Explorateur des paramètres des coniques

Ajuste le centre, les paramètres de forme et l'orientation pour voir la géométrie de l'équation se mettre à jour en direct.

Exemple résolu — Explorateur des paramètres des coniques

forme réduite de l'ellipse	1
Centre	(0,0)
demi-grand axe	4
demi-petit axe	3
distance focale c	2.645751

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

Chargement de la simulation interactive...

Seule la parabole reçoit une directrice tracée, et le sommet tombe exactement au milieu 🖖

Passe d’un préréglage à l’autre : une ligne n’apparaît que pour la parabole, la directrice. Ce n’est pas un manque chez les deux autres, c’est la définition. Prends parabolaRight : le sommet est en (−2, 0), le foyer en (1, 0) et la directrice en x = −5, ce qui place le sommet exactement à 3 de chacun. Cette distance est p, et c’est pourquoi modifier p écarte foyer et directrice de façon symétrique. Une parabole est la courbe dont les points sont à égale distance d’un foyer et d’une droite, le rapport est donc bloqué à 1 ; ellipse et hyperbole rapportent à la place des foyers décalés de c.

D'où vient le nom 🖖

Le mot « conique » est littéral : coupez un cône double avec un plan et l'arête obtenue est l'une de ces courbes. Plan horizontal, vous obtenez un cercle ; inclinez-le légèrement, une ellipse ; inclinez-le parallèlement au côté du cône, une parabole ; inclinez davantage pour couper les deux moitiés, et vous obtenez les deux branches d'une hyperbole. Chaque forme de cet outil n'est qu'un angle de coupe différent.

Le foyer caché dans le cône 🖖

Une conique tracée comme équation possède un foyer, et une conique découpée dans un cône possède un plan de coupe : rien ne semble les relier. En 1822, Germinal Dandelin a montré que c'est le même point : glissez une sphère dans le cône pour qu'elle touche à la fois le cône et le plan de coupe, et le point de contact de la sphère est exactement le foyer. Pour une ellipse, deux telles sphères s'y logent et fixent ses deux foyers.

Problème entièrement résolu

Une ellipse de demi-axes 4 et 3 et de foyers à c = 2,6458 5 étapes
Une ellipse dont les demi-axes valent 4 et 3 a ses foyers à c = 2,6458. Démontrez ce résultat, puis la propriété fondamentale qui définit l'ellipse.
1. Les trois longueurs ne sont pas indépendantes. En se plaçant à l'extrémité du petit axe, les deux distances focales sont égales, chacune formant un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit sont b et c et l'hypoténuse est a — ainsi a² = b² + c², et la relation de Pythagore réside au cœur de toute ellipse.
  
  $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1, a = 4, b = 3$
2. Isoler c donne √7. L'outil affiche 2,645751, ce qui correspond à cette valeur exacte.
  
  $a^{2} = b^{2} + c^{2} ⟹ c = 16 - 9 = 7 = 2.645751$
3. L'excentricité est le rapport de c sur a, et constitue le paramètre de forme — l'unique nombre qui indique l'écart de la courbe par rapport au cercle, indépendamment de sa taille.
  
  $e = \frac{c}{a} = \frac{2.645751}{4} = 0.6614$
4. La propriété caractéristique s'en déduit : la somme des distances aux deux foyers est la même pour tout point, et égale à 2a. Vérifiez-le à l'extrémité du grand axe, où les distances sont a − c et a + c.
  
  $r_{1} + r_{2} = 2 a = 8 for every point on the curve$
5. L'excentricité classifie également toute la famille. Zéro correspond à un cercle, une valeur tendant vers 1 donne une parabole, et au-delà de 1 il s'agit d'une hyperbole — avec la même équation tout au long.
  
  $e \to 0 \Rightarrow circle; e \to 1 \Rightarrow parabola; e > 1 \Rightarrow hyperbola$
Réponse

L'outil affiche a = 4, b = 3 et c = 2,645751. La propriété de somme constante est essentielle, car elle constitue à la fois la définition et le mode de construction : deux punaises et une boucle de ficelle de longueur 2a + 2c tracent exactement cette courbe. Il ne s'agit pas d'une astuce d'artisanat, mais de la définition incarnée dans le monde physique. C'est également la raison pour laquelle les orbites sont des ellipses dont le soleil occupe un foyer et non le centre — le foyer est le lieu où s'exerce la physique, le centre n'étant que le milieu d'un dessin.

$c = a^{2} - b^{2} = 7, e = 0.661; r_{1} + r_{2} = 2 a defines the ellipse$

Références (1)

Insight block 3 — the sphere that turns a cutting plane into a focus: G. P. Dandelin, "Mémoire sur quelques propriétés remarquables de la focale parabolique." Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles 2, 1822.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-05-21

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Exemples de problèmes

ellipse large - Avec des demi-axes de 5 et 3, les foyers se trouvent à c = 4 : c’est le triangle rectangle 3-4-5 inscrit dans l’ellipse. Son excentricité vaut exactement 0,8.
ellipse haute - C’est la même ellipse de demi-axes 5 et 3 que l’ellipse large, redressée puis déplacée en (-1 ; 1). Même valeur c = 4, même excentricité 0,8 : l’orientation ne change pas la forme.
parabole vers le haut - Le sommet est en (0 ; -2), le foyer à l’origine et la directrice d’équation y = -4. Le sommet se trouve à une distance de 2 du foyer comme de la directrice, conformément à la définition même d’une parabole.
parabole vers la droite - Puisque p = 3, le foyer en (1 ; 0) et la directrice d’équation x = -5 se trouvent de part et d’autre du sommet, à une distance de 3. La corde focale parallèle à la directrice a pour longueur 4p = 12.
hyperbole selon x - Avec a = 4 et b = 2, on obtient c = 4,472136 et des asymptotes de pente 0,5. L’excentricité vaut 1,118034, à peine plus que celle d’une parabole, égale à 1.
hyperbole selon y - Avec a = 3 et b = 4, on obtient c = 5 : c’est le même triangle rectangle 3-4-5 que pour l’ellipse large. Ici, toutefois, c² = a² + b², et non a² = b² + c². L’excentricité vaut 1,666667.