Simulateur du moteur de Carnot

Le moteur de Carnot définit le rendement maximal théorique de tout moteur thermique.

Exemple résolu — Simulateur du moteur de Carnot

η (Rendement)	1 - 300/600
W (Travail fourni)	1000 × 0.500
QC (Chaleur rejetée)	1000 - 500.0

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Simulateur du moteur de Carnot

Une machine thermique prend de la chaleur à une source chaude, en convertit une partie en travail et rejette le reste dans une source froide. Le rendement de Carnot est la plus grande part qu’une machine puisse convertir, et il est fixé par les deux températures seules : η = 1 − T_C/T_H. Ni le combustible, ni le fluide, ni l’ingénierie — les températures.

Ce que signifie chaque symbole

T_H, T_C: les températures des sources chaude et froide, en kelvins. Des températures absolues : la formule est un rapport, une échelle à zéro arbitraire donne donc une réponse arbitraire.
Q_H: la chaleur prélevée à la source chaude en un cycle.
Q_C: la chaleur rejetée dans la froide. C’est elle qui fait d’une machine une machine — on ne peut pas l’annuler.
η: W/Q_H, la fraction de la chaleur absorbée qui ressort en travail.

D’où vient la formule

Commencez par la comptabilité. Sur un cycle complet, la machine revient à son état initial : elle ne stocke rien, donc tout ce qui entre doit sortir. W = Q_H − Q_C, et par conséquent η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H. Le rendement n’est plus qu’une question du rapport Q_C/Q_H.
Remarquez ce qui n’a PAS été exclu. La conservation seule s’accommode de Q_C = 0 et η = 1 — une machine qui transforme toute sa chaleur en travail. Rien dans le premier principe ne l’interdit. La limite doit venir d’ailleurs.
Elle vient de l’entropie. Prélever Q_H à la source chaude abaisse son entropie de Q_H/T_H ; rejeter Q_C dans la froide élève la sienne de Q_C/T_C. La machine elle-même revient à son état initial, la variation totale se réduit donc à ces deux termes. Le second principe interdit une diminution, d’où Q_C/T_C ≥ Q_H/T_H.
Réarrangé : Q_C/Q_H ≥ T_C/T_H, et en reportant dans l’étape 1, η ≤ 1 − T_C/T_H. L’égalité exige une variation d’entropie totale exactement nulle, c’est-à-dire un cycle parfaitement réversible. La valeur de Carnot n’est donc pas une conception astucieuse : c’est le plafond auquel toute conception est comparée, et chaque irréversibilité réelle augmente Q_C et abaisse η.

Comment lire ce que vous voyez

Le panneau de gauche montre le cycle en axes pression-volume : deux isothermes à T_H et T_C reliées par deux adiabatiques, et l’aire enclose est le travail par cycle. Le panneau de droite montre la même chose comme un flux — Q_H venant du bloc chaud, W sortant sur le côté, Q_C descendant dans le bloc froid — avec les trois nombres sur leurs flèches. Ne changez que Q_H et la boucle garde sa forme tandis que toutes les énergies se mettent à l’échelle ; changez une température et la boucle change de proportions.

Suppose: Deux sources assez grandes pour que le prélèvement de chaleur ne refroidisse pas l’une ni ne réchauffe l’autre, et un cycle mené de façon réversible — assez lentement pour que le fluide soit à l’équilibre à chaque instant. Les deux températures en kelvins. On suppose aussi que les sources sont les seules choses que la machine touche : pas de frottement, pas de chaleur fuyant à côté du cycle plutôt qu’à travers lui.
Ne tient plus quand: La ligne ΔS vaut zéro pour toute entrée possible, et c’est une propriété du calcul, non un verdict sur la machine. Q_C y est calculé comme Q_H − W avec W tiré de la formule de Carnot, ce qui rend Q_C/T_C et Q_H/T_H identiquement égaux — la ligne confirme que le cycle de Carnot est le cycle réversible, et ne peut rien détecter d’autre. Une machine réelle produit de l’entropie, et la façon honnête de le voir ici est de comparer un rendement mesuré au plafond affiché par cette page, non de chercher un ΔS non nul.

Calculez en Celsius et le moteur paraît moitié meilleur 🖖

Les entrées de cet outil sont en kelvin, et ce n'est pas un détail : η = 1 − T_C/T_H est un rapport de températures absolues, il s'effondre donc dès qu'on lui donne une échelle à zéro arbitraire. Prenez le préréglage vapeur, 773 K sur 373 K, que l'outil annonce à 51,7 %. Ces mêmes températures valent 500 °C et 100 °C, et 1 − 100/500 donne 80 %. Rien du moteur n'a changé, seulement le zéro de l'échelle. À des températures plus douces c'est pire : 100 °C contre 20 °C vaut réellement 21,4 % et se lit 80 % en Celsius, une surestimation de 3,7 fois. La raison profonde est que ce rapport est précisément ce qui fait du zéro absolu un lieu réel et non une convention : le rendement atteint 1 exactement quand T_C atteint 0, et aucune autre échelle n'a un zéro qui signifie quelque chose.

Seules les températures comptent 🖖

Le rendement de Carnot η = 1 − T_C/T_H ne dépend que des températures des deux sources — jamais du combustible, du gaz ni de l'ingéniosité de la machine. Les deux températures doivent être exprimées en kelvins : 300 °C n'est donc pas « 10 fois plus chaud » que 30 °C. Conséquence pratique : pour extraire plus de travail, il faut élargir l'écart de température — augmenter T_H ou abaisser T_C. On n'atteint jamais 100 %, car T_C = 0 K est inaccessible.

La machine la plus efficace ne fournit aucune puissance 🖖

Il y a un piège que les manuels passent souvent sous silence : atteindre la limite de Carnot exige que le cycle tourne infiniment lentement, pour que chaque temps reste réversible. Or une machine infiniment lente ne délivre qu'une puissance infinitésimale — inutile en pratique. En 1975, Curzon et Ahlborn ont plutôt cherché le rendement à puissance maximale et trouvé η = 1 − √(T_C/T_H). Pour une machine à 1800 K / 600 K, cela donne ≈ 42 %, bien plus proche des centrales réelles que les 67 % de Carnot.

LA LIMITE DE CARNOT — CE QUI FIXE LE PLAFOND, ET CE QUE COÛTE SON RELÈVEMENT

Dans quel cas de Carnot êtes-vous ?

Le mieux qu’une machine thermique puisse faire vaut η = 1 − Tc/Th, et le frappant est ce qui n’y figure pas : le carburant, le fluide de travail, la taille de la machine. Seules comptent les deux températures, et seulement par leur rapport. Cette unique expression vous dit où se trouve le plafond, pourquoi les moteurs réels tournent chaud, et pourquoi le même matériel qui donne une mauvaise machine donne une excellente pompe à chaleur.

Un rapport de températures de deux à un — la moitié de la chaleur devient travail η = 1 − Tc/Th

Une source très chaude — le plafond monte, la réalité reste en dessous T_h ↑ ⇒ η ↑

Une machine réelle — le côté froid compte autant que le chaud T_c ↓ ⇒ η ↑

Un puits très froid — un plafond élevé depuis une source tiède η = 1 − T_c/T_h

Un faible écart de température — mauvaise machine, excellente pompe à chaleur COP = T_c/(T_h − T_c)

Un rapport de températures de deux à un — la moitié de la chaleur devient travail

Ce que vous savez: Les deux températures de source en kelvins. η = 1 − Tc/Th, et rien d’autre n’entre dans le calcul.

Rendement: η = 1 − Tc/Th

Exemple résolu: Th = 600 K contre Tc = 300 K → η = 1 − 0,5 = 50 %. Sur 1000 J pris à la source chaude, 500 J deviennent travail et 500 J partent au froid.

Ouvrir ce cas: Rendement de 50 %

Un rapport de températures de deux à un — la moitié de la chaleur devient travail. La moitié de l’entrée devient travail, l’autre moitié sort à la source froide : le rapport décide du partage. Les deux températures de source en kelvins. η = 1 − Tc/Th, et rien d’autre n’entre dans le calcul. — La moitié de l’entrée devient travail, l’autre moitié sort à la source froide : le rapport décide du partage.

Une source très chaude — le plafond monte, la réalité reste en dessous

Ce que vous savez: Une température de combustion très supérieure à l’ambiante. Le rapport Tc/Th devient petit, donc le rendement théorique grimpe vers 1.

Rendement: T_h ↑ ⇒ η ↑

Exemple résolu: Th = 2500 K contre Tc = 300 K → η = 88 %. Sur 5000 J, la limite autorise 4400 J de travail et seulement 600 J rejetés.

Ouvrir ce cas: Moteur de voiture

Une source très chaude — le plafond monte, la réalité reste en dessous. Une source chaude réduit la chaleur rejetée à un mince filet, du moins en principe. Une température de combustion très supérieure à l’ambiante. Le rapport Tc/Th devient petit, donc le rendement théorique grimpe vers 1. — Une source chaude réduit la chaleur rejetée à un mince filet, du moins en principe.

Une machine réelle — le côté froid compte autant que le chaud

Ce que vous savez: Les deux températures sont fixées par le fluide et le condenseur. Abaisser Tc aide exactement autant qu’élever Th dans le même rapport.

Rendement: T_c ↓ ⇒ η ↑

Exemple résolu: Th = 773 K contre Tc = 373 K → η = 51,7 %, donc 2000 J donnent 1035 J de travail et rejettent 965 J.

Ouvrir ce cas: Machine à vapeur

Une machine réelle — le côté froid compte autant que le chaud. Les deux sources sont des leviers ; la température du condenseur déplace le plafond aussi sûrement que la chaudière. Les deux températures sont fixées par le fluide et le condenseur. Abaisser Tc aide exactement autant qu’élever Th dans le même rapport. — Les deux sources sont des leviers ; la température du condenseur déplace le plafond aussi sûrement que la chaudière.

Un puits très froid — un plafond élevé depuis une source tiède

Ce que vous savez: Le côté chaud n’est que la température ambiante, mais le froid est de l’azote liquide. C’est le rapport qui compte, pas la chaleur ressentie de la source.

Rendement: η = 1 − T_c/T_h

Exemple résolu: Th = 300 K contre Tc = 77 K → η = 74,3 %. Sur 500 J, la limite autorise 372 J de travail.

Ouvrir ce cas: Cryogénique

Un puits très froid — un plafond élevé depuis une source tiède. Un puits froid fait le même travail qu’une source chaude, puisque seul le rapport des deux intervient. Le côté chaud n’est que la température ambiante, mais le froid est de l’azote liquide. C’est le rapport qui compte, pas la chaleur ressentie de la source. — Un puits froid fait le même travail qu’une source chaude, puisque seul le rapport des deux intervient.

Un faible écart de température — mauvaise machine, excellente pompe à chaleur

Ce que vous savez: Les deux sources sont proches. Le rendement s’effondre, mais le même cycle inversé devient très efficace.

Rendement: COP = T_c/(T_h − T_c)

Exemple résolu: Th = 350 K contre Tc = 300 K → η = 14,3 %, soit 143 J de travail seulement sur 1000 J. Inversé, le coefficient de performance vaut Tc/(Th − Tc) = 6,0.

Ouvrir ce cas: Peu efficace

Un faible écart de température — mauvaise machine, excellente pompe à chaleur. Un écart étroit gaspille l’essentiel de la chaleur comme machine, et la déplace à bon compte en sens inverse. Les deux sources sont proches. Le rendement s’effondre, mais le même cycle inversé devient très efficace. — Un écart étroit gaspille l’essentiel de la chaleur comme machine, et la déplace à bon compte en sens inverse.

Références (2)

Insight block 3 — efficiency at maximum power, not at zero power: F. L. Curzon and B. Ahlborn, "Efficiency of a Carnot engine at maximum power output." American Journal of Physics 43(1), 22–24, 1975 — where η = 1 − √(T_C/T_H) comes from.
The limit itself: S. Carnot, Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développer cette puissance. Bachelier, Paris, 1824.

Problèmes entièrement résolus

Un moteur recevant 1 000 J entre 600 K et 300 K 5 étapes
Un moteur fonctionne entre 600 K et 300 K et reçoit 1000 J. Trouvez le travail maximal qu'il pourrait produire — puis découvrez pourquoi augmenter le côté chaud l'emporte sur le refroidissement du côté froid.
1. Un cycle réversible revient à son état initial, l'entropie doit donc en faire autant. Cette seule exigence relie les deux transferts thermiques aux deux températures avant même d'envisager la conception d'un moteur.
  
  $\oint \frac{δ Q}{T} = 0 ⟹ \frac{Q _{H}}{T _{H}} = \frac{Q _{C}}{T _{C}}$
2. Le rendement est le travail produit divisé par la chaleur reçue, et le travail est la partie de la chaleur qui n'a pas été rejetée. Substituer la condition sur l'entropie élimine complètement les quantités de chaleur et ne laisse que les températures.
  
  $η = \frac{W}{Q _{H}} = \frac{Q _{H} - Q _{C}}{Q _{H}} = 1 - \frac{Q _{C}}{Q _{H}} = 1 - \frac{T _{C}}{T _{H}}$
3. Évaluez. Le simulateur ci-dessus montre cette substitution plutôt que le simple résultat, ce qui est tout l'intérêt : la réponse ne dépend en rien du fluide de travail, des pressions ou du mécanisme.
  
  $η = 1 - \frac{300}{600} = 0.500$
4. Ainsi, 500 J sur les 1000 J doivent être rejetés. Non pas parce que le moteur est mal construit — mais parce qu'un moteur parfaitement réversible fonctionnant entre ces températures rejetterait lui aussi exactement cette quantité.
  
  $W = η Q_{H} = 0.500 \times 1000 = 500 J, Q_{C} = 1000 - 500 = 500 J$
5. Comparez maintenant les deux améliorations possibles. Vous pouvez soit augmenter de 200 K la température de la source chaude, pour la porter à 800 K, soit abaisser de 50 K celle de la source froide, jusqu’aux 250 K permis par le milieu ambiant. Pour descendre au-dessous de la température ambiante, il faudrait qu’une seconde machine fournisse du travail.
  
  $T_{H} = 800 K, T_{C} = 300 K : η = 0.625; T_{C} = 250 K : η = 0.583$
Réponse

500 J, et pas un joule de plus. Porter la source chaude à 800 K donne η = 0.625 ; le côté froid est limité inférieurement par l'environnement, de sorte que les gains réels viennent presque toujours du haut. C'est pourquoi les turboréacteurs recherchent une température d'entrée de turbine élevée avec des alliages exotiques et le refroidissement des aubes, et pourquoi les tours de refroidissement d'une centrale électrique ne sont pas un défaut de conception — les 500 J qu'elles rejettent sont imposés par le second principe. Le plafond ici ne relève pas de l'ingénierie ; un moteur parfait atteint le même chiffre.

$η_{m a x} = 1 - \frac{T _{C}}{T _{H}} (temperatures in K, always)$
Un rendement de 50,0 % en parcourant tout le cycle à l'envers 6 étapes
Le panneau affiche un rendement de 50,0 % et une variation totale d'entropie d'exactement 0,0000. Ce zéro est le nombre le plus intéressant : c'est l'autorisation de faire tourner tout le cycle à l'envers. Faites-le, et demandez ce que devient une machine de Carnot.
1. Partez de là où le panneau se trouve déjà. La moitié de la chaleur prise à la source chaude ressort en travail et l'autre moitié est rejetée au froid — c'est ce que veut dire 50 % ici, et 1000 J entrants donnent 500 J sortants.
  
  $η = 1 - \frac{T _{C}}{T _{H}} = 1 - \frac{300}{600} = 0.500, W = η Q_{H} = 500 J, Q_{C} = Q_{H} - W = 500 J$
2. Passez à la ligne d'entropie. Ce que la source froide gagne et ce que la chaude perd sont égaux et opposés, donc le total est nul — et un processus à variation d'entropie nulle est réversible par définition. Rien dans le cycle ne privilégie un sens.
  
  $Δ S = \frac{Q _{C}}{T _{C}} - \frac{Q _{H}}{T _{H}} = \frac{500}{300} - \frac{1000}{600} = 1.6667 - 1.6667 = 0$
3. Inversez-le donc. Injectez 500 J de travail : le cycle remonte 500 J du côté froid et en livre 1000 au chaud. Divisez par le travail : deux unités de chaleur livrées par unité de travail dépensée, soit exactement 1/η.
  
  $\frac{Q _{H}}{W} = \frac{1000}{500} = 2 = \frac{1}{η}, \frac{Q _{C}}{W} = \frac{500}{500} = 1$
4. Les deux rapports méritent un nom. Chaleur livrée par unité de travail : 2 ; chaleur retirée au froid par unité de travail : 1. Leur différence vaut toujours exactement 1, et ce n'est pas un hasard : la différence des deux chaleurs est le travail.
  
  $\frac{Q _{H}}{W} - \frac{Q _{C}}{W} = \frac{Q _{H} - Q _{C}}{W} = \frac{W}{W} = 1 \forall T_{H} > T_{C}$
5. Voici maintenant le nombre qui compte pour une maison. Réécrivez le rapport en températures seules : 20 °C dedans contre 0 °C dehors font 20 K d'écart, et la valeur idéale est 14,65 — près de quinze joules de chauffage par joule d'électricité.
  
  $\frac{Q _{H}}{W} = \frac{T _{H}}{T _{H} - T _{C}} : T_{H} = 293 K, T_{C} = 273 K ⟹ \frac{293}{20} = 14.65$
6. Les deux sens tirent en sens contraire, et c'est là le piège. Resserrez l'écart de température et la pompe à chaleur devient spectaculaire tandis que la machine devient inutile.
  
  $T_{H} - T_{C} \to 0 : \frac{T _{H}}{T _{H} - T _{C}} \to \infty, η = 1 - \frac{T _{C}}{T _{H}} \to 0$
Réponse

Faites tourner une machine de Carnot à l'envers et son rendement devient son coefficient de performance, 1/η — ici 2, soit 1000 J livrés pour 500 J de travail. Cela se lit comme 200 % et ne viole rien, car une pompe à chaleur déplace la chaleur au lieu de la fabriquer. L'ennemi de la machine est l'ami de la pompe : à 293 K contre 273 K la valeur idéale est 14,65, alors qu'un appareil réel atteint 3 à 5. Tout l'écart entre 14,65 et 4 est de l'irréversibilité — la ligne d'entropie du panneau cessant d'afficher zéro.

$\frac{Q _{H}}{W} = \frac{1}{η} = \frac{T _{H}}{T _{H} - T _{C}} : 2 (600/300 K), 14.65 (293/273 K)$

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-07-29

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Exemples de problèmes

Rendement de 50 % - Un nombre rond à retenir : 600 K sur 300 K divise le rapport par deux et donne exactement 50,0% — sur 1000 J entrants, 500,0 J ressortent en travail
Moteur de voiture - Une flamme d’essence à 2500 K évacuant à 300 K autorise 88,0%, soit 4400,0 J sur 5000 — un plafond dont les moteurs réels atteignent à peine le tiers
Machine à vapeur - 773 K sur 373 K font 51,7% : vapeur surchauffée vers un condenseur, et pourtant seule la moitié de la chaleur devient du travail
Cryogénique - L’azote liquide à 77 K comme source froide donne 74,3% depuis la température ambiante — la source froide est le levier le moins coûteux, et voici pourquoi
Peu efficace - 350 K sur 300 K font 14,3%. Un écart de 50 degrés fait un mauvais moteur, aussi bien construit soit-il : c’est tout l’objet de la formule