Fractions rationnelles

Toute fonction rationnelle admet une primitive composée d'une partie rationnelle, de logarithmes et d'arctangentes, une fois son dénominateur factorisé. Suivez une décomposition pas à pas, puis saisissez vos propres réponses : la page dérive votre proposition et montre où sa dérivée s'écarte de la fonction à intégrer.

Chaque facteur linéaire	$\int \frac{A d x}{x - a} = A ln ∣ x - a ∣ + C$
Chaque facteur quadratique	$\int \frac{d x}{( x - h ) ^{2} + k ^{2}} = \frac{1}{k} arctan \frac{x - h}{k} + C$
Son coefficient, pour une racine simple a	$A = \frac{P ( a )}{Q ^{'} ( a )}$

Exemple résolu — Fractions rationnelles

Coefficient sur (x − 2), par le cache	3
Pôles réels de f sur [−5, 5]	2
Constantes d'intégration indépendantes	3
Logarithmes (c négatif)	−1/x (c = 0)

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Fractions rationnelles

La décomposition en éléments simples écrit une fonction rationnelle P(x)/Q(x), où P est de degré strictement inférieur à Q, comme une somme de fractions élémentaires. On trouve un groupe pour chaque facteur de Q sur les réels : A/(x − a)^k pour chaque puissance d'un facteur de degré 1 jusqu'à sa multiplicité, et (Bx + C)/(x² + px + q)^k pour chaque puissance d'un facteur de degré 2 sans racine réelle. Lorsque le degré de P n'est pas inférieur, effectuez d'abord une division euclidienne. Chaque fraction s'intègre en une fonction rationnelle, un logarithme ou une arctangente.

Ce que signifie chaque symbole

P/Q: la fonction à intégrer, numérateur sur dénominateur ; les racines réelles de Q sont les pôles de f
C: une constante d'intégration, libre de varier sur chaque intervalle séparant des pôles

D’où vient la formule

Un facteur simple : masquez-le. Multipliez l'égalité par x − a et posez x = a. Toutes les autres fractions s'annulent, et A vaut P(a) divisé par ce qu'il reste du dénominateur en a.
$\frac{P ( x )}{( x - a ) R ( x )} = \frac{A}{x - a} + \dots \Rightarrow A = \frac{P ( a )}{R ( a )}$
Un facteur multiple exige une fraction par puissance. Pour (x − a)², écrivez A/(x − a) + B/(x − a)². Le masquage donne B. Pour déterminer A, comparez les coefficients d'une puissance de x ou testez une autre valeur de x.
$\frac{P ( x )}{( x - a ) ^{2} R ( x )} = \frac{A}{x - a} + \frac{B}{( x - a ) ^{2}} + \dots, B = \frac{P ( a )}{R ( a )}$
Un facteur quadratique sans racine réelle. Décomposez son numérateur en un multiple de la dérivée du trinôme et une constante. La première partie s'intègre en un logarithme ; la seconde, après mise sous forme canonique, en une arctangente.
$\frac{B x + C}{x ^{2} + p x + q} = \frac{B}{2} \cdot \frac{2 x + p}{x ^{2} + p x + q} + \frac{C - \frac{B p}{2}}{( x + \frac{p}{2} ) ^{2} + q - \frac{p ^{2}}{4}}$

Ne tient plus quand: La décomposition nécessite les racines de Q. Au-delà du degré quatre, elles peuvent n'avoir aucune formule par radicaux. Les coefficients restent des nombres exacts, mais ils peuvent eux aussi échapper aux radicaux. Sur le préréglage x⁵ − x − 1, le premier vaut exactement 1/(5r⁴ − 1), avec r la racine réelle. Tout comme r, il n'admet aucune formule par radicaux. La page travaille avec leurs approximations numériques. La partie rationnelle de la réponse ne requiert jamais les racines. Charles Hermite a démontré qu'elle peut être trouvée par la seule arithmétique des polynômes. Le §4 de Hardy donne sa méthode.

Problèmes entièrement résolus

Deux facteurs du premier degré : la règle du masquage 3 étapes
Calculer ∫(x + 7)/((x − 1)(x + 3)) dx.
1. Une fraction pour chaque facteur du premier degré :
  
  $\frac{x + 7}{( x - 1 ) ( x + 3 )} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}$
2. Masquez tour à tour chaque facteur et évaluez en sa racine :
  
  $x = 1 : A = \frac{8}{4} = 2; x = - 3 : B = \frac{4}{- 4} = - 1$
3. Chaque fraction s'intègre en un logarithme :
  
  $\int (\frac{2}{x - 1} - \frac{1}{x + 3}) d x = 2 ln ∣ x - 1∣ - ln ∣ x + 3∣ + C$
Réponse

2 ln|x − 1| − ln|x + 3| + C. Deux lignes de calcul, aucun système à résoudre. Le masquage fonctionne parce que multiplier par x − 1 avant de poser x = 1 annule toutes les autres fractions.

$\int \frac{x + 7}{( x - 1 ) ( x + 3 )} d x = 2 ln ∣ x - 1∣ - ln ∣ x + 3∣ + C$
Un facteur répété 3 étapes
Calculer ∫dx/(x²(x + 1)).
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1. Comme x² est un facteur répété, il exige deux fractions : l'une pour x et l'autre pour x² :
  
  $\frac{1}{x ^{2} ( x + 1 )} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x ^{2}} + \frac{C}{x + 1}$
2. Le masquage donne B et C ; le coefficient de x² fournit A :
  
  $x = 0 : B = 1; x = - 1 : C = 1; x^{2} : A + C = 0 \Rightarrow A = - 1$
3. Intégrez chaque terme. B/x² est une puissance, non un logarithme :
  
  $\int (- \frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{2}} + \frac{1}{x + 1}) d x = - ln ∣ x ∣ - \frac{1}{x} + ln ∣ x + 1∣ + C$
Réponse

ln|(x + 1)/x| − 1/x + C. Se limiter à B/x² et C/(x + 1) est l'erreur classique : deux fractions ne peuvent suffire à reconstituer celle-ci, et l'identification des coefficients n'aurait aucune solution.

$\int \frac{d x}{x ^{2} ( x + 1 )} = ln \frac{x + 1}{x} - \frac{1}{x} + C$
Un trinôme sans racine réelle 2 étapes
Calculer ∫(3x + 1)/(x² + 1) dx.
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1. Comme x² + 1 ne se factorise pas, décomposez le numérateur en un multiple de sa dérivée 2x et une constante :
  
  $\frac{3 x + 1}{x ^{2} + 1} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{x ^{2} + 1} + \frac{1}{x ^{2} + 1}$
2. Le premier terme est en f′/f, le second donne l'arc tangente :
  
  $\int \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x = ln (x^{2} + 1), \int \frac{d x}{x ^{2} + 1} = arctan x$
Réponse

(3/2) ln(x² + 1) + arctan x + C. Pas de barres de valeur absolue au logarithme : x² + 1 n'est jamais négatif.

$\int \frac{3 x + 1}{x ^{2} + 1} d x = \frac{3}{2} ln (x^{2} + 1) + arctan x + C$
Un facteur du premier degré et un facteur quadratique 3 étapes
Calculer ∫dx/(x(x² + 1)).
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1. Le facteur quadratique reçoit un numérateur du premier degré, Bx + C :
  
  $\frac{1}{x ( x ^{2} + 1 )} = \frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x ^{2} + 1}$
2. Le masquage donne A ; l'identification du reste fournit B et C :
  
  $x = 0 : A = 1; 1 = (x^{2} + 1) + (B x + C) x \Rightarrow B = - 1, C = 0$
3. Un logarithme, et le logarithme du terme quadratique :
  
  $\int (\frac{1}{x} - \frac{x}{x ^{2} + 1}) d x = ln ∣ x ∣ - \frac{1}{2} ln (x^{2} + 1) + C$
Réponse

ln|x| − ½ ln(x² + 1) + C. Une simple constante sur x² + 1 ne suffirait pas : au numérateur d'un facteur quadratique, le premier degré est toujours permis.

$\int \frac{d x}{x ( x ^{2} + 1 )} = ln ∣ x ∣ - \frac{1}{2} ln (x^{2} + 1) + C$
Fraction rationnelle : divisez d'abord 3 étapes
Calculez ∫(x³ + x)/(x − 1) dx.
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1. Le numérateur est de degré supérieur : commencez par diviser :
  
  $x^{3} + x = (x - 1) (x^{2} + x + 2) + 2$
2. Un polynôme et une fraction de degré inférieur :
  
  $\frac{x ^{3} + x}{x - 1} = x^{2} + x + 2 + \frac{2}{x - 1}$
3. Intégrez terme à terme :
  
  $\int (x^{2} + x + 2 + \frac{2}{x - 1}) d x = \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{2}}{2} + 2 x + 2 ln ∣ x - 1∣ + C$
Réponse

x³/3 + x²/2 + 2x + 2 ln|x − 1| + C. La décomposition en éléments simples ne commence que lorsque le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur.

$\int \frac{x ^{3} + x}{x - 1} d x = \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{2}}{2} + 2 x + 2 ln ∣ x - 1∣ + C$
Mise sous forme canonique 2 étapes
Calculez ∫dx/(x² + 4x + 13).
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1. Le discriminant vaut 16 − 52 < 0 : il n'y a aucune racine réelle. Passez à la forme canonique :
  
  $x^{2} + 4 x + 13 = (x + 2)^{2} + 9 = (x + 2)^{2} + 3^{2}$
2. On reconnaît la forme en arctangente avec h = −2 et k = 3 :
  
  $\int \frac{d x}{( x + 2 ) ^{2} + 3 ^{2}} = \frac{1}{3} arctan \frac{x + 2}{3} + C$
Réponse

(1/3) arctan((x + 2)/3) + C. Oublier le 1/3 devant est l'étourderie habituelle : la dérivée de arctan((x + 2)/3) vaut 3/(x² + 4x + 13), soit trois fois l'intégrande.

$\int \frac{d x}{x ^{2} + 4 x + 13} = \frac{1}{3} arctan \frac{x + 2}{3} + C$
Une intégrale définie entre les pôles 2 étapes
Calculez ∫₀¹ dx/(x² − 4).
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1. x² − 4 = (x − 2)(x + 2), et la méthode du cache donne ±1/4 :
  
  $\frac{1}{x ^{2} - 4} = \frac{1}{4} (\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2})$
2. Les deux pôles, situés en ±2, se trouvent en dehors de [0, 1] : vous pouvez donc appliquer la formule entre les bornes :
  
  $\int_{0}^{1} \frac{d x}{x ^{2} - 4} = \frac{1}{4} [ln \frac{x - 2}{x + 2}]_{0}^{1} = \frac{1}{4} (ln \frac{1}{3} - ln 1)$
Réponse

−(ln 3)/4 ≈ −0,2747. Ce résultat est négatif, car 1/(x² − 4) est inférieur à zéro sur [0, 1]. Sur un intervalle contenant un pôle, la même soustraction donnerait un nombre pour une intégrale qui n'existe pas, d'où la mise en garde de l'encadré sur les constantes d'intégration.

$\int_{0}^{1} \frac{d x}{x ^{2} - 4} = - \frac{ln 3}{4} \approx - 0.2747$
∫ dx/(x⁴ + 1) : aucune racine réelle, deux facteurs de degré deux sur les réels 5 étapes
Calculez ∫₀^∞ dx/(x⁴ + 1). Le dénominateur n'a aucune racine réelle. Il n'y a donc ni pôle ni facteur de degré 1. Aucun des problèmes de la page n'y ressemble. Cliquez sur Une arctangente pour trouver le bloc de base.

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1. x⁴ + 1 ne possède aucune racine réelle. Il s'agit en revanche d'une différence de deux carrés une fois 2x² ajouté et retranché. Il se décompose ainsi en deux polynômes réels de degré deux :
  
  $x^{4} + 1 = (x^{2} + 1)^{2} - 2 x^{2} = (x^{2} + 2 x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)$
2. Aucun de ces polynômes n'a de racine réelle (les deux discriminants valent 2 − 4 = −2). Chacun reçoit donc un numérateur affine. La comparaison des coefficients donne :
  
  $\frac{1}{x ^{4} + 1} = \frac{\frac{x}{2 2} + \frac{1}{2}}{x ^{2} + 2 x + 1} + \frac{- \frac{x}{2 2} + \frac{1}{2}}{x ^{2} - 2 x + 1}$
3. Chaque élément de degré deux se scinde en un multiple de la dérivée du dénominateur, ce qui donne un logarithme, et une constante sur un carré parfait, qui donne une arctangente :
  
  $\frac{\frac{x}{2 2} + \frac{1}{2}}{x ^{2} + 2 x + 1} = \frac{1}{4 2} \cdot \frac{2 x + 2}{x ^{2} + 2 x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{( x + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{1}{2}}$
4. La primitive, valide sur toute la droite, est alors :
  
  $F (x) = \frac{1}{4 2} ln \frac{x ^{2} + 2 x + 1}{x ^{2} - 2 x + 1} + \frac{1}{2 2} (arctan (2 x + 1) + arctan (2 x - 1))$
5. En x = 0, le logarithme vaut ln 1 = 0 et les arctangentes s'annulent. Quand x croît, le logarithme tend à nouveau vers ln 1 = 0 et chaque arctangente vers π/2 :
  
  $\int_{0}^{\infty} \frac{d x}{x ^{4} + 1} = \frac{1}{2 2} (\frac{π}{2} + \frac{π}{2}) - 0 = \frac{π}{2 2} = 1.1107$
Réponse

π/(2√2) ≈ 1,1107. L'explorateur de la page s'arrête à x² + c. Un polynôme de degré quatre sans racines réelles exige les deux mêmes étapes, un logarithme et une arctangente, exécutées deux fois, avec √2 dans chaque coefficient.

$\int_{0}^{\infty} \frac{d x}{x ^{4} + 1} = \frac{π}{2 2} \approx 1.1107$

Une arctangente est un logarithme dont les racines sont devenues complexes 🖖

Cliquez sur Deux logarithmes et observez l'explorateur sous l'exercice. En c = −1 l'intégrande est 1/(x² − 1). Son dénominateur possède les racines réelles ±1. Il se décompose ainsi en deux éléments simples et s'intègre en logarithmes : l'aire de 2 à 3 vaut ½ ln(3/2) = 0,2027. Cliquez sur Une arctangente. En c = 1 le dénominateur x² + 1 n'a aucune racine réelle. Rien ne se scinde sur les réels, et la réponse devient arctan 3 − arctan 2 = 0,1419. Faites maintenant passer c par zéro. La formule change deux fois. Elle passe des logarithmes à −1/x très exactement en c = 0, où l'aire vaut 1/6 = 0,1667, puis à une arctangente. La courbe à droite ne remarque rien : aucun saut, aucun angle. Il s'agit d'une seule fonction écrite de trois façons. Autorisez les nombres complexes et x² + 1 = (x − i)(x + i) se scinde comme n'importe quel autre trinôme. L'arctangente est alors aussi un logarithme. Les notes de Brian Conrad sur le théorème de Liouville vérifient par dérivation que 2i·arctan x, à une constante près, est un logarithme de (x − i)/(x + i). « Logarithmes et arctangentes » est simplement la manière dont les nombres réels prononcent le mot « logarithmes ».

Un seul + C ne suffit pas 🖖

Cliquez sur Deux pôles, puis sur Afficher une réponse : la page écrit 3 ln|x − 2| − 3 ln|x + 1| pour f = 9/((x − 2)(x + 1)). Appuyez ensuite sur Décaler les constantes. Les pôles en −1 et 2 découpent la droite en trois intervalles. La page ajoute une constante différente sur chacun d'eux, trace les branches décalées par-dessus les anciennes et interroge de nouveau le vérificateur. La réponse reste correcte. Sur chaque intervalle, la dérivée d'une constante est nulle. Rien ne relie un intervalle au suivant. Ici, la primitive générale compte trois constantes indépendantes. L'expression « + C » ne désigne que la portion où elles sont toutes égales. Comptez les pôles réels et ajoutez un. Un saut situé n'importe où ailleurs est faux, le vérificateur vous le signalera. Ajoutez + sign(x) à la réponse. Elle présente un saut en 0 là où f est régulière, la proposition est donc refusée. C'est ici que le piège des constantes se referme. L'intégrale de cette fonction f de 0 à 3 n'existe pas, puisqu'elle traverse le pôle en 2. Pourtant, soustraire les valeurs de la formule en 0 et en 3 donne un nombre d'une assurance parfaite : −3 ln 8.

Le théorème garantit la forme de la réponse, pas une formule pour ses valeurs 🖖

Cliquez sur x⁵ − x − 1. Sur les réels, tout polynôme se factorise en termes de degré un et deux. Toute fonction rationnelle s'intègre ainsi en une partie rationnelle, des logarithmes et des arctangentes. C'est le cas ici : un logarithme pour la racine réelle vers 1,1673. Pour chacune des deux paires complexes, on obtient le logarithme d'un trinôme et une arctangente. Parcourez l'exemple résolu pour voir l'ensemble des cinq termes. Ce que le théorème ne fournit pas, c'est une formule pour les racines. Pour ce dénominateur, aucune n'existe. Modulo 5 il ne se factorise pas du tout, et modulo 2 il vaut (x² + x + 1)(x³ + x² + 1). Ces éléments imposent au groupe de Galois d'être S₅. Aucune racine ne peut alors s'écrire avec +, −, ×, ÷ et des radicaux. La page calcule donc les racines numériquement, avec environ quinze chiffres significatifs. Le correcteur accepte la primitive construite à partir de ces valeurs. Copiez plutôt les coefficients à quatre décimales de la dernière étape dans la zone de réponse : le correcteur les refuse, car il exige une précision d'un pour un million. G. H. Hardy l'a formulé clairement en 1916 : les racines « ne peuvent en règle générale être déterminées sous aucune forme explicite. La méthode des fractions rationnelles est par conséquent soumise à de sérieuses limitations. »

Parcours

Techniques d'intégration

Références (3)

The integral of a rational function as a rational part plus Σ A log(x − a), with the coefficient over a simple root a given by P(a)/Q′(a) (§1, pp. 12–13), and the page's third claim in his words: “The roots of Q(x) = 0 are not in general explicit algebraical functions of the coefficients, and cannot as a rule be determined in any explicit form. The method of partial fractions is therefore subject to serious limitations” (§3, p. 15). §4 credits Hermite with finding the rational part without the roots: G. H. Hardy, The Integration of Functions of a Single Variable, 2nd ed., Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics no. 2, Cambridge University Press (1916), Chapter IV, §§1–4.
The arctangent as a logarithm: Example 2.1 (p. 4) checks by differentiation that 2i tan⁻¹(x), plus a constant, is a logarithm of the non-vanishing function (x − i)/(x + i), and why that matters: allowing only real exponentials and logarithms, 1/(1 + x²) would not be elementarily integrable at all (p. 7): B. Conrad, “Impossibility theorems for elementary integration”, Clay Mathematics Institute Academy Colloquium lecture notes (2005), §2, Example 2.1, and §3, p. 7.
Why x⁵ − x − 1 has Galois group S₅: Dedekind's theorem turns a factorisation mod p into distinct irreducibles of degrees d₁, …, dₘ into a permutation of cycle type (d₁, …, dₘ) in the Galois group, and Theorem 2.1 says “a transitive subgroup of Sₙ that contains a transposition and a p-cycle for some prime p > n/2 is Sₙ”. The page supplies the factorisations (irreducible mod 5; (x² + x + 1)(x³ + x² + 1) mod 2) and its check verifies them: K. Conrad, “Recognizing Galois groups Sₙ and Aₙ”, expository note, University of Connecticut, §1 and Theorem 2.1.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.