Arcs, câbles et ligne de pressions

Deux structures qui portent les charges de la même manière, l'une en traction pure et l'autre en compression pure. Suspendez un câble et choisissez ce qu'il supporte, ou bâtissez un arc en pierre et cherchez une ligne de pressions qui reste à l'intérieur. Le tableau sous le dessin détaille chaque calcul.

Exemple résolu — Arcs, câbles et ligne de pressions

Charge du tablier	128,00 MN
Poids du câble	52,86 MN
Tension horiz., estim. parab.	200,50 MN
Tension horizontale H	201,44 MN
Réaction verticale par appui	90,43 MN
Tension aux appuis	220,80 MN
Longueur du câble	1 321,48 m
Part du tablier dans la charge	70,8%

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Arcs, câbles et ligne de pressions

La ligne des pressions est le chemin emprunté par la force de compression à travers un arc : à chaque joint entre les pierres, le point où la résultante de tout ce qui se trouve au-dessus croise ce joint. Un arc de blocs ne pouvant supporter aucune traction tient debout si une ligne des pressions reste partout à l'intérieur de la maçonnerie. C'est le théorème de sécurité de Jacques Heyman, et chaque point où la ligne touche une face est une rotule potentielle. Un câble est la même chose en traction. Sa forme est le funiculaire de sa charge : une parabole pour une charge répartie uniformément sur la portée, une chaînette pour une charge répartie uniformément le long du câble lui-même.

Ce que signifie chaque symbole

H: la poussée horizontale, en kN par mètre de largeur pour l'arc et en kN pour le câble. Identique à chaque section, car rien ne pousse latéralement
t: l'épaisseur de l'arc. La page trouve la plus petite valeur qui contienne encore une ligne des pressions
R: le rayon d'une fibre moyenne circulaire. Pour un demi-cercle, t ÷ R est la valeur à comparer au 0,1075 de Milanković
w_d: une charge par mètre de portée, comme un tablier. À elle seule, elle fait pendre un câble selon une parabole
w_c: une charge par mètre de câble, comme son propre poids. À elle seule, elle fait pendre un câble selon une chaînette

Suppose: Les pierres ne supportent aucune traction à travers un joint, résistent assez à la compression pour ne jamais s'écraser, et ne peuvent pas glisser les unes sur les autres. Ce sont les trois hypothèses de Heyman, et notre seconde analyse met à l'épreuve celle du milieu. La page considère également chaque pierre comme rigide et laisse l'arc ne porter que son propre poids. Le câble n'a aucune rigidité en flexion, et ses appuis sont de niveau.

Le tablier, et non le câble, décide de la courbe que prend le câble 🖖

Cliquez sur Câble type Golden Gate. Il pend à 164,7 mm d'une parabole et à 407,7 mm d'une chaînette, pour une flèche de 143 m. Cliquez sur Câble sans tablier et le même câble épouse la chaînette. Une chaîne ne portant qu'elle-même voit sa charge répartie sur sa propre longueur. Elle est donc plus lourde par mètre de portée là où la pente est forte, ce qui engendre une chaînette. Un tablier suspendu se répartit uniformément sur la portée, ce qui dessine une parabole. Galilée traçait des paraboles à l'aide d'une chaîne suspendue, qui n'en offre qu'une approximation. La page Fonctions hyperboliques raconte cette histoire ; le pont suspendu est le cas où la parabole constitue la meilleure réponse. Les deux courbes ne sont séparées que de 572,4 mm à cette flèche, soit 0,40 % de celle-ci, raison pour laquelle le panneau supérieur affiche un seul trait tandis que celui du bas doit tracer les écarts en millimètres. Donnez au câble une flèche valant la moitié de sa portée et elles s'écarteront de 5 %.

Un arc fin s'effondre avec une pierre à peine sollicitée 🖖

Cliquez sur Demi-cercle, t/R 0,12. Une ligne des pressions s'inscrit dans la pierre, et chaque retombée transmet les 94,25 kN par mètre de largeur de son demi-arc directement sur 0,6 m de pierre. C'est une moyenne de 0,16 MPa, une infime fraction de ce que n'importe quelle pierre de taille supporte en compression. Cliquez sur Demi-cercle, t/R 0,09 et aucune ligne des pressions ne s'y inscrit : l'arc ouvre des rotules à la clé, aux reins et aux retombées puis se plie, sans qu'une seule pierre ne soit écrasée. Un arc tient ou tombe selon sa géométrie. Avec ses 40 voussoirs par défaut, cette page situe la limite du demi-cercle à t/R = 0,1075. Il s'agit de la valeur déduite par Milutin Milanković dans ses articles sur la ligne des pressions, publiés entre 1904 et 1910, des années avant la théorie astronomique des paléoclimats qui porte son nom. La résistance à l'écrasement n'entre pas en ligne de compte : une pierre dix fois plus solide s'effondre avec la même épaisseur.

Renversez une chaîne suspendue et l'arc ne requiert presque aucune épaisseur 🖖

Cliquez sur Arc chaînette fin : 0,1 m de pierre pour une portée de 10 m, et l'ouvrage tient debout. Cliquez ensuite sur Arc parabolique fin, avec les mêmes portée, flèche et épaisseur, et rien ne s'y inscrit. La chaînette fonctionne car une chaîne suspendue sous son propre poids travaille en traction pure sur toute sa longueur. Retournez-la, et chaque force devient une compression le long de cette même ligne. La ligne des pressions d'une chaînette inversée descend au beau milieu de sa propre pierre, elle n'a donc besoin d'aucune épaisseur pour la contenir. Robert Hooke l'a constaté en 1675 et l'a dissimulé dans une anagramme : telle pend la ligne flexible, telle, mais inversée, se tiendra l'arche rigide. Gaudí a conçu l'église de la Colònia Güell, dont seule la crypte fut construite, avec des ficelles et des petits sacs de plomb suspendus à une planche, et a retourné les photographies. Le tableau comparatif dresse la liste de ces quatre profils. Pour une flèche valant la moitié de la portée, l'arc brisé est le demi-cercle. La parabole exige 0,1444 m et le demi-cercle 0,5373 m.

Problème entièrement résolu

La tension dans le câble porteur d'un pont suspendu 5 étapes
Un câble porteur franchit 1 280 m entre ses pylônes avec une flèche de 143 m. Il supporte 100 kN de tablier par mètre de portée et pèse 40 kN par mètre de sa propre longueur. Estimez la tension aux pylônes sans résoudre la courbe. Cliquez ensuite sur Câble type Golden Gate et voyez à quel point votre estimation est proche.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Traitez toute la charge comme si elle était répartie uniformément sur la portée. Cela suppose que le câble mesure 1 280 m de long, ce qui n'est pas tout à fait le cas :
  
  $w \approx w_{d} + w_{c} = 100 + 40 = 140 kN/m, w L = 140 \cdot 1280 = 179.20 MN$
2. Une charge répartie uniformément sur la portée fait pendre le câble selon une parabole, et pour une parabole la tension horizontale découle d'un calcul de moment du demi-câble par rapport au pylône :
  
  $H = \frac{w L ^{2}}{8 f} = \frac{140 \cdot 128 0 ^{2}}{8 \cdot 143} = 200.50 MN$
3. Chaque pylône porte la moitié de la charge totale directement vers le haut :
  
  $V = \frac{w L}{2} = 89.60 MN$
4. Au niveau du pylône, le câble tire selon sa propre direction, et cette tension combine les deux composantes :
  
  $T = H^{2} + V^{2} = 200.5 0^{2} + 89.6 0^{2} = 219.61 MN$
5. La page résout la courbe avec exactitude. Le câble mesure 1 321,48 m de long, son poids propre s'élève donc à 52,86 MN au lieu de 51,20, et les vrais chiffres sont un peu plus élevés :
  
  $H = 201.44, V = 90.43, T = 220.80 MN$
Réponse

Environ 219,6 MN à chaque pylône avec la parabole, contre 220,80 MN avec la courbe exacte, soit 0,54 % trop bas. La parabole est imprécise car le câble est 3,2 % plus long que la portée, et que le poids du câble représente 29 % de la charge. Pour un premier dimensionnement du câble, c'est aussi bon que la réponse exacte, et il a fallu un calcul de moment et une racine carrée.

$\frac{220 . 80 - 219 . 61}{220 . 80} = 0 . 54%$

Parcours

Le cheminement des charges

Références (5)

The paper that put the analysis of masonry on the footing this page uses: blocks that cannot take tension, cannot slide and are never crushed, and an arch that is safe if any line of thrust fits inside it: J. Heyman, "The stone skeleton." International Journal of Solids and Structures 2(2), 1966, pp. 249-279. DOI 10.1016/0020-7683(66)90018-7
Insight 2's figure t/R = 0.1075 is Milankovitch's, for radial joints, and this paper is the modern treatment of it. Its abstract gives 0.1075 for radial cuts and 0.1095 for vertical ones, which is why this page states which joints it uses: N. Makris and H. Alexakis, "The effect of stereotomy on the shape of the thrust-line and the minimum thickness of semicircular masonry arches." Archive of Applied Mechanics 83(10), 2013, pp. 1511-1533. DOI 10.1007/s00419-013-0763-4
That the astronomer of the ice ages is the same Milankovitch, and that his thrust-line papers date from 1904 to 1910: F. Foce, "Milankovitch's Theorie der Druckkurven: Good mechanics for masonry architecture." Nexus Network Journal, 2007, pp. 185-209. DOI 10.1007/978-3-7643-8699-3_3
The catenary itself, cosh and Galileo's mistake, are derived on another tool of this site rather than here: The hanging chain y = a cosh(x/a) and the 1638 story: see /math/hyperbolic on this site.
The Golden Gate-sized preset uses the bridge's span and sag and ESTIMATED loads — see the note: No source. The 1,280 m main span and a sag of about 143 m are the bridge's published dimensions, recalled; the 40 kN/m cable weight is derived from a recalled wire count and wire diameter; the 100 kN/m deck load is an estimate.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.