Longueur d'arc et solide de révolution
Formules de longueur d'arc et de révolution autour de l'axe des x, évaluées numériquement par intégration de Simpson.
Intégration de distance curviligne 🖖
La longueur d'arc calcule la distance 1D exacte le long d'un chemin 2D déformé. Dérivée du théorème de Pythagore infinitésimal, elle intègre la racine carrée de la dérivée au carré, traduisant les trajectoires courbes en métriques linéaires.
Faire tourner une courbe en un solide 🖖
Le second mode de cet outil agit comme un tour ou un tour de potier : on prend la courbe y=f(x) et on la fait tourner autour de l'axe des x pour engendrer un solide de révolution en 3D. Pour trouver son volume, l'outil découpe le solide en disques minces, chacun un cercle de rayon f(x), puis les additionne. Faites tourner la droite y=x de 0 à 3 et vous obtenez un cône parfait de volume 9π — sans aucune formule de géométrie, rien que l'intégrale.
La trompette qu'on remplit sans jamais la peindre 🖖
Faites tourner y=1/x de x=1 à l'infini autour de l'axe des x et vous obtenez la trompette de Torricelli (le cor de Gabriel). Son volume converge vers exactement π, mais son aire de surface est infinie. Ce « paradoxe du peintre » signifie que la trompette contient π unités de peinture, alors qu'aucune quantité finie ne pourrait jamais recouvrir sa paroi intérieure. Evangelista Torricelli le découvrit dans les années 1640, avant l'existence formelle du calcul, et le jugea lui-même absurde.
Exemples de problèmes
- arc de parabole - La longueur de l'arc de y=x^2 sur [0,2] est plus grande que celle de la corde droite.
- arc de demi-cercle - L'arc du demi-cercle sur [-1,1] s'approche de pi, comme attendu.
- sphère par révolution - Faire tourner un demi-cercle autour de l'axe des x donne des valeurs de type sphère, 4pi et 4pi/3.
- cône par révolution - Faire tourner y=x sur [0,3] produit un cône dont le volume analytique vaut 9pi.