Longueur d'arc et solide de révolution

Formules de longueur d'arc et de révolution autour de l'axe des x, évaluées numériquement par intégration de Simpson.

Exemple résolu — Longueur d'arc et solide de révolution

Méthode	500

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Longueur d'arc et solide de révolution

Une courbe ne peut pas être mesurée directement, la longueur d'arc est donc définie comme une limite plutôt que par une formule : remplacez la courbe par une chaîne de cordes rectilignes, additionnez leurs longueurs, puis laissez les cordes rétrécir vers zéro. Tout ce qui suit repose sur cette unique idée, combinée au théorème de Pythagore.

Ce que signifie chaque symbole

f(x): la courbe, donnée sous forme de fonction de x — un seul y pour chaque x. Cette restriction explique pourquoi les préréglages proposent un demi-cercle et jamais un cercle complet : un cercle superpose deux valeurs de y sur la majeure partie de sa largeur, de sorte qu'aucune fonction f ne peut le tracer à elle seule.
f'(x): la pente, et la seule chose que l'intégrande consulte. La hauteur à laquelle se situe la courbe n'intervient jamais — la fonction constante 1 sur [0, 2] a une pente égale à 0 partout et une longueur d'exactement 2, soit la largeur de l'intervalle et rien de plus.
[a, b]: l'intervalle, qui fait partie intégrante de la réponse plutôt que d'être un simple détail. La parabole mesure 4.646784 sur [0, 2] et 1.478943 sur [0, 1] — ce n'est pas la moitié, car une portion de courbe plus raide concentre davantage de longueur sur une même largeur.
n: le nombre de tranches fournies à Simpson. Seul parmi ces symboles, il ne dit rien sur la courbe : il détermine uniquement la qualité de l'approximation de l'intégrale, et c'est la ligne Estimation de l'erreur qui indique si cela a suffi.

D’où vient la formule

Prenez deux points de la courbe séparés d'un petit pas Δx. Le segment de droite qui les relie a pour longueur √(Δx² + Δy²). C'est le théorème de Pythagore, rien de plus.
Mettez Δx en facteur hors de la racine : √(Δx² + Δy²) = Δx·√(1 + (Δy/Δx)²). La forme de la réponse finale est déjà visible.
Faites maintenant tendre Δx vers zéro. Le rapport Δy/Δx devient la dérivée f′(x), de sorte que chaque corde évanescente apporte une contribution de √(1 + f′(x)²) dx.
Sommez-les toutes : L = ∫ₐᵦ √(1 + f′(x)²) dx, la ligne affichée à l'écran. L'étape 1 apparaît également à l'écran sous la ligne Longueur de la corde — et pour une droite, les deux concordent exactement. Choisissez la fonction x sur [0, 1] et les deux indiqueront 1.414214, car ici une seule corde constitue déjà toute la courbe.

Comment lire ce que vous voyez

La ligne Longueur de la corde correspond à l'étape 1 avec un seul segment, elle ne peut donc jamais être la plus grande des deux valeurs : 4.472136 contre 4.646784 pour la parabole, l’écart entre elles mesurant la courbure de la courbe. Lisez attentivement la ligne Estimation de l'erreur, car il ne s'agit pas de l'écart par rapport à la valeur exacte — elle affiche |L₂ₙ − Lₙ|, soit la différence entre n tranches et 2n, ce qui indique si la méthode s'est stabilisée, et non si elle a atteint le résultat exact.

Suppose: Que f est dérivable sur [a, b], et qu'il s'agit d'abord d'une fonction de x. La méthode de Simpson suppose davantage que la formule de la longueur d'arc : que l'intégrande est suffisamment régulier pour être approché par des paraboles sur chaque paire de tranches.
Ne tient plus quand: Choisissez frac(x) sur [0, 3] et réglez le nombre de pas d’intégration sur 400. Le graphe se compose de trois segments croissants séparés par trois sauts verticaux, et à chaque saut, il n'y a pas de dérivée exploitable par la formule. L'affichage donne malgré tout une réponse : 29.23057, ce qui n'est ni le 4.242641 obtenu en ignorant les sauts, ni le 7.242641 obtenu en les comptabilisant — c'est le résultat du calcul des différences par l'intégrateur à travers un saut de discontinuité. La seule chose qui le trahit est la ligne Estimation de l'erreur située en dessous, 12.49396, soit près de la moitié de la réponse affichée. En revanche, un unique point anguleux ne coûte presque rien : |x| sur [−1, 1] renvoie 2.827046 contre la valeur exacte 2√2 = 2.828427, car un seul point problématique au sein d'une intégrale n'a pas assez d'impact pour compter.

La même courbe, le même n — et une réponse est onze fois meilleure 🖖

Les préréglages semicircle et sphere utilisent la même fonction sur le même intervalle avec les mêmes 800 tranches. Pourtant la longueur d’arc donne 3,1705 contre π = 3,1416, soit 0,9 % d’erreur, tandis que l’aire de surface donne 12,5559 contre 4π = 12,5664, soit seulement 0,08 %. La différence est dans l’intégrande : √(1 + f′²) grimpe à environ 71 en x = ±1, là où le demi-cercle devient vertical, et l’intégrale de longueur n’a rien pour l’amortir. Celle de surface porte un facteur |f(x)| qui vaut exactement 0 à ces bornes : elle multiplie la pire partie de la courbe par rien.

Faire tourner une courbe en un solide 🖖

Le second mode de cet outil agit comme un tour ou un tour de potier : on prend la courbe y=f(x) et on la fait tourner autour de l'axe des x pour engendrer un solide de révolution en 3D. Pour trouver son volume, l'outil découpe le solide en disques minces, chacun un cercle de rayon f(x), puis les additionne. Faites tourner la droite y=x de 0 à 3 et vous obtenez un cône parfait de volume 9π — sans aucune formule de géométrie, rien que l'intégrale.

La trompette qu'on remplit sans jamais la peindre 🖖

Faites tourner y=1/x de x=1 à l'infini autour de l'axe des x et vous obtenez la trompette de Torricelli (le cor de Gabriel). Son volume converge vers exactement π, mais son aire de surface est infinie. Ce « paradoxe du peintre » signifie que la trompette contient π unités de peinture, alors qu'aucune quantité finie ne pourrait jamais recouvrir sa paroi intérieure. Evangelista Torricelli le découvrit dans les années 1640, avant l'existence formelle du calcul, et le jugea lui-même absurde.

Exercice

Vérifiez-vous

Prédisez d’abord la réponse, puis utilisez les commandes ci-dessus pour vérifier. N’affichez la solution qu’après vous être engagé sur une hypothèse : c’est ce qui en fait un exercice.

Chargez le préréglage sphère et fixez l’intervalle à a = 0, b = 0.5 — une bande découpée de l’équateur de la sphère jusqu’à la moitié de son rayon. L’aire de surface affiche 3.141593. Faites maintenant glisser la bande vers a = 0.4, b = 0.9, en gardant sa hauteur de 0.5. Prédisez la nouvelle aire avant d’appuyer sur quoi que ce soit.

Afficher la réponse

Toujours 3.141593. Toute bande de hauteur 0.5 enferme exactement π d’aire, où que vous la découpiez — [−0.25, 0.25] et [−0.9, −0.4] affichent le même nombre. Le volume ne fait rien de tel : ces bandes contiennent 1.439897, 0.87441 et 1.538071. Près du pôle, chaque bandelette de surface a une circonférence plus courte mais une inclinaison plus raide, et les deux effets se compensent exactement, si bien que seule la hauteur subsiste. Archimède l’a démontré et a demandé une sphère dans un cylindre sur sa tombe — bande par bande, la sphère a la même surface que le cylindre qui la contient tout juste.
Le troisième éclairage ci-dessus affirme que la trompette de Gabriel a un volume fini et une aire infinie, sans donner un seul chiffre. Allez les chercher : choisissez f(x) = 1/x, fixez a = 1 et le mode sur solide de révolution, puis lisez les deux valeurs à b = 10, puis 100, puis 1000.

Afficher la réponse

Le volume passe par 2.827433 → 3.110179 → 3.153626, se rapproche de π et gagne moins à chaque décade. L’aire passe par 15.1775 → 29.6451 → 44.1739 — environ 14.5 de plus chaque fois que vous multipliez b par dix, et cela ne s’arrêtera jamais. Loin dans la trompette, l’intégrande de surface vaut pour l’essentiel 2π/x, dont l’intégrale est 2π ln b, et 2π ln 10 = 14.47. Ce qui gagne une quantité fixe par décade n’a pas de limite ; ce qui en gagne de moins en moins en a une. Méfiez-vous tout de même du dernier volume : 3.153626 dépasse π, ce qui est impossible, car 2000 pas uniformes ne peuvent pas résoudre la partie raide près de x = 1 sur un intervalle aussi long. Le dépassement vient de la grille, pas de la trompette.

Problèmes entièrement résolus

La longueur d'arc de y = x² de 0 à 2 sous forme fermée 5 étapes
La longueur d'arc de y = x² de 0 à 2 vaut 4,646784. Obtenez-la sous forme explicite — expliquez ensuite pourquoi vous avez eu de la chance. Il s'agit de l'état arc de parabole.
1. Posez l'intégrale. La dérivée de x² vaut 2x, de sorte que l'intégrande comporte 4x² et rien de plus complexe.
  
  $L = \int_{0}^{2} 1 + (f^{'} (x))^{2} d x = \int_{0}^{2} 1 + 4 x^{2} d x$
2. La primitive de √(1 + 4x²) est classique — un terme algébrique et un sinus hyperbolique réciproque, ce que produit toujours une expression du second degré sous une racine.
  
  $\int 1 + 4 x^{2} d x = \frac{x}{2} 1 + 4 x^{2} + \frac{1}{4} arsinh (2 x) + C$
3. Évaluez aux bornes. La borne inférieure n'apporte rien, et les deux termes en x = 2 s'élèvent à 4,1231 et 0,5237.
  
  $L = [\frac{x}{2} 1 + 4 x^{2} + \frac{1}{4} arsinh 2 x]_{0}^{2} = 17 + \frac{1}{4} arsinh 4 = 4.1231 + 0.5237 = 4.646784$
4. Comparez avec la ligne droite entre les extrémités. La courbe n'est que 3,9 % plus longue que la corde sur cet intervalle, c'est pourquoi le calcul numérique de la longueur d'arc semble facile jusqu'à ce qu'il ne le soit plus.
  
  $chord = (2 - 0)^{2} + (4 - 0)^{2} = 20 = 4.472136; \frac{L}{chord} = 1.0391$
5. Essayez à présent de répéter l'astuce une puissance plus haut. L'intégrande devient la racine carrée d'un polynôme de degré 4, ce qui marque la frontière entre le domaine élémentaire et le domaine elliptique.
  
  $f = x^{3} : \int 1 + 9 x^{4} d x — elliptic, not elementary$
Réponse

√17 + ¼ arsinh 4, et la chance réside dans le fait que la parabole est l'un des rares cas où cela fonctionne. Le calcul de la longueur d'arc exige d'intégrer √(1 + f′²), et la racine carrée d'un polynôme n'est élémentaire que dans une poignée de cas. Passez à la puissance supérieure avec y = x³ et l'intégrande devient √(1 + 9x⁴), qui est elliptique et ne s'exprime pas à l'aide de fonctions élémentaires. Il en va de même pour la longueur d'arc d'une ellipse — c'est de là que les intégrales elliptiques tirent leur nom, et c'est pourquoi le périmètre d'une ellipse ne possède aucune formule alors que son aire en a une triviale. La parabole y échappe parce que sa dérivée est linéaire, de sorte que 1 + f′² est un polynôme du second degré, et ce sont exactement les expressions du second degré sous une racine carrée qui ont motivé le changement de variable en arsinh.

$L = 17 + \frac{1}{4} arsinh 4 = 4.646784$
Surface 12,55591 et volume 4,18879 du demi-cercle unité 6 étapes
Faites tourner le demi-cercle unité et le panneau indique une surface de 12,55591 et un volume de 4,18879. L'une de ces valeurs est exacte à six chiffres près et l'autre comporte une erreur de 0,083 %. Déterminez laquelle, et pourquoi. Il s'agit de l'état sphère de révolution.
1. Écrivez la fonction et sa dérivée. C'est de la dérivée que viendront les difficultés, et cela se voit déjà : le dénominateur s'annule aux deux extrémités.
  
  $f (x) = 1 - x^{2}, f^{'} (x) = \frac{- x}{1 - x ^{2}}, 1 + (f^{'})^{2} = \frac{1}{1 - x ^{2}}$
2. Formez maintenant l'intégrande de la surface. Le facteur qui tend vers l'infini et celui qui s'annule sont inverses l'un de l'autre, et ils se simplifient totalement.
  
  $2 π f 1 + (f^{'})^{2} = 2 π 1 - x^{2} \cdot \frac{1}{1 - x ^{2}} = 2 π — a constant$
3. Intégrer une constante sur un intervalle de longueur 2 ne nécessite aucun calcul. La réponse est 4π, et elle ne dépend pas de la manière dont la sphère a été découpée — ce qui constitue le cœur du résultat d'Archimède.
  
  $S = \int_{- 1}^{1} 2 π d x = 4 π = 12.566371 (Archimedes: sphere = its cylinder’s side)$
4. Le volume est une intégrale polynomiale ordinaire, et c'est celle que la méthode de Simpson calcule exactement jusqu'au dernier chiffre affiché.
  
  $V = \int_{- 1}^{1} π (1 - x^{2}) d x = π [x - \frac{x ^{3}}{3}]_{- 1}^{1} = \frac{4 π}{3} = 4.18879$
5. Comparez la surface affichée avec 4π. Le déficit est faible, mais il ne s'agit pas d'un arrondi — c'est un écart systématique concentré aux deux pôles.
  
  $printed S = 12.55591 : \frac{4 π - 12.55591}{4 π} = 0.083% low, while V is exact to 6 figures$
6. La cause réside dans l'étape 1. Une simplification exacte n'est pas accessible à une routine qui ne fait qu'échantillonner des valeurs.
  
  $f^{'} (\pm 1) \to \infty : the integrand is constant only in exact arithmetic; sampled, the poles misbehave$
Réponse

Le volume est exact et la surface est sous-estimée de 0,083 %, car l'intégrande de la surface est une constante que l'intégrateur ne peut pas voir. Faites le calcul à la main et quelque chose de remarquable se produit : √(1 + f′²) vaut 1/√(1 − x²), ce qui simplifie exactement le √(1 − x²) situé devant, laissant 2π. L'intégrande est constant, l'intégrale vaut 4π, et c'est le théorème d'Archimède — une sphère a la même surface que la paroi latérale du cylindre qui la circonscrit, ce qu'il a fait graver sur sa tombe. Numériquement, cependant, f′ tend vers l'infini en x = ±1, et la méthode de Simpson échantillonne une fonction qui vaut 2π partout sauf en deux points où l'arithmétique s'effondre. L'intégrande du volume est π(1 − x²), un vrai polynôme, et Simpson intègre exactement les polynômes. L'estimation d'erreur du panneau elle-même, 0,005, vous indique à laquelle des deux réponses vous fier.

$S = 4 π exactly, because the integrand is 2 π; V = \frac{4 π}{3}$

Références (1)

Insight block 3 — Gabriel's Horn, and how strange it looked at the time: P. Mancosu and E. Vailati, "Torricelli's Infinitely Long Solid and Its Philosophical Reception in the Seventeenth Century." Isis 82(1), 50–70, 1991.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-07-15

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Exemples de problèmes

arc de parabole - La longueur de l'arc de y=x^2 sur [0,2] est plus grande que celle de la corde droite.
arc de demi-cercle - L'arc du demi-cercle sur [-1,1] s'approche de pi, comme attendu.
sphère par révolution - Faire tourner un demi-cercle autour de l'axe des x donne des valeurs de type sphère, 4pi et 4pi/3.
cône par révolution - Faire tourner y=x sur [0,3] produit un cône dont le volume analytique vaut 9pi.