Géométrie de la Pyramide

géométrie façon Égypte antique pour les pyramides à base carrée

Valeurs de départ — Géométrie de la Pyramide

Longueur du côté de la base (s)	230,4
Hauteur verticale (h)	146,6

Modifiez un réglage ci-dessus et les résultats sont recalculés.

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Le tiers est exact, mais on ne peut pas le prouver en découpant 🖖

Une pyramide contient exactement un tiers du prisme de même base et de même hauteur — non pas approximativement, exactement. En deux dimensions, le fait correspondant se voit aisément : un triangle est la moitié de son rectangle, et on peut le démontrer en découpant le rectangle et en réarrangeant les morceaux. En trois dimensions, cette voie est fermée. Hilbert a demandé en 1900 si deux solides de même volume peuvent toujours être découpés en un nombre fini de pièces et recomposés l’un en l’autre, et Max Dehn a prouvé en 1901 que non — un tétraèdre régulier et un cube de même volume ne sont pas accessibles l’un à l’autre par un nombre fini de coupes. Le facteur 1/3 est donc bel et bien un résultat sur les limites, et c’est pourquoi il arrive avec l’analyse et non avec des ciseaux.

Deux nombres définissent toute la pyramide 🖖

Une pyramide à base carrée est entièrement fixée par deux mesures seulement : le côté de la base s et la hauteur verticale h. Tout le reste découle d'un triangle rectangle allant du centre de la base au milieu d'une arête. L'apothème est son hypoténuse, l = √(h² + (s/2)²), et une fois l connu, la surface et le volume tombent d'eux-mêmes. Modifiez une entrée et chaque résultat se recalcule.

Comment les Égyptiens mesuraient la pente à l'envers 🖖

Les anciens Égyptiens n'utilisaient pas d'angles. Dans le papyrus Rhind, ils notaient la pente d'une pyramide sous forme de seked : le déplacement horizontal, en paumes, pour chaque coudée royale (7 paumes) d'élévation verticale — en somme la cotangente, l'inverse de notre pente moderne. Le seked de la Grande Pyramide vaut environ 5½ paumes, soit un angle de face proche de 51,84°. La sortie seked de cet outil ressuscite cette convention vieille de 3600 ans.

Problème entièrement résolu

Deux coïncidences de la Grande Pyramide, résolues par un seul nombre 6 étapes
La Grande Pyramide : base 230,4 m, hauteur 146,6 m. Obtenez l'apothème, les aires, le volume et l'angle des faces — puis tranchez les deux célèbres coïncidences avec un seul nombre.
1. L'apothème est l'hypoténuse du triangle allant du centre de la base au milieu d'un côté puis montant jusqu'au sommet — la demi-base, et non la base entière, ce qui constitue l'erreur la plus fréquente ici.
  
  $ℓ = h^{2} + (\frac{s}{2})^{2} = 146. 6^{2} + 115. 2^{2} = 34 762.6 = 186.4473 m$
2. La surface latérale est formée de quatre triangles, chacun de base s et de hauteur ℓ, de sorte que 4 × ½sℓ se réduit à 2sℓ. Ajoutez la base pour obtenir le total.
  
  $A_{b} = s^{2} = 53 084.16, A_{l} = 2 s ℓ = 85 914.92, A = 138 999.08 m^{2}$
3. Le volume est le tiers de celui du prisme, et ce tiers n'est pas une approximation — il est exact pour toute pyramide sur n'importe quelle base.
  
  $V = \frac{1}{3} s^{2} h = \frac{1}{3} (53 084.16) (146.6) = 2594 045.95 m^{3}$
4. L'angle de la face s'obtient par le rapport de l'élévation sur la demi-base. Le seked en est l'inverse. C'est avec ce nombre que les bâtisseurs travaillaient réellement.
  
  $θ = arctan \frac{2 h}{s} = arctan \frac{293.2}{230.4} = 51.839 3^{\circ}, k = \frac{s /2}{h} = 0.7858$
5. Comparez le seqed mesuré à la fraction la plus simple qui s'en rapproche. Cinq paumes et demie par coudée de sept paumes donnent 11/14, ce qui correspond à une partie sur huit mille près.
  
  $k = \frac{5 \frac{1}{2} palms}{7 palms} = \frac{11}{14} = 0.785714 (measured 0.785812)$
6. Déduisez à présent le rapport lié à π à partir de cette unique fraction. Ce n'est pas un fait indépendant propre à la pyramide ; c'est 8k, et 8 × 11/14 se trouve se situer à 0,04 % de 2π.
  
  $k = \frac{s /2}{h} \Rightarrow h = \frac{s}{2 k} \Rightarrow \frac{4 s}{h} = 8 k = 8 \cdot \frac{11}{14} = 6.28571 against 2 π = 6.28319$
Réponse

Ces deux coïncidences n'en font qu'une, issue d'une fraction de bâtisseur : un seked de 11/14. Les Égyptiens ne définissaient pas la pente par un angle. Ils indiquaient le nombre de palmes de recul horizontal pour une élévation d'une coudée, sachant qu'une coudée vaut sept palmes. Prenez 5½ palmes. Le seked, exprimé en tant que rapport pur, donne 11/14 = 0,785714, à comparer aux 0,785812 mesurés sur la pyramide. Tout le reste en découle. Le rapport du périmètre sur la hauteur vaut exactement 8 fois le seked, soit 8 × 11/14 = 6,28571 contre 2π = 6,28319. Quant au rapport de l'apothème sur la demi-base, il s'élève à 1,6186 contre φ = 1,618034. Ni π ni φ n'ont été introduits. Une unique pente rationnelle, choisie pour sa facilité de tracé au cordeau et au fil à plomb, engendre ces deux valeurs avec trois décimales exactes.

$k = \frac{11}{14} ⟹ \frac{4 s}{h} = 6.2857 \approx 2 π and \frac{ℓ}{s /2} = 1.6186 \approx φ$

Références (2)

Insight block 1 — why the factor of 1/3 cannot be shown with scissors: M. Dehn, "Ueber den Rauminhalt." Mathematische Annalen 55(3), 465–478, 1901 — the negative answer to Hilbert's third problem.
Insight block 3 — the seked, and the 5½ palms of the Great Pyramid: A. B. Chace, The Rhind Mathematical Papyrus, problems 56–60. Mathematical Association of America, 1927–29.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.