Explorateur de sections coniques

courbe conique implicite à partir de Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0

Exemple résolu — Explorateur de sections coniques

Équation	0
Règle de classification	Δ<0⇒Ellipse,Δ=0⇒Parabole,Δ>0⇒Hyperbole
Classification	Ellipse

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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le discriminant est une frontière de phase géométrique 🖖

Le discriminant Δ = B² - 4AC est la frontière de phase des coniques : Δ < 0 donne des courbes de la famille des ellipses, Δ = 0 donne des courbes de la famille des paraboles, et Δ > 0 donne des courbes de la famille des hyperboles. Les termes linéaires D et E déplacent la courbe dans le plan, tandis que F fixe la valeur de la ligne de niveau.

Un cône, toutes les courbes 🖖

Pointez une lampe de poche droit vers un mur et son faisceau dessine un cercle ; inclinez-la et le cercle s'étire en ellipse, s'ouvre en parabole, puis se scinde en hyperbole. Les quatre sont des coupes du même cône de lumière. Cet outil fait l'inverse : à partir des six coefficients A–F, il déduit quelle coupe vous avez tracée. Un cercle n'est que l'ellipse particulière où A = C et B = 0.

les orbites choisissent leur conique selon leur énergie 🖖

Newton a montré que tout corps soumis à la gravité en carré inverse suit une conique dont le Soleil occupe un foyer, et le signe de l'énergie totale décide laquelle : une énergie négative le lie en ellipse, exactement zéro donne une évasion parabolique, une énergie positive ouvre une hyperbole. C'est ainsi que les astronomes ont su que ʻOumuamua (2017) et la comète 2I/Borisov (2019) venaient d'au-delà du système solaire : leurs orbites étaient nettement hyperboliques (e > 1), donc rien ne pouvait les retenir.

Théorie des Coniques — Courbes du Cône et du Plan

Classification des Coniques : Du Cône à l'Équation

Toute section conique est formée par l'intersection d'un cône double avec un plan. L'inclinaison du plan définit la famille géométrique, tandis que son équation est classée par le discriminant Δ = B² - 4AC et l'excentricité e.

Cercle — Rayon Constant & Excentricité Nulle x² + y² = r²

Ellipse — Deux Foyers & Orbit Fermée x²/a² + y²/b² = 1

Parabole — Égale Distance au Foyer & à la Directrice y = a(x − h)² + k

Hyperbole — Deux Branches Ouvertes & Asymptotes x²/a² − y²/b² = 1

Coniques Dégénérées — Section par le Sommet Ax² + Cy² = 0

Coniques Tournées — Alignement avec Terme Croisé tan(2θ) = B / (A − C)

Cercle — Rayon Constant & Excentricité Nulle

Conditions données: Discriminant Δ < 0, A = C ≠ 0, B = 0 (ou e = 0)

Équation: x² + y² = r²

Exemple résolu: x² + y² = 9 ⟹ Cercle centré en (0,0) de rayon r = 3

Ouvrir cette conique: cercle

Cercle — Rayon Constant & Excentricité Nulle. Cercle : Plan de coupe perpendiculaire à l'axe du cône. Discriminant Δ < 0, A = C ≠ 0, B = 0 (ou e = 0) — Cercle : Plan de coupe perpendiculaire à l'axe du cône.

Ellipse — Deux Foyers & Orbit Fermée

Conditions données: Discriminant Δ < 0, A ≠ C ou B ≠ 0 (0 < e < 1)

Équation: x²/a² + y²/b² = 1

Exemple résolu: 4x² + 9y² = 36 ⟹ Demi-grand axe a = 3, demi-petit axe b = 2

Ouvrir cette conique: ellipse inclinée

Ellipse — Deux Foyers & Orbit Fermée. Ellipse : Plan de coupe incliné traversant une seule nappe. Discriminant Δ < 0, A ≠ C ou B ≠ 0 (0 < e < 1) — Ellipse : Plan de coupe incliné traversant une seule nappe.

Parabole — Égale Distance au Foyer & à la Directrice

Conditions données: Discriminant Δ = B² - 4AC = 0 (e = 1)

Équation: y = a(x − h)² + k

Exemple résolu: y - x² = 0 ⟹ Sommet en (0,0), foyer en (0, 0.25)

Ouvrir cette conique: parabole

Parabole — Égale Distance au Foyer & à la Directrice. Parabole : Plan de coupe parallèle à une génératrice du cône. Discriminant Δ = B² - 4AC = 0 (e = 1) — Parabole : Plan de coupe parallèle à une génératrice du cône.

Hyperbole — Deux Branches Ouvertes & Asymptotes

Conditions données: Discriminant Δ = B² - 4AC > 0 (e > 1)

Équation: x²/a² − y²/b² = 1

Exemple résolu: x² - y² = 4 ⟹ Deux branches d'asymptotes y = ±x

Ouvrir cette conique: hyperbole

Hyperbole — Deux Branches Ouvertes & Asymptotes. Hyperbole : Plan de coupe raide traversant les deux nappes. Discriminant Δ = B² - 4AC > 0 (e > 1) — Hyperbole : Plan de coupe raide traversant les deux nappes.

Coniques Dégénérées — Section par le Sommet

Conditions données: Le plan passe exactement par le sommet du cône

Équation: Ax² + Cy² = 0

Exemple résolu: x² + y² = 0 (Un point) ou x² - y² = 0 (Deux droites y = ±x)

Ouvrir cette conique: droites sécantes

Coniques Dégénérées — Section par le Sommet. Conique dégénérée : Le passage par le sommet réduit la courbe. Le plan passe exactement par le sommet du cône — Conique dégénérée : Le passage par le sommet réduit la courbe.

Coniques Tournées — Alignement avec Terme Croisé

Conditions données: Terme croisé B ≠ 0 dans Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0

Équation: tan(2θ) = B / (A − C)

Exemple résolu: 4x² + xy + 2y² = 16 ⟹ Ellipse inclinée

Ouvrir cette conique: presque une parabole

Coniques Tournées — Alignement avec Terme Croisé. Conique tournée : Le terme Bxy incline les axes dans le repère. Terme croisé B ≠ 0 dans Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 — Conique tournée : Le terme Bxy incline les axes dans le repère.

Références (1)

Insight block 3 — the hyperbolic orbit that proved an object came from outside: K. J. Meech et al., "A brief visit from a red and extremely elongated interstellar asteroid." Nature 552, 378–381, 2017 — 1I/ʻOumuamua, whose positive orbital energy is what identified it.

Problème entièrement résolu

L'angle d'inclinaison de l'ellipse oblique, ses deux axes et son excentricité 5 étapes
4x² + xy + 2y² = 16 est une ellipse, et le terme en xy signifie qu'elle est inclinée. Déterminez son angle d'inclinaison, ses deux axes et son excentricité — dont aucun n'est affiché par ce panneau.
1. Le discriminant détermine d'abord la famille. Il est négatif, donc la courbe est une ellipse, et aucune rotation ni translation ne peut changer cela.
  
  $Δ = B^{2} - 4 A C = 1 - 4 (4) (2) = 1 - 32 = - 31 < 0$
2. Écrivez la partie quadratique sous la forme d'une matrice symétrique, en répartissant le coefficient de xy entre les deux termes hors diagonale. Son déterminant vaut 7,75, et le discriminant est exactement égal à −4 fois ce dernier — le même test sous une autre notation.
  
  $M = (A B /2 B /2 C) = (4 0.5 0.5 2), det M = 8 - 0.25 = 7.75 = - \frac{Δ}{4}$
3. Pivoter les axes d'un angle θ modifie B, et la rotation qui l'annule complètement vérifie tan 2θ = B/(A − C). La résolution donne une inclinaison d'environ 13,3°.
  
  $tan 2 θ = \frac{B}{A - C} = \frac{1}{2} ⟹ θ = 13.282 5^{\circ}$
4. Dans le repère tourné, l'équation ne comporte aucun terme croisé, et les deux nouveaux coefficients sont les valeurs propres de cette matrice. L'ellipse apparaît alors sous sa forme habituelle.
  
  $λ = \frac{6 \pm 5}{2} = 4.118, 1.882 ⟹ 4.118 x^{'2} + 1.882 y^{'2} = 16$
5. Les demi-axes s'en déduisent, et avec eux l'excentricité : 0,737. C'est une ellipse nettement allongée — le petit axe représente 68 % du grand, et aucune planète du système solaire n'a une orbite dont la forme s'en rapproche.
  
  $a = \frac{16}{1.882} = 2.916, b = \frac{16}{4.118} = 1.971, e = 1 - \frac{b ^{2}}{a ^{2}} = 0.737$
Réponse

L'outil affiche Δ = −31 et la classe comme Ellipse. L'étape 2 explique pourquoi l'on peut se fier à cette classification. La rotation des axes modifie A, B et C individuellement, mais elle ne peut pas modifier le déterminant de la matrice qu'ils forment, et le discriminant n'est rien d'autre que ce déterminant multiplié par −4. Ainsi, la frontière ellipse-parabole-hyperbole est une propriété de la courbe plutôt que des coordonnées dans lesquelles vous l'avez tracée — ce qui est exactement ce qu'une classification doit être pour avoir de la valeur.

$Δ = - 4 det M, and det M survives rotation$

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-08-17

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Exemples de problèmes

cercle - x^2 + y^2 = 9 est un cercle, cas particulier d'ellipse.
ellipse inclinée - Un terme xy non nul produit une ellipse tournée.
parabole - y = x^2 donne une classification de type parabole (delta=0).
hyperbole - x^2 - y^2 = 4 est une hyperbole à deux branches.
droites sécantes - Ici, Δ = 4, tout comme pour l'hyperbole prédéfinie. La classification affiche néanmoins Dégénérée. Ces deux cas ne diffèrent que par la valeur de F : 0 contre −4. Or, le paramètre F ne figure absolument pas dans B² − 4AC. L'équation x² − y² = 0 se factorise en (x − y)(x + y) = 0, révélant les deux asymptotes seules. C'est exactement ce que devient une hyperbole lorsqu'on la laisse se refermer sur elles. Le discriminant permet de nommer la famille. Il ne peut pas vous dire si la courbe a survécu.
presque une parabole - Nous trouvons exactement Δ = 2² − 4(1)(1) = 0. La classification indique donc Parabole, et non une courbe approchante. Une fois regroupée, l'équation s'écrit (x + y)² = 4y. Le terme en xy a fait pivoter la parabole hors des axes, sans pour autant en altérer la nature. Diminuez B d'un dixième. La valeur de Δ devient alors négative et la courbe se referme pour former une ellipse. Augmentez-le plutôt, et elle s'ouvrira en une hyperbole. Le destin de toute la famille se joue sur ce nombre unique.