Laboratoire de Quantité de Mouvement & Collisions

Simulez les collisions de chariots en 1D pour explorer la conservation de la quantité de mouvement, les variations de l'énergie cinétique et le coefficient de restitution.

Exemple résolu — Laboratoire de Quantité de Mouvement & Collisions

Coefficient (e)	1.00
Quantité de Mouv. Initiale (Pi)	3.00 kg·m/s
Quantité de Mouv. Finale (Pf)	3.00 kg·m/s
Énergie Initiale (Ki)	10.50 J
Énergie Finale (Kf)	10.50 J

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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La quantité de mouvement survit toujours au choc, pas l’énergie 🖖

Dans tout système fermé, la quantité de mouvement est toujours conservée en raison de la troisième loi de Newton : la force exercée par le chariot 1 sur le chariot 2 est égale et opposée à la force exercée par le chariot 2 sur le chariot 1. L'énergie cinétique, quant à elle, n'est conservée que lors de collisions parfaitement élastiques (e = 1). Dans les collisions macroscopiques réelles, l'énergie est toujours dissipée sous forme d'énergie thermique, de bruit et de déformation du matériau (e < 1). À l'échelle subatomique, les collisions entre molécules de gaz sont parfaitement élastiques, ce qui explique pourquoi les gaz ne finissent pas par s'accumuler au sol sous forme de flaques froides de matière statique.

Le seul chiffre qui règle le rebond 🖖

Le coefficient de restitution e est le réglage central de cet outil. C'est simplement la vitesse de séparation divisée par la vitesse d'approche : e = 1 correspond à un rebond parfait (une balle super-rebondissante), tandis que e = 0 signifie que les chariots restent collés comme de l'argile humide. On peut le mesurer chez soi : lâchez une balle et divisez la hauteur de rebond par la hauteur de chute, ce qui donne e². Un ballon de basket qui remonte à environ 64% de sa hauteur de chute a e ≈ 0.8.

Voyager 2 a joué au billard avec Jupiter 🖖

L'assistance gravitationnelle d'une sonde suit exactement ces règles sans le moindre contact. Dans le référentiel de la planète, le survol est parfaitement élastique (e = 1) : la sonde repart à la vitesse à laquelle elle est arrivée, simplement redirigée. Mais dans le référentiel du Soleil, elle peut gagner près du double de la vitesse orbitale de la planète. Voyager 2 a ainsi gagné environ 10 km/s près de Jupiter — emprunté au mouvement orbital de la planète, qui a ralenti en retour d'une quantité totalement négligeable.

CHOCS — LA QUANTITÉ DE MOUVEMENT SURVIT TOUJOURS, L'ÉNERGIE SOUVENT PAS

Quel choc êtes-vous en train de modéliser ?

Tous les chocs présentés conservent la quantité de mouvement : m₁u₁ + m₂u₂ est identique avant et après, sans exception. Ce qui distingue les cas, c'est la part d'énergie cinétique qui survit, et un seul nombre en décide : le coefficient de restitution e, vitesse de séparation divisée par vitesse d'approche. Fixez e d'abord ; le rapport des masses dira ensuite qui repart où.

Parfaitement élastique (e = 1) — l'énergie cinétique est intégralement conservée e = 1, K′ = K

Parfaitement inélastique (e = 0) — ils restent collés et perdent le plus e = 0, v₁ = v₂

Partiellement élastique (0 < e < 1) — le milieu du monde réel e = (v₂ − v₁)/(u₁ − u₂)

Le lourd frappe le léger — le petit est catapulté m₁ ≫ m₂ ⇒ v₂ → 2u₁

Le léger frappe le lourd — il rebondit en arrière m₁ ≪ m₂ ⇒ v₁ → −u₁

Parfaitement élastique (e = 1) — l'énergie cinétique est intégralement conservée

Ce que vous savez: Rien ne se déforme durablement et rien ne chauffe : les chariots se séparent exactement aussi vite qu'ils se sont approchés. Quantité de mouvement et énergie cinétique sont toutes deux conservées.

Restitution: e = 1, K′ = K

Exemple résolu: 2 kg à +3 m/s rencontre 2 kg à −3 m/s avec e = 1 → ils repartent à −3 et +3 m/s. Les vitesses s'échangent, et les 18 J sont toujours là.

Ouvrir ce cas: Rebond de billes de billard

Parfaitement élastique (e = 1) — l'énergie cinétique est intégralement conservée. Masses égales à e = 1 : les chariots échangent leurs vitesses et gardent chaque joule. Rien ne se déforme durablement et rien ne chauffe : les chariots se séparent exactement aussi vite qu'ils se sont approchés. Quantité de mouvement et énergie cinétique sont toutes deux conservées. — Masses égales à e = 1 : les chariots échangent leurs vitesses et gardent chaque joule.

Parfaitement inélastique (e = 0) — ils restent collés et perdent le plus

Ce que vous savez: Les chariots repartent avec une seule vitesse commune : la vitesse de séparation est nulle. La quantité de mouvement se conserve toujours, mais la perte d'énergie cinétique est la plus grande possible.

Restitution: e = 0, v₁ = v₂

Exemple résolu: 2 kg à 3 m/s heurte 3 kg immobile avec e = 0 → les deux repartent à 1,2 m/s, et 5,4 J des 9 J initiaux ont disparu : 60 % de perte.

Ouvrir ce cas: Collision inélastique collante

Parfaitement inélastique (e = 0) — ils restent collés et perdent le plus. À e = 0 les chariots repartent ensemble, et l'énergie manquante est passée dans les dégâts. Les chariots repartent avec une seule vitesse commune : la vitesse de séparation est nulle. La quantité de mouvement se conserve toujours, mais la perte d'énergie cinétique est la plus grande possible. — À e = 0 les chariots repartent ensemble, et l'énergie manquante est passée dans les dégâts.

Partiellement élastique (0 < e < 1) — le milieu du monde réel

Ce que vous savez: Les chariots se séparent bien, mais plus lentement qu'ils ne se sont approchés. e est le rapport des deux : e = (v₂ − v₁)/(u₁ − u₂).

Restitution: e = (v₂ − v₁)/(u₁ − u₂)

Exemple résolu: 3 kg à +4 m/s rencontre 2 kg à −2 m/s avec e = 0,5 → v₁ = +0,4 et v₂ = +3,4 m/s. Les 6 m/s d'approche reviennent en 3 m/s, et 16,2 J des 28 J sont perdus.

Ouvrir ce cas: Rebond réel d'autos tamponneuses

Partiellement élastique (0 < e < 1) — le milieu du monde réel. Avec 0 < e < 1 ils se séparent plus lentement qu'ils ne se sont rencontrés ; la différence part en chaleur. Les chariots se séparent bien, mais plus lentement qu'ils ne se sont approchés. e est le rapport des deux : e = (v₂ − v₁)/(u₁ − u₂). — Avec 0 < e < 1 ils se séparent plus lentement qu'ils ne se sont rencontrés ; la différence part en chaleur.

Le lourd frappe le léger — le petit est catapulté

Ce que vous savez: Choc élastique avec m₁ bien plus grand que m₂. Le chariot lourd remarque à peine l'impact ; le léger repart plus vite que quoi que ce soit n'est arrivé.

Restitution: m₁ ≫ m₂ ⇒ v₂ → 2u₁

Exemple résolu: 8 kg à 3 m/s heurte 1 kg immobile de façon élastique → le lourd ne ralentit qu'à 2,33 m/s tandis que le léger repart à 5,33 m/s, près du plafond 2u₁.

Ouvrir ce cas: Lourd percute léger

Le lourd frappe le léger — le petit est catapulté. Avec m₁ ≫ m₂ le chariot lourd poursuit presque inchangé et le léger est projeté en avant. Choc élastique avec m₁ bien plus grand que m₂. Le chariot lourd remarque à peine l'impact ; le léger repart plus vite que quoi que ce soit n'est arrivé. — Avec m₁ ≫ m₂ le chariot lourd poursuit presque inchangé et le léger est projeté en avant.

Le léger frappe le lourd — il rebondit en arrière

Ce que vous savez: Choc élastique avec m₁ bien plus petit que m₂. Le chariot arrivant repart en sens inverse ; le lourd bouge à peine.

Restitution: m₁ ≪ m₂ ⇒ v₁ → −u₁

Exemple résolu: 1 kg à 3 m/s heurte 8 kg immobile de façon élastique → le léger rebondit à −2,33 m/s et le lourd avance doucement à 0,67 m/s.

Ouvrir ce cas: Léger rebondit sur lourd

Le léger frappe le lourd — il rebondit en arrière. Avec m₁ ≪ m₂ le chariot léger rebondit presque à sa vitesse d'arrivée et le lourd bouge à peine. Choc élastique avec m₁ bien plus petit que m₂. Le chariot arrivant repart en sens inverse ; le lourd bouge à peine. — Avec m₁ ≪ m₂ le chariot léger rebondit presque à sa vitesse d'arrivée et le lourd bouge à peine.

Références (1)

Insight block 3 — the gravity assist as an elastic collision with a planet: G. A. Flandro, "Solar electric low-thrust missions to Jupiter with swingby continuation to the outer planets." Journal of Spacecraft and Rockets 5(9), 1029–1033, 1968 — the swingby trajectories that became the Voyager Grand Tour.

Problème entièrement résolu

Un chariot de 2 kg rencontrant élastiquement un chariot de 3 kg 5 étapes
Un chariot de 2 kg à 3 m/s rencontre un chariot de 3 kg à −1 m/s, de façon élastique. Calculez les deux vitesses finales à partir des deux lois de conservation — puis voyez ce que coûte la même collision si les chariots restent collés ensemble.
1. La quantité de mouvement d'abord, car elle se conserve quelle que soit la nature du choc. Les signes indiquent les sens du mouvement, de sorte que le −1 du second chariot se soustrait.
  
  $p : m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} = 2 (3) + 3 (- 1) = 3 kg m/s$
2. L'énergie cinétique constitue la seconde contrainte, et c'est celle qui ne s'applique que lorsque la collision est élastique. Dix joules et demi entrent en jeu.
  
  $K : \frac{1}{2} (2) (3)^{2} + \frac{1}{2} (3) (- 1)^{2} = 9 + 1.5 = 10.5 J$
3. Il est possible d'éviter la résolution de deux équations dont une du second degré. Dans un choc élastique, la vitesse relative s'inverse tout simplement — les chariots se séparent aussi vite qu'ils se sont rapprochés — et cette relation linéaire remplace exactement l'équation de l'énergie.
  
  $e = 1 : v_{2} - v_{1} = - (u_{2} - u_{1}) = 4 with m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = 3$
4. Deux équations linéaires donnent alors directement les deux vitesses. Le chariot léger repart en arrière ; le plus lourd est poussé vers l'avant mais se retrouve plus lent que ne l'était le chariot léger à son arrivée.
  
  $⟹ v_{1} = - 1.8 m/s, v_{2} = 2.2 m/s$
5. Réglez maintenant la restitution sur zéro : les chariots repartent ensemble à la vitesse moyenne pondérée par la quantité de mouvement, 0,6 m/s, en emportant 0,9 J.
  
  $e = 0 : v = \frac{3}{5} = 0.6, K_{f} = \frac{1}{2} (5) (0.6)^{2} = 0.9 J ⟹ 91.4% lost$
Réponse

L'outil affiche 3,00 kg·m/s avant et après, et 10,50 J avant et après — la quantité de mouvement et l'énergie sont toutes deux conservées, ce que signifie élastique. Faites glisser le curseur de restitution sur 0 et observez la seconde paire diverger tandis que la première ne varie pas : la quantité de mouvement indique toujours 3,00, mais l'énergie chute à 0,9 J. 91,4 % de l'énergie cinétique a disparu, dissipée sous forme de chaleur, de son et de déformation permanente, sans que la quantité de mouvement ne varie. Cette dissymétrie est essentielle — la quantité de mouvement se conserve lors de toute collision, l'énergie uniquement dans les cas idéalisés, et une zone de déformation est un dispositif conçu pour rendre ce second nombre aussi grand que possible.

$e = \frac{v _{2} - v _{1}}{u _{1} - u _{2}} : e = 1 \Rightarrow K conserved, e = 0 \Rightarrow 91.4% lost$

Parcours

L’énergie plutôt que les forces

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-07-27

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Exemples de problèmes

Rebond de billes de billard - Masses égales, e=1 : les vitesses s'échangent exactement (+3 → -3 et -3 → +3) — l'échange élastique classique façon boules de billard.
Collision inélastique collante - m1=2 kg à 3 m/s percute m2=3 kg immobile, e=0 : ils restent collés et repartent ensemble à 1,2 m/s.
Lourd percute léger - m1=8 kg percute élastiquement m2=1 kg immobile : le chariot lourd ralentit à peine (3→2,33 m/s) tandis que le léger est propulsé à 5,33 m/s.
Léger rebondit sur lourd - m1=1 kg percute élastiquement m2=8 kg immobile : le chariot léger rebondit en arrière (3→-2,33 m/s) tandis que le lourd avance à peine (0→0,67 m/s).
Rebond réel d'autos tamponneuses - e=0,5 : m1=3 kg à 4 m/s rencontre m2=2 kg à -2 m/s : le rebond partiel dissipe environ 58 % de l'énergie cinétique — une collision réaliste d'auto-tamponneuses.