Simulateur d'énergie des montagnes russes

Fais glisser le curseur de position le long du circuit. La conservation de l'énergie détermine la vitesse en chaque point.

Exemple résolu — Simulateur d'énergie des montagnes russes

Hauteur	5 m
Vitesse	0 m/s
KE	0 J
PE	49.05 J

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

Chargement de la simulation interactive...

Leçon

La théorie — Simulateur d'énergie des montagnes russes

Sur une piste sans frottement, l’énergie mécanique se conserve : la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle est la même partout. Cette seule phrase détermine la vitesse en chaque point du parcours à partir de la seule hauteur de départ — sans nécessiter de forces, de chronologie ou de forme de pente.

Ce que signifie chaque symbole

h: la hauteur au-dessus du niveau de référence. Le niveau que vous appelez zéro ne change jamais un résultat : seule la dénivelée h₀ − h entre dans la formule, si bien que déplacer la référence déplace les deux hauteurs ensemble.
v: la vitesse, que l’affichage déduit de l’énergie plutôt que d’une force.
KE: l’énergie cinétique, ½mv².
PE: l’énergie potentielle, mgh — 49.05 J au départ, issue de 1 × 9.81 × 5.
μ: le coefficient de frottement. Réglé au-dessus de zéro, il dissipe de l’énergie le long du trajet, et la quantité dissipée dépend de la distance parcourue plutôt que de la hauteur perdue.

D’où vient la formule

La conservation indique que le total est fixe : ½mv² + mgh = ½mv₀² + mgh₀.
Chaque terme comporte le même facteur m, on peut donc le simplifier : ½v² + gh = ½v₀² + gh₀. La masse a disparu, et ce définitivement.
En isolant la vitesse : v = √(v₀² + 2g(h₀ − h)). Seule la chute de hauteur apparaît — c’est pourquoi l’affichage indique une énergie initiale par unité de masse, 49.05 J/kg, plutôt qu’une force.

Suppose: Une masse ponctuelle glissant sur une piste qui la contraint, sans rotation, sans résistance de l’air et avec une vitesse suffisante pour rester sur les rails. Rien ici ne vérifie si le wagonnet quitterait réellement la piste au passage d’une bosse.
Ne tient plus quand: L’étape 2 mérite d’être testée plutôt que crue sur parole, et la page vous permet de le faire. À mi-parcours, la vitesse indique 7.8912 m/s ; modifiez la masse de 1 kg à 500 kg et elle indique toujours 7.8912 m/s — de manière identique — tandis que KE bondit de 31.135 J à 15,568 J. Les wagonnets plus lourds emportent plus d’énergie et n'avancent pas plus vite. Le frottement ne rompt pas cette règle non plus : la perte par unité de masse est de μgs, ce qui ne dépend pas non plus de la masse.

C'est avec le frottement que la forme du circuit commence à compter 🖖

Sur une piste sans frottement, seule la dénivellation compte ; le profil entre le départ et l’arrivée n’a aucune importance. C’est l’hypothèse décisive, et cet outil permet de la désactiver grâce au réglage de μ. En présence de frottements, la perte devient égale à μg multiplié par la distance parcourue : elle dépend donc du tracé, et non de la hauteur. Le préréglage avec frottements descend de 5 m sur une piste longue de 13,55 m et atteint 9,209 m/s ; pour une descente rectiligne de 5 m avec le même μ = 0,05, la vitesse finale est de 9,654 m/s. Même départ, même hauteur d’arrivée, mais 0,445 m/s perdus uniquement parce que le trajet est plus long. Le préréglage du demi-tube en donne une illustration saisissante. Sans frottement, le mobile remonte exactement à sa hauteur initiale et y parvient avec une vitesse résiduelle de 0,000 m/s. Les deux portions horizontales du milieu ajoutent 4,00 m au trajet sans la moindre variation de hauteur. Il suffit donc de régler μ sur sa plus petite valeur non nulle pour que le mobile s’immobilise avant d’être remonté jusqu’en haut.

La vitesse ne dépend que de la hauteur 🖖

Sur une piste sans frottement, la vitesse de la bille en tout point est fixée uniquement par la hauteur dont elle est descendue depuis son départ — la forme de la piste intermédiaire n'y change rien. Une chute presque verticale et une longue pente douce jusqu'à la même profondeur donnent exactement la même vitesse. Voilà pourquoi la bille ne peut jamais remonter plus haut que son point de départ : l'énergie lui manquerait. Avec du frottement, chaque mètre de piste lui soutire discrètement de l'énergie sous forme de chaleur.

Les vrais loopings ne sont pas circulaires 🖖

Un looping de montagnes russes paraît rond, mais ne l'est presque jamais : c'est une clothoïde en forme de larme, une courbe dont le rayon se resserre vers le sommet. Un looping parfaitement circulaire, assez rapide pour rester sur les rails au sommet, écraserait les passagers en bas sous des forces g brutales. L'ingénieur allemand Werner Stengel a introduit le looping en clothoïde en 1976 : petit rayon en haut (peu de vitesse requise), rayon doux en bas. Même conservation de l'énergie — géométrie plus astucieuse.

Exercice

Vérifiez-vous

Prédisez d’abord la réponse, puis utilisez les commandes ci-dessus pour vérifier. N’affichez la solution qu’après vous être engagé sur une hypothèse : c’est ce qui en fait un exercice.

La case masse est réglée sur 1 kg. Réglez-la sur 500 kg et prédisez ce qui arrive à la vitesse à mi-parcours.

Afficher la réponse

Absolument rien — elle reste à 7.8912 m/s. Chaque terme de l'équation d'énergie contient un facteur m, qui se simplifie ; la vitesse ne dépend donc que de la hauteur de chute. L'énergie cinétique change en revanche, passant de 31.135 J à 15,568 J : un wagonnet plus lourd transporte bien plus d'énergie, mais n'avance pas plus vite.
Au départ, l'affichage indique PE 49.05 J et KE 0 J. Où le grand huit atteint-il sa vitesse la plus élevée, et quelle est l'énergie totale à cet endroit ?

Afficher la réponse

Au point le plus bas de la piste, et le total vaut toujours 49.05 J — c'est l'essence même de la conservation. L'énergie potentielle s'est convertie en énergie cinétique, sans création ni perte. Sans frottement, la somme ne varie jamais, quel que soit le nombre de bosses franchies.
Augmentez le coefficient de frottement au-dessus de zéro. L'énergie perdue dépend-elle de la distance parcourue par le grand huit, ou de la hauteur de chute effectuée ?

Afficher la réponse

De la distance parcourue. Le tableau exprime la perte par μgs, où s représente la distance du parcours — voilà pourquoi l'affichage suit la distance indépendamment de la hauteur. Une longue section plate fait perdre de l'énergie, tandis qu'une chute verticale de même longueur n'en fait perdre presque pas. Remarquez que la formule est également indépendante de la masse, donc les frottements n'invalident pas non plus la réponse précédente.

Problème entièrement résolu

Un wagonnet de 1 kg lâché au repos à 5 m sur la piste 6 étapes
Un wagon de 1 kg lâché du repos à 5 m sur la piste 0,5; 2,3; 3,6; 5,1; 7,4; 9,2; 10,5. Déterminer où il s'arrête — et ce n'est pas à l'extrémité opposée.
1. En l'absence de frottement, l'énergie totale est fixée par la hauteur de départ et ne varie jamais. Un kilogramme et 5 mètres constituent l'intégralité des données de ce problème.
  
  $E_{0} = m g h_{0} = 1 \times 9.81 \times 5 = 49.05 J, v_{0} = 0$
2. Réexprimée par rapport à la vitesse, la même relation devient une restriction : le wagon ne peut se trouver que là où la racine carrée est réelle. C'est là toute la solution, avant même de tracer la moindre piste.
  
  $\frac{1}{2} m v^{2} = m g (h_{0} - h) ⟹ v = 2 g (h_{0} - h), real only where h \leq h_{0}$
3. Examinez la piste pour y trouver son maximum. Le sommet se situe au-dessus du point de départ, ce qui tranche la question — et remarquez que la descente à 1 m au-delà n'intervient à aucun moment dans le raisonnement.
  
  $track max = 6 m > h_{0} = 5 m ⟹ the hill at x = 3 is unreachable$
4. Déterminez exactement le point de rebroussement. Il se trouve sur la montée de (2,3) à (3,6), là où le segment rectiligne repasse par la hauteur de départ.
  
  $(2, 3) \to (3, 6) : y = 5 at x = 2 + \frac{5 - 3}{6 - 3} = 2.667$
5. La longueur du parcours a son importance car les frottements s'exerceraient le long de celui-ci, et non le long de l'horizontale. Six segments, six calculs de Pythagore.
  
  $s = \sum Δ x^{2} + Δ y^{2} = 2.828 + 3.162 + 5.385 + 3.606 + 2.828 + 3.162 = 20.972 m$
6. Deux vitesses permettent de conclure : la vitesse maximale que le wagon atteint réellement au cours de sa courte excursion, et la vitesse de lancement qui débloquerait le reste du parcours.
  
  $v_{m a x} = 2 g (5 - 3) = 6.26 m/s; v_{0} needed = 2 g (6 - 5) = 4.43 m/s$
Réponse

La voiture rebrousse chemin en x = 2,667 m et n’atteint jamais le reste de la piste. La bosse située en x = 3 culmine à 6 m, alors que la voiture est partie d’une hauteur de 5 m : l’énergie disponible ne suffit tout simplement pas. L’affichage indique arrêtée pour toute position au-delà de ce point, signe que l’outil confirme le résultat et non qu’il est en panne. L’intérêt du calcul tient à ceci : aucune simulation n’est nécessaire. La conservation de l’énergie ramène une équation différentielle à une inégalité, h ≤ h₀, et la forme de la piste entre le départ et l’obstacle n’a aucune importance. Donnez à la voiture une vitesse de 4,43 m/s au sommet, et les 20,972 m du parcours deviennent accessibles, avec notamment un passage à 9,90 m/s dans le creux situé en x = 5. En dessous de cette vitesse, toute cette partie de la piste reste hors d’atteinte.

$h_{track} = 6 > h_{0} = 5 ⟹ it stops at x = 2.667, never reaching the drop$

Parcours

L’énergie plutôt que les forces

Mène à momentum-collision

Références (1)

Why real loops are not circles, and what that does to the forces at the top: A.-M. Pendrill, "Roller coaster loop shapes revisited." Physics Education 51(3), 030106, 2016.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-07-29

Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues. Politique éditoriale · Corrections

Toutes les leçons : Physique →

Exemples de problèmes

Classique - Lâché à 5 m, le chariot fait demi-tour en x = 2,667 m : la colline située en x = 3 culmine à 6 m, et l’énergie disponible ne suffit tout simplement pas. Le problème résolu ci-dessous permet de le démontrer sans aucune simulation.
Grande descente - Une descente de 8 m sur 16,45 m de piste sans frottement. Le chariot franchit toutes les collines et atteint 12,528 m/s, vitesse maximale observée sur cette page.
Demi-tube - Trois points de la piste sont à hauteur nulle. Le chariot parcourt donc les 4,00 m du fond horizontal à la vitesse constante de 9,905 m/s, puis remonte exactement à 5 m, où sa vitesse n’est plus que de 0,000 m/s.
Avec frottement - Avec μ = 0,05, les 13,55 m de piste dissipent 6,65 J/kg ; le chariot arrive donc à 9,209 m/s, au lieu des 9,905 m/s qu’il atteindrait en l’absence de tout frottement.