Calculateur de chute libre

temps de chute, vitesse d'impact et énergie en chute libre sous gravité

Exemple résolu — Calculateur de chute libre

Temps de chute (Impact)	4,5152 s
Vitesse d'impact	44,29 m/s (159,5 km/h / 99,1 mph)
Énergie cinétique par kg	981 J/kg

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Calculateur de chute libre

La chute libre est un mouvement soumis uniquement à la pesanteur, en faisant abstraction de l'air. Une unique accélération constante g s'applique pendant toute la chute, et tout ce que le panneau indique découle de cette seule hypothèse — aucune force n'est ajoutée, et aucune n'est négligée.

Ce que signifie chaque symbole

h: la hauteur de chute, mesurée verticalement vers le bas. C'est la seule distance du problème : la distance parcourue latéralement par l'objet et sa forme n'interviennent pas.
g: l'accélération de la pesanteur, en mètres par seconde carrée. Réglez-la sur 1.62 pour la Lune et la même chute de 100 m s'allonge de 4.5152 s à 11.1111 s, pour arriver à 18 m/s au lieu de 44.29 m/s.
v: la vitesse d'impact au moment de l'atterrissage, et non une moyenne. L'objet s'est déplacé plus lentement que cette valeur pendant toute la chute, sauf à l'instant final.
t: le temps de chute. Il croît comme la racine carrée de la hauteur, ce qui est le point surprenant — une hauteur dix fois plus grande ne multiplie le temps que par 3.1623.

D’où vient la formule

Avec une accélération constante et un départ sans vitesse initiale, la distance est h = ½gt². Toute la physique est là ; le reste n'est que de l'algèbre.
En isolant le temps : t = √(2h/g). La racine carrée explique pourquoi une chute ne prend pas deux fois plus de temps pour une hauteur deux fois plus grande.
La vitesse après un temps t est v = gt. En remplaçant le temps par l'expression de l'étape 2, on obtient v = g·√(2h/g) = √(2gh) — la hauteur et la pesanteur interviennent de manière symétrique, et la masse n'apparaît dans aucune des deux lignes.
L'énergie cinétique par kilogramme est ½v², et élever √(2gh) au carré donne exactement g·h. Pour h = 100 et g = 9.81, la troisième ligne indique 981 J/kg, soit 9.81 × 100 — l'affichage est simplement le produit des deux valeurs d'entrée.

Comment lire ce que vous voyez

Modifiez la hauteur et observez les deux lignes supérieures se déplacer de concert, mais sans être synchronisées : à 1000 m, la chute dure 14.2784 s contre 4.5152 s, pour une vitesse d'impact de 140.07 m/s contre 44.29 m/s — valeurs toutes deux multipliées par 3.1623, car multiplier la hauteur par dix revient à multiplier tout le reste par √10. Prenez plutôt le quart de la hauteur. La vitesse diminue alors exactement de moitié, puisque v varie comme √h : 25 m donne 22.15 m/s.

Suppose: Aucune résistance de l'air, un départ arrêté et une gravité qui ne varie pas pendant la chute. Cette dernière hypothèse est la plus indulgente des trois. L'accélération g diminue en effet avec l'altitude, si bien qu'une véritable chute de 1 000 m ne s'effectue pas sous une valeur unique comme c'est le cas ici.
Ne tient plus quand: C'est la résistance de l'air qui fausse d'abord le modèle, et ce de façon majeure plutôt que marginale. Un parachutiste réel cesse d'accélérer à une vitesse limite d'environ 55 m/s, si bien que cette page surestime déjà le cas d'une chute de 1000 m de plus d'un facteur deux à 140.07 m/s. La formule ne contient aucun terme permettant d'imposer un plafond — v = √(2gh) croît sans limite — donc le nombre affiché n'est pas une réponse légèrement optimiste, mais la réponse à une autre question.

Galilée ne pouvait pas chronométrer une bille en chute libre, alors il a ralenti la gravité 🖖

Une chute de quelques mètres s'achève en moins d'une seconde, et l'horloge la plus précise disponible en 1600 était un récipient d'eau pesé sur une balance. Galilée a donc dilué la gravité au lieu de la combattre : faites rouler une bille le long d'un plan incliné à faible pente et la même accélération constante s'exerce à une fraction de son intensité, étirant le mouvement jusqu'à ce qu'il puisse être mesuré à la main. Il a ainsi découvert que les distances parcourues lors d'intervalles de temps égaux successifs suivaient la suite 1, 3, 5, 7 — les nombres impairs, dont les sommes cumulées donnent 1, 4, 9, 16, c'est-à-dire les carrés. Voilà h ∝ t² établi sans aucun chronomètre. La case de gravité ci-dessus fait exactement la même chose de façon logicielle : la régler sur 1.62 ne modifie pas la physique, mais seulement le rythme auquel elle se déroule.

Exercice

Vérifiez-vous

Prédisez d’abord la réponse, puis utilisez les commandes ci-dessus pour vérifier. N’affichez la solution qu’après vous être engagé sur une hypothèse : c’est ce qui en fait un exercice.

Appuyez sur Tour de 100 m (Terre) : 4.5152 s, 44.29 m/s, 981 J/kg. Réglez maintenant la pesanteur sur les 1.62 de la Lune sans toucher à la hauteur — la vitesse d'impact s'effondre à 18 m/s. À quelle hauteur faudrait-il lâcher l'objet sur la Lune pour qu'il arrive aussi fort, et quelle ligne vous dit que vous y êtes ?

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Environ 605.5 m, six fois la hauteur pour un sixième de la gravité. Observez la troisième ligne. L'énergie cinétique par kilogramme y vaut g·h et rien d'autre. Par conséquent, chercher 981 J/kg revient à chercher la vitesse. Aux valeurs 605.5 et 1.62, on relève 980.91 J/kg et 44.29 m/s, face aux 981 de la Terre et à ce même 44.29. La chute prend maintenant 27.341 s au lieu de 4.5152 s. C'est six fois plus long pour atteindre la même vitesse, car une faible gravité a besoin de distance pour accomplir ce qu'une forte gravité réalise rapidement.
Un vrai parachutiste cesse d'accélérer autour de 55 m/s. À partir de quelle hauteur de chute cette page annonce-t-elle une vitesse qu'aucune personne en chute n'atteint ?

Afficher la réponse

Entre 154 m et 155 m : 154 donne 54.97 m/s et 155 donne 55.15 m/s. Ce seuil est plus bas qu'on ne le croit, et tout ce qui est au-dessus répond sur le vide, pas sur l'air. L'écart se creuse ensuite vite : à 1000 m la page annonce 140.07 m/s, deux fois et demie la vitesse qu'un corps tombant dans l'air ne peut pas dépasser.

Problème entièrement résolu

Lâcher une pierre de 100 m avec g = 9,81 m/s² 5 étapes
Lâchez une pierre depuis 100 m avec g = 9,81 m/s². Calculez le temps de chute, la vitesse d'impact et l'énergie par kilogramme. Déterminez ensuite à quels moments de la chute se situent les points médians, car ni la mi-hauteur ni la mi-énergie ne correspondent à la moitié du temps.
1. Le déplacement est quadratique par rapport au temps, donc poser la hauteur égale à zéro et résoudre constitue toute la première étape.
  
  $y (t) = h - \frac{1}{2} g t^{2} = 0 ⟹ t = \frac{2 h}{g} = \frac{200}{9.81} = 4.5152 s$
2. La vitesse est la dérivée, évaluée à cet instant. La conversion vaut le détour : 159 km/h est une vitesse d'autoroute, depuis dix étages.
  
  $v = g t = 9.81 \times 4.5152 = 44.29 m/s = 159.5 km/h$
3. En substituant v² = 2gh dans l'énergie cinétique par kilogramme, la vitesse disparaît pour ne laisser place qu'à la hauteur de chute et à la gravité. Il s'agit d'énergie potentielle restituée telle quelle. Cela explique pourquoi on obtient ce résultat rond de 981.
  
  $v^{2} = 2 g h ⟹ \frac{E _{k}}{m} = \frac{1}{2} v^{2} = g h = 9.81 \times 100 = 981 J/kg$
4. Passons maintenant au profil de la chute. Exprimer la hauteur sous forme de fraction du total rend la dépendance temporelle purement quadratique, et les carrés sont impitoyables : la moitié du temps écoulé ne fait parcourir qu'un quart de la distance.
  
  $\frac{y}{h} = 1 - (\frac{t}{t _{imp}})^{2} : t = \frac{1}{2} t_{imp} \Rightarrow only 25% fallen; y = \frac{1}{2} h \Rightarrow t = 0.707 t_{imp}$
5. L'air modifie le point d'arrivée, pas seulement le rythme. Avec une vitesse limite de 55 m/s, la formule explicite donne 38,0 m/s — soit 14 % de vitesse en moins mais 26 % d'énergie en moins, car l'énergie varie comme le carré, et c'est la seule ligne où la masse réapparaîtrait.
  
  $v_{t} = 55 m/s : v_{imp} = v_{t} 1 - e^{- 2 g h / v_{t}^{2}} = 55 1 - e^{- 0.6486} = 38.0 m/s, \frac{E _{k}}{m} = 721.8$
Réponse

4,5152 s, 44,29 m/s et exactement 981 J/kg. Ce dernier résultat n'est autre que gh. La masse s'éliminant complètement, un caillou et un piano arrivent au sol avec la même énergie par kilogramme. Observez par ailleurs que la distance franchie se concentre massivement sur la fin. À la moitié du temps, la pierre n'a parcouru qu'un quart de la hauteur. Elle n'atteint la mi-hauteur qu'à 71 % de la durée totale. La moitié du trajet s'effectue dans les seuls 29 % restants. Voilà pourquoi une chute qui paraît inoffensive vue du sommet ne pardonne en réalité jamais.

$t = 4.5152 s, v = 44.29 m/s, E_{k} / m = g h = 981 J/kg$

Parcours

L’énergie plutôt que les forces

Références (3)

Where “distance goes as the square of the time” comes from — the result the whole panel rests on: Galileo Galilei, Two New Sciences, including Centers of Gravity & Force of Percussion, translated by Stillman Drake. University of Wisconsin Press, 1974. ISBN 0-299-06404-2. First published as the Discorsi in 1638.
The 9.80665 m/s² the gravity field is built around, and where that exact figure was fixed: Bureau International des Poids et Mesures, Declaration 2 of the 3rd CGPM (1901): “The value adopted in the International Service of Weights and Measures for the standard acceleration due to gravity is 980.665 cm/s².”
The “no air” assumption tested where there genuinely is none: NASA, “The Apollo 15 Hammer-Feather Drop.” Commander David Scott released a 1.32 kg geological hammer and a 0.03 kg falcon feather from about 1.6 m; both struck the surface together.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.