Analyse des treillis et méthode des nœuds

Choisissez une triangulation, une portée, une hauteur et la position de la charge. L'outil calcule l'effort dans chaque barre par la méthode des nœuds. Il identifie les barres inactives et montre le comportement du même pont si l'on inversait ses diagonales.

Exemple résolu — Analyse des treillis et méthode des nœuds

Réaction sur l'appui simple	60,00 kN
Réaction sur l'appui double	60,00 kN
Première inconnue en L0 : L0–U0	-69,97 kN
Deuxième inconnue ici : L0–L1	+36,00 kN
Traction maximale, dans L2–L3, L3–L4	+180,00 kN
Compression maximale, dans U2–U3	-216,00 kN
Barres inactives	0
Barres + réactions − 2 × nœuds	0

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Analyse des treillis et méthode des nœuds

Un treillis est une structure composée de barres droites articulées à leurs extrémités et chargées uniquement à ces nœuds. Idéalisez ces nœuds comme des articulations sans frottement. Chaque barre subit alors uniquement un effort dans son propre axe, sous forme de traction si elle est étirée ou de compression si elle est écrasée. La flexion disparaît totalement du système. C'est ce qui permet de tout résoudre par simple arithmétique. À chaque nœud, la somme des forces doit être nulle dans deux directions. Vous obtenez ainsi 2j équations pour m efforts dans les barres et r réactions d'appui. Lorsque m + r = 2j, le treillis est isostatique. L'équilibre seul suffit à déterminer chaque effort, indépendamment du matériau, de la rigidité ou de la section des profilés. La méthode des nœuds consiste à résoudre ces équations un nœud à la fois, en commençant par ceux où se croisent seulement deux inconnues.

Ce que signifie chaque symbole

m: le nombre de barres. Chacune véhicule un seul effort inconnu suivant son axe
j: le nombre de nœuds. Chacun fournit deux équations, une pour chaque direction, le seuil à atteindre est donc de 2j
r: le nombre de composantes de réaction. On en compte trois ici : deux sur l'appui double et une sur l'appui simple
F: l'effort dans une barre, en kilonewtons. Une valeur positive indique une traction sur l'ensemble de cette page, le signe constitue donc la moitié de la réponse
θ: l'angle que forme une diagonale avec la membrure inférieure. C'est l'unique intervention de la trigonométrie dans cette méthode

Suppose: Des nœuds articulés, des barres droites et des charges appliquées exclusivement sur les nœuds. Chacune de ces hypothèses est une idéalisation qu'un pont réel contredit. Les plaques de gousset sont boulonnées ou soudées et transmettent une certaine flexion. Les barres possèdent leur propre poids qui n'agit pas au niveau des nœuds. Un tablier distribue sa charge le long de la membrure plutôt que de la concentrer sur un seul point. Ces trois effets restent négligeables dans un treillis bien proportionné. Cette idéalisation a ainsi survécu à un siècle et demi de constructions pérennes. L'analyse considère également que le treillis reste immobile. Les efforts présentés résultent uniquement des conditions d'équilibre. Rien sur cette page n'indique si la flèche du pont resterait dans des limites acceptables.
Ne tient plus quand: Le calcul s'effondre dès que m + r n'est plus égal à 2j. Ajoutez une barre supplémentaire et l'équilibre statique ne suffit plus. Les efforts dépendent alors de la rigidité de chaque barre, c'est-à-dire de leur matériau et de leur section. L'ensemble de la méthode exposée ici devient inutilisable. C'est le même obstacle auquel se heurtent les lois de Kirchhoff lorsqu'un pont de mesure ne peut être simplifié. La solution est identique : il faut trouver de nouvelles équations en dehors de la stricte statique. Le système cède aussi dans l'autre sens. Retirez une barre et l'ossature se transforme en un mécanisme qui se replie au lieu de se tenir. La ligne vérifiant l'isostaticité devient alors négative. Enfin, l'hypothèse de l'articulation échoue si les barres sont trapues et que le nœud est suffisamment rigide pour leur imposer une véritable flexion.

Trois de ces barres n'ont aucun effort, et vous pouvez les identifier immédiatement 🖖

Cliquez sur Même portée, Pratt. Trois barres affichent exactement zéro : L1–U1, L3–U3 et L5–U5. Vous n'aviez pas besoin de l'outil pour les trouver. Observez le nœud U3 : deux membrures supérieures alignées et un montant. Aucune autre barre ne tire sur ce nœud. Impossible donc d'équilibrer un effort dans ce montant vertical, ce qui signifie qu'il est nul. Ce principe s'applique quelle que soit la charge ou sa position. Le même raisonnement vaut pour les deux autres montants à leurs nœuds inférieurs respectifs. L'outil confirme ce résultat de deux manières indépendantes. Il l'obtient par le calcul des efforts, puis par la seule géométrie sans arithmétique. Ces deux approches concordent sur 23 814 treillis et cas de charge différents. Ces barres ne sont pas inutiles. Une barre inactive maintient aujourd'hui en place une autre barre chargée, sujet central de la prochaine leçon.

Inversez les diagonales et les longues barres changent de signe 🖖

Cliquez sur Même portée, Pratt, puis sur Diagonales inversées. Les nœuds, le nombre de barres et la charge restent identiques. Sur le Pratt, les quatre diagonales intérieures de 7,81 m chacune sont en traction à +93,72 kN. Les petits montants de 5 m reprennent la compression ou restent inactifs. Inversez ces diagonales et ces quatre mêmes barres passent en compression à −93,72 kN, tandis que chaque montant est tendu. Les deux diagonales d'extrémité sont comprimées dans les deux cas. Elles transmettent directement la réaction d'appui vers le haut dans le treillis, ce qui est immuable. L'intensité n'a pas bougé, seul le signe a changé. Ce détail est crucial. Une barre élancée soumise à la compression flambe sous une charge indépendante de la résistance de son acier. À l'inverse, la longueur d'une barre tendue n'a aucune importance. Voilà pourquoi un pont ferroviaire en acier est presque toujours de type Pratt, alors qu'une charpente en bois, dont les assemblages supportent mieux la compression, adopte souvent le système Howe.

Cette même inversion transfère 72 kN entre les deux membrures 🖖

Les membrures sont également affectées, et l'explication est directe. Sur le Pratt, la membrure inférieure reprend +144,00 kN et la supérieure −216,00 kN. Sur le Howe, ces valeurs s'inversent à +216,00 et −144,00. Coupez virtuellement le treillis entre le troisième et le quatrième nœud de panneau. Trois barres traversent cette coupe : deux membrures et une diagonale. Prenez les moments par rapport au nœud d'intersection des deux autres barres pour isoler immédiatement l'effort dans la membrure restante. Sur le Pratt, la diagonale descend de U2 vers L3, rencontrant ainsi la membrure supérieure en U2, à douze mètres de l'appui. Inversez-la. Elle monte désormais de L2 vers U3 et rejoint la membrure supérieure en U3, à dix-huit mètres. La réaction et la hauteur sont identiques, avec un bras de levier de 12 m au lieu de 18 m : 60 × 12 ÷ 5 = 144 contre 60 × 18 ÷ 5 = 216.

Problème entièrement résolu

Résoudre le premier nœud à la main, puis en sauter cinq autres 6 étapes
Un treillis Pratt de 36 m, d'une hauteur de 5 m, avec six panneaux et une charge de 120 kN à mi-portée. Déterminez l'effort dans les deux barres reliées à l'appui gauche. Trouvez ensuite l'effort dans la membrure inférieure à mi-portée sans avoir à calculer les quatre nœuds intermédiaires. Cliquez sur Même portée, Pratt pour suivre pas à pas.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. La charge se trouvant à mi-portée, les deux réactions se la répartissent à parts égales. La triangulation du treillis n'a aucune influence sur cette étape.
  
  $R_{A} = R_{B} = \frac{120}{2} = 60 kN$
2. Commencez par le nœud L0, car c'est le seul point du treillis ne comportant que deux barres inconnues. Tous les autres nœuds en comptent trois, ce qui bloque l'application de la méthode. La diagonale s'élève de 5 m sur une longueur de 6 m, d'où sin θ = 0,6402 et cos θ = 0,7682.
  
  $sin θ = \frac{5}{6 ^{2} + 5 ^{2}} = 0.6402, cos θ = \frac{6}{6 ^{2} + 5 ^{2}} = 0.7682$
3. L'équilibre vertical au nœud L0 ne fait intervenir que la réaction et la diagonale. La membrure inférieure étant horizontale, elle ne participe pas à l'équation.
  
  $Σ F_{y} = 0 : 60 + F_{1} sin θ = 0$
4. Le signe donne la réponse. Une valeur négative signifie que la barre repousse le nœud. L0–U1 est donc en compression à 93,72 kN.
  
  $F_{1} = - \frac{60}{0 . 6402} = - 93.72 kN$
5. Passons à l'équilibre horizontal de ce même nœud, avec la force de la diagonale désormais connue. Le résultat pour la membrure inférieure est positif, ce qui correspond à une traction.
  
  $Σ F_{x} = 0 : F_{2} + F_{1} cos θ = 0 \Rightarrow F_{2} = 93.72 \cdot 0.7682 = + 72.00 kN$
6. Vous pourriez répéter cette opération onze fois supplémentaires. Coupez plutôt le treillis entre le troisième et le quatrième panneau et prenez les moments par rapport à U2, le point de convergence des deux barres que vous souhaitez ignorer. L'effort de la membrure inférieure s'obtient en une seule équation. Vous n'avez même pas eu besoin d'étudier les quatre nœuds intermédiaires.
  
  $Σ M_{U_{2}} = 0 : 60 \cdot 12 = F_{L_{2} L_{3}} \cdot 5 \Rightarrow F_{L_{2} L_{3}} = + 144.00 kN$
Réponse

L0–U1 à −93,72 kN et L0–L1 à +72,00 kN. La membrure inférieure à mi-portée vaut +144,00 kN grâce à une simple équation de moment. Ces deux approches sont complémentaires. La méthode des nœuds est systématique et fournit tous les efforts. Celle des sections isole une barre en une seule ligne de calcul. L'ingénieur qui dimensionne un pont s'intéresse à la barre la plus sollicitée et opte pour la méthode de la coupe. Cette dernière étape montre également d'où vient la valeur 144. Il s'agit des 60 kN de réaction multipliés par le bras de levier de douze mètres, puis divisés par la hauteur de cinq mètres. Si vous divisez la hauteur par deux, l'effort double. C'est l'exemple surbaissé proposé sur cette page, et la raison pour laquelle les ponts de grande portée sont toujours très hauts.

$F_{1} = - 93.72, F_{2} = + 72.00, F_{L_{2} L_{3}} = \frac{60 \cdot 12}{5} = + 144.00 kN$

Parcours

Le cheminement des charges

Références (2)

Where the counting rule on this page comes from. Maxwell gives the condition a frame must satisfy for equilibrium alone to fix every force — the m + r = 2j the results table prints as a row: J. Clerk Maxwell, "On the calculation of the equilibrium and stiffness of frames." The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 27(182), 1864, pp. 294-299. DOI 10.1080/14786446408643668
A standard statics text for the method of joints and the zero-force member rules the page claims a reader can apply by eye. R. C. Hibbeler, Engineering Mechanics: Statics, 14th ed. Pearson, 2016. ISBN 978-0-13-391892-6.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.