la partie courte a varié plus de deux fois plus que la partie longue.

Le segment long a le moins monté en 2026 et a perdu le plus 🖖

Sur les huit mois allant jusqu'au 4 septembre, le rendement à 2 ans a augmenté de 90 points de base et celui à 30 ans de 38. Achetez chacun au pair le 2 janvier et réévaluez-les sur la courbe de septembre. Le 2 ans vaut 98,29 et le 30 ans 94,28. L'obligation longue a perdu 3,35 fois plus d'argent avec 0,42 fois le mouvement de rendement. La duration explique tout cela, et l'outil l'affiche : 1,92 année contre 15,70. Faites glisser le sélecteur de titres vers le bas de la liste. Vous verrez la perte augmenter tandis que le mouvement de rendement diminue.

Presque rien de tout cela n'était dû à l'inflation 🖖

Le Trésor publie une seconde courbe pour les titres protégés contre l'inflation, et l'écart entre les deux reflète le taux d'inflation anticipé par le marché. Sur les 38 points de base engrangés par le taux à 30 ans cette année, 33 proviennent du rendement réel. Celui-ci est passé de 2,63 % à 2,96 % et a touché 3,06 % le 17 août. 5 découlent de l'inflation attendue. La peur de l'inflation justifie d'ordinaire un rendement long élevé. Ici, elle n'y est pour presque rien.

L'inflation à trente ans est valorisée sous celle à dix ans, et ce tout au long de l'année 🖖

Le 4 septembre, l'inflation d'équilibre était de 2,35 % à dix ans et de 2,28 % à trente ans. C'est le monde à l'envers pour quiconque s'attend à ce que l'inflation se compose au fil des décennies. Il ne s'agit pas d'une anomalie journalière : cette situation s'est vérifiée lors de 170 des 171 séances du fichier. Sélectionnez le 10 ans, lisez la fiche de l'inflation d'équilibre, puis sélectionnez le 30 ans.

Un prix de 94 n'est pas une perte tant que vous ne vendez pas 🖖

Le 30 ans à 94,28 paie toujours 100 à l'échéance, ainsi que tous les coupons intermédiaires. La perte n'appartient qu'à celui qui vend. C'est pourquoi une banque peut comptabiliser la même obligation à 94 et une autre à 100, selon qu'elle est conservée jusqu'à l'échéance. Cette distinction a d'ailleurs scellé le sort de la Silicon Valley Bank en 2023. La fiche de prix indique simplement ce qu'une autre personne vous paierait aujourd'hui.

Chaque maturité sur la courbe coûte désormais plus cher que ce que la dette verse déjà 🖖

Le taux d'intérêt moyen de l'ensemble de la dette fédérale portant intérêt s'élevait à 3,447 % le 31 juillet. Le point le moins cher sur la courbe du 4 septembre est la maturité constante à un mois, à 3,79 %, et l'échéance à trente ans est à 5,24 %. À mesure que l'ancienne dette arrive à échéance et se trouve réémise, la moyenne grimpe vers la courbe. Cela se produit que les rendements bougent à nouveau ou non.

Problème entièrement résolu

Lequel perd le plus : 90 points de base sur un deux ans, ou 38 sur un trente ans ? 7 étapes
Les deux ont été achetés au pair le 2 janvier 2026. Sur les huit mois allant jusqu'au 4 septembre, le rendement du 2 ans a augmenté de 90 points de base et celui du 30 ans de 38, soit moins de la moitié. Calculez lequel a perdu le plus d'argent, et de combien, avant de lire les fiches de prix.
1. La duration est une moyenne pondérée de la date d'encaissement de l'argent d'une obligation, chaque paiement étant pondéré par sa part dans le prix. Un titre à deux ans paie la quasi-totalité de sa valeur en moins de deux ans. Une obligation à trente ans comporte des coupons qui tombent dans trois décennies. Ces paiements lointains sont ceux sur lesquels un taux d'actualisation exerce le plus de pouvoir.
  
  $D = \frac{\sum _{t} t \frac{C _{t}}{( 1 + i ) ^{t}}}{\sum _{t} \frac{C _{t}}{( 1 + i ) ^{t}}}$
2. Pour une obligation achetée au pair, il existe une formule fermée. Inutile donc de sommer soixante termes à la main. Avec i le rendement par semestre et n le nombre de semestres, la duration de Macaulay est ((1 + i) / i) × (1 − (1 + i)⁻ⁿ), mesurée en semestres.
  
  $at par : D = \frac{1 + i}{i} (1 - (1 + i)^{- n}) half-years$
3. Le deux ans : i = 3,47 / 200 = 0,01735 et n = 4. Cela donne 3,8988 semestres, soit 1,9494 année.
  
  $i = \frac{3 . 47}{200} = 0.01735, n = 4 : D = 3.8988 \to 1.9494 years$
4. Le trente ans : i = 4,86 / 200 = 0,02430 et n = 60. Cela donne 32,1709 semestres, soit 16,0854 années. Huit fois le chiffre du deux ans, pour quinze fois la maturité.
  
  $i = \frac{4 . 86}{200} = 0.02430, n = 60 : D = 32.1709 \to 16.0854 years$
5. La duration modifiée divise chacun par (1 + i) : 1,9162 et 15,7038. C'est le nombre dont la question a besoin, car une variation de prix équivaut approximativement à −D fois la variation de rendement.
  
  $D_{mod} = \frac{D}{1 + i} : 1.9162 and 15.7038$
6. Le deux ans : −1,9162 × 0,90 % = −1,725 %. Le trente ans : −15,7038 × 0,38 % = −5,967 %.
  
  $\frac{Δ P}{P} \approx - D_{mod} Δ y : - 1.9162 \times 0 . 90% = - 1 . 725%, - 15.7038 \times 0 . 38% = - 5 . 967%$
7. Comparez maintenant les prix exacts : −1,71 % et −5,72 %. La duration a surestimé les deux, de 0,02 point de pourcentage sur le deux ans et de 0,25 sur le trente ans.
  
  $2-year 30-year Δ y + 0 . 90% + 0 . 38% duration says - 1 . 725% - 5 . 967% actual - 1 . 71% - 5 . 72% error 0.02 0.25$
Réponse

Le trente ans perd 5,72 % contre 1,71 % pour le deux ans, soit un rapport de 3,35 pour 0,42 fois le mouvement de rendement. La duration seule prédisait 3,46, et l'écart correspond à la convexité. La relation prix-rendement dessine une courbe. La duration est la ligne droite qui lui est tangente au point d'achat, et plus l'obligation est longue, plus vite cette ligne s'en écarte. Ouvrez le panneau prix-rendement pour voir les deux tracés ensemble. L'erreur est asymétrique. La courbe s'incurve vers le haut partout, la duration surestime donc toujours une perte et sous-estime toujours un gain.

$\frac{5 . 72}{1 . 71} = 3.35 from \frac{0 . 38}{0 . 90} = 0.42$

Références (2)

The two curves this tool is built from, and how they are constructed — which is why its figures are closes rather than intraday quotes: U.S. Department of the Treasury, "Interest Rate Statistics" — Daily Treasury Par Yield Curve Rates and Daily Treasury PAR Real Yield Curve Rates.
The long-end intervention the tool's opening section describes, in Treasury's own words: U.S. Department of the Treasury, "Treasury Announces Increased Sizes of Nominal Long-End Liquidity Support Buybacks Beginning September 9", press release, 19 August 2026.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.