Le problème de Monty Hall

Une voiture et quelques chèvres derrière des portes fermées. Choisissez une porte, laissez l'animateur en ouvrir d'autres et décidez si vous souhaitez changer. Cette page calcule la probabilité derrière chaque porte à partir de la règle de l'animateur et de son action. Elle simule des milliers de parties pour la vérifier, ou vous permet de jouer vous-même. Le tableau ci-dessous détaille le calcul.

Exemple résolu — Le problème de Monty Hall

A priori, par porte	1/3
Vraisemblance, Porte 1 · votre choix	1/2
Vraisemblance, Porte 2 · fermée	1
Vraisemblance, Porte 3 · ouverte	0 · chèvre révélée
Probabilité totale	1/2
A posteriori, Porte 1 · votre choix	1/3
A posteriori, Porte 2 · fermée	2/3
A posteriori, Porte 3 · ouverte	0

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Le problème de Monty Hall

La probabilité que la voiture se trouve derrière une porte donnée, après que l'animateur a agi, découle du théorème de Bayes : la probabilité a priori pour cette porte, 1 ÷ n, multipliée par la vraisemblance que l'animateur fasse exactement ce qu'il a fait si la voiture s'y trouvait, le tout divisé par la probabilité totale de son action. La règle de l'animateur détermine les vraisemblances. Les mêmes portes ouvertes peuvent donc donner des réponses différentes selon les règles. Avec l'animateur classique, qui sait où se trouve la voiture et ouvre toujours k portes de chèvres choisies au hasard parmi elles, garder son choix gagne avec une probabilité de 1 ÷ n, quelles que soient les portes qu'il ouvre.

Ce que signifie chaque symbole

n: le nombre de portes
k: le nombre de portes que l'animateur ouvre
P(H | C_i): la vraisemblance : la probabilité que l'animateur accomplisse cette action si la voiture est derrière la porte i
P(C_i | H): la probabilité a posteriori : la probabilité que la voiture soit derrière la porte i après avoir observé l'action de l'animateur

Changer gagne deux fois sur trois 🖖

Cliquez sur Trois portes. Vous choisissez la porte 1, qui a une chance sur trois de cacher la voiture. Rien de ce que fait cet animateur ne peut changer cela. Il ouvrirait la porte 3 la moitié du temps si la voiture se trouvait derrière votre porte, et lorsqu'il a le choix, il le fait au hasard. Son geste n'apporte donc aucune information sur la porte 1. Il ouvre la porte 3 et révèle une chèvre. Les deux chances sur trois que la voiture soit derrière la porte 2 ou la porte 3 reposent désormais entièrement sur la porte 2. Changer gagne donc 2 fois sur 3. Cliquez sur 100 portes et l'évidence s'impose : vous avez choisi une porte sur cent. L'animateur ouvre 98 des autres portes pour dévoiler des chèvres. La seule porte qu'il laisse fermée est celle qu'il faut prendre, 99 fois sur 100. En 1990, Marilyn vos Savant a donné la réponse pour les trois portes dans sa chronique du magazine Parade. Elle a reçu des milliers de lettres lui disant qu'elle avait tort, dont beaucoup signées par des titulaires de doctorat.

La même situation donne une réponse différente si l'animateur ne savait pas 🖖

Cliquez sur Animateur ignorant. Vous observez exactement ce que vous avez vu auparavant : la porte 1 choisie, la porte 3 ouverte, une chèvre. Mais cet animateur a ouvert une porte au hasard et il se trouve qu'il a évité la voiture. Garder votre choix et changer gagnent maintenant tous deux 1 fois sur 2. La probabilité dépend de la règle qui a produit cette situation, et pas seulement de ce que vous voyez. Un animateur qui sait où se trouve la voiture, qui est forcé de montrer une chèvre et qui choisit au hasard quand il le peut, ne vous apprend rien sur votre propre porte. Toute la probabilité qu'il retire à la porte 3 se reporte sur la porte 2. Un animateur qui ouvrirait la porte 3 au hasard y montrerait une chèvre tout aussi souvent si la voiture se trouvait derrière la porte 1 que derrière la porte 2. Cette chèvre ne favorise donc aucune d'elles.

La porte qu'il ouvre peut fournir toute la réponse 🖖

Cliquez sur Animateur biaisé ouvre 2. Cet animateur ouvre toujours la porte de chèvre au plus petit numéro possible. La porte 2 est celle qu'il ouvrirait que la voiture soit derrière la porte 1 ou la porte 3. La voir ne favorise donc pas l'une par rapport à l'autre. Garder son choix et changer donnent 1 sur 2. Cliquez sur Animateur biaisé ouvre 3 : il a ignoré la porte 2, ce qu'il ne ferait que si la voiture s'y trouvait. Changer gagne donc à chaque fois. En moyenne sur l'ensemble des parties, soit une chance sur deux les deux tiers du temps et une certitude un tiers du temps, changer gagne toujours 2 fois sur 3. Monty Hell désigne l'animateur qui ne vous propose de changer que si vous avez déjà trouvé la voiture. Dans le cas d'une proposition, changer perd à chaque fois.

Problème entièrement résolu

Les trois portes, par le théorème de Bayes 4 étapes
Vous choisissez la porte 1. L'animateur, qui sait où se trouve la voiture et ouvre toujours une porte cachant une chèvre, en choisissant au hasard quand il a le choix, ouvre la porte 3. Déterminez la probabilité que la voiture soit derrière la porte 1 et derrière la porte 2. Cliquez sur Trois portes pour vérifier.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Avant qu'il n'agisse, chaque porte est équiprobable :
  
  $P (C_{1}) = P (C_{2}) = P (C_{3}) = \frac{1}{3}$
2. Quelle est la probabilité qu'il ouvre la porte 3, pour chaque emplacement possible de la voiture ?
  
  $P (H_{3} ∣ C_{1}) = \frac{1}{2}, P (H_{3} ∣ C_{2}) = 1, P (H_{3} ∣ C_{3}) = 0$
3. La probabilité totale qu'il ouvre la porte 3 :
  
  $P (H_{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 = \frac{1}{2}$
4. Divisez le produit de la probabilité a priori et de la vraisemblance de chaque porte par ce total :
  
  $P (C_{1} ∣ H_{3}) = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3}, P (C_{2} ∣ H_{3}) = \frac{\frac{1}{3} \cdot 1}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}$
Réponse

La voiture se trouve derrière la porte 1 avec une probabilité de 1/3 et derrière la porte 2 avec une probabilité de 2/3. Toute la réponse réside dans la deuxième étape : si la voiture est derrière la porte 2, il est forcé d'ouvrir la porte 3, et si elle est derrière la porte 1, il n'ouvre la porte 3 que la moitié du temps. Il est donc deux fois plus probable qu'il ouvre la porte 3 si la voiture se trouve derrière la porte 2.

$P (C_{1} ∣ H_{3}) = \frac{1}{3}, P (C_{2} ∣ H_{3}) = \frac{2}{3}$

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.