Cercle de Mohr et contrainte sur un plan incliné

Définissez les trois contraintes en un point et faites tourner l'élément. Le cercle montre tous les plans à la fois : l'endroit où la contrainte normale est maximale, où le cisaillement culmine, ainsi que le cercle dans l'épaisseur que la vue dans le plan néglige. Le tableau sous le dessin calcule chaque chiffre.

Exemple résolu — Cercle de Mohr et contrainte sur un plan incliné

Centre du cercle	20,00 MPa
Demi-différence	30,00 MPa
Rayon	50,00 MPa
Contrainte principale σ1	70,00 MPa
Contrainte principale σ2	−30,00 MPa
Produit des contraintes	−2 100,00 MPa²
Angle principal θp	26,57°
Plan de σ2	−63,43°

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Cercle de Mohr et contrainte sur un plan incliné

La contrainte agissant sur un plan traversant un point dépend du plan que vous coupez. En deux dimensions, trois nombres la décrivent, σx, σy et τxy, et tourner le plan de θ donne de nouvelles valeurs via les équations de transformation. Le cercle de Mohr les trace toutes à la fois. Chaque plan est un point (σ, τ) sur un cercle centré en (σx + σy) ÷ 2 avec un rayon R = √(((σx − σy) ÷ 2)² + τxy²), et tourner le plan de θ déplace son point de 2θ sur le cercle. Là où le cercle croise l'axe σ se trouvent les contraintes principales σ1 et σ2, sur des plans qui ne subissent aucun cisaillement ; son sommet et sa base correspondent au cisaillement maximal dans le plan, R, sur des plans orientés à 45° par rapport à eux.

Ce que signifie chaque symbole

σ1: la plus grande contrainte principale dans le plan, C + R. La plus grande contrainte normale sur tout plan perpendiculaire à la page
σ2: la plus petite contrainte principale dans le plan, C − R. Son plan est perpendiculaire à celui de σ1
R: le rayon du cercle, et le plus grand cisaillement sur tout plan perpendiculaire à la page
θp: l'angle entre l'axe x et le plan de σ1. La moitié de l'angle qui les sépare sur le cercle
τ_abs: le cisaillement maximal absolu, la moitié de l'écart entre σ1, σ2 et σ3 = 0. Supérieur à R chaque fois que σ1 et σ2 ont le même signe

Ne tient plus quand: La théorie des enveloppes minces néglige la contrainte radiale, qui vaut −p sur la face interne. Pour le préréglage de l'appareil sous pression, σ3 y vaut −2 MPa au lieu de zéro, et avec la contrainte circonférentielle d'enveloppe mince, le cisaillement maximal à la surface interne est de 51 MPa, et non 50. L'égalité σ3 = 0 n'est rigoureusement vraie qu'à la surface externe, et les contraintes d'enveloppe mince sont elles-mêmes des approximations, précises à environ 1 % pour une paroi aussi fine.

Tirez sur une barre et son cisaillement maximal se trouve sur un plan incliné 🖖

Cliquez sur Traction uniaxiale. La barre est tirée à 100 MPa, et sur sa section transversale, à θ = 0, le cisaillement est nul. Tournez l'élément et le cisaillement apparaît. Il augmente jusqu'à θ = 45°, où il atteint 50 MPa en amplitude, soit la moitié de la traction, pour redescendre ensuite. Le tableau l'indique par −50,00. Selon la convention de signe, le cisaillement sur un plan orienté dans ce sens pointe vers la direction négative. Sur le cercle, il s'agit du point le plus haut ou le plus bas, à un quart de tour de votre point de départ, car chaque angle sur l'élément est doublé sur le cercle. Les métaux comme l'acier plastifient par le glissement de dislocations le long de plans de glissement, un phénomène entraîné par le cisaillement. Ils cèdent donc de façon oblique : une éprouvette en acier tirée jusqu'à la rupture se termine par une forme en coupe et cône dont le bord se situe à environ 45° de l'axe. Le critère de Tresca en fait une règle. Un métal ductile plastifie lorsque son cisaillement maximal atteint la moitié de sa limite d'élasticité en traction.

Tordez une craie et elle se brise selon une spirale à 45° 🖖

Cliquez sur Cisaillement pur (torsion). Un arbre tordu subit 100 MPa de cisaillement sur sa section transversale, et tourner l'élément de 45° fait disparaître ce cisaillement. Une paire de faces est tirée avec 100 MPa et l'autre est poussée avec 100 MPa. La torsion est une traction et une compression à angle droit l'une par rapport à l'autre, orientées à 45° de l'arbre, et c'est celui de ces deux efforts auquel le matériau cède qui détermine la façon dont il se brise. Cliquez sur Fonte en torsion. La fonte résiste mal à la traction, elle cède donc là où se trouve la traction, sur le plan à +45°, et une barre de fonte tordue se fissure le long d'une hélice à 45° de son axe. Un bâton de craie fait de même entre vos doigts. Un arbre en acier cède quant à lui par cisaillement, et celui-ci est maximal sur la section transversale elle-même, à θs = 0°. L'acier se rompt donc droit à travers la barre.

Le cisaillement critique d'un appareil sous pression n'est pas sur le cercle que vous avez tracé 🖖

Cliquez sur Appareil sous pression : 100 MPa sur la circonférence et 50 MPa le long de l'axe. Le cercle passant par ces deux valeurs a un rayon de 25 MPa, et 25 MPa est le cisaillement maximal sur tout plan perpendiculaire à la paroi. La paroi possède une troisième direction, à travers son épaisseur, et à la surface externe rien n'appuie dessus, donc σ3 = 0. Le cercle descendant de 100 à 0 est deux fois plus grand, et le cisaillement y est de 50 MPa, sur des plans inclinés à travers l'épaisseur. Vérifiez l'appareil par rapport au cercle dans le plan et le coefficient de sécurité de Tresca ressort à 250 ÷ (2 × 25) = 5,00 ; la valeur de 2,50 de la page est la vraie. Le piège s'ouvre chaque fois que les deux contraintes principales ont le même signe, et il est le plus frappant pour l'état Équibiaxial, où le cercle dans le plan est un point et aucun plan à travers la feuille ne subit de cisaillement, alors que 30 MPa de cisaillement la traversent dans l'épaisseur.

Problème entièrement résolu

Vérification de la plastification d'un appareil sous pression 5 étapes
Un cylindre en acier de 500 mm de rayon avec une paroi de 10 mm contient du gaz à 2 MPa. L'acier plastifie à 250 MPa. Trouvez les contraintes dans la paroi, le cisaillement maximal et le coefficient de sécurité contre la plastification selon le critère de Tresca. Cliquez sur Appareil sous pression pour vérifier chaque chiffre.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. La théorie des enveloppes minces donne directement les deux contraintes dans la paroi. La contrainte circonférentielle vaut le double de la contrainte axiale :
  
  $σ_{h} = \frac{p r}{t} = \frac{2 \cdot 500}{10} = 100 MPa, σ_{a} = \frac{p r}{2 t} = 50 MPa$
2. Aucune des deux directions ne subit de cisaillement, il s'agit donc déjà des contraintes principales, et le cercle dans le plan suit :
  
  $σ_{1} = 100, σ_{2} = 50, C = \frac{100 + 50}{2} = 75, R = \frac{100 - 50}{2} = 25 MPa$
3. Le cisaillement maximal sur tout plan perpendiculaire à la paroi est le rayon :
  
  $τ_{m a x, in} = R = 25 MPa$
4. À la surface externe, rien n'appuie sur la paroi, la troisième contrainte principale est donc nulle, et le plus grand des trois cercles s'étend de σ1 jusqu'à elle :
  
  $σ_{3} = 0, τ_{abs} = \frac{σ _{1} - σ _{3}}{2} = \frac{100 - 0}{2} = 50 MPa$
5. Tresca compare le double du cisaillement maximal à la limite d'élasticité :
  
  $σ_{T} = 2 τ_{abs} = 100 MPa, n = \frac{250}{100} = 2.50$
Réponse

La paroi subit 100 MPa sur la circonférence et 50 MPa le long de l'axe. Le cisaillement maximal est de 50 MPa, à travers l'épaisseur, et non les 25 MPa indiqués par le cercle dans le plan, et le coefficient de sécurité de Tresca est de 2,50. Calculé à partir du seul cercle dans le plan, il aurait été de 5,00, soit le double de ce que l'appareil possède réellement.

$n = 2.50, \frac{250}{2 \cdot 25} = 5.00$

Parcours

Le cheminement des charges

Références (2)

Where the circle comes from. Mohr published the graphical construction for the state of stress at a point in 1882: O. Mohr, "Über die Darstellung des Spannungszustandes und des Deformationszustandes eines Körperelementes." Zivilingenieur 28, 1882.
Where the two material values would be checked. THEY WERE NOT TAKEN FROM HERE — see the note: A materials handbook or the relevant specification: ASTM A36 or EN 10025 S275 for structural steel, ASTM A48 for grey cast iron.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.