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La fraction pour π qu'aucune plus petite n'a surpassée en 1 500 ans
355/113 coïncide avec π à sept décimales près. La fraction suivante qui la surpasse exige un dénominateur 147 fois plus grand et améliore l'erreur de 0,2 %.
Un peu avant l'an 500, sous les dynasties du Sud, Zu Chongzhi calcula que π est compris entre 3,1415926 et 3,1415927. Il consigna également une fraction : 355/113. Quinze siècles plus tard, elle demeure la meilleure fraction pour π que l'on puisse obtenir avec trois chiffres sur trois, et elle est bien meilleure qu'elle n'a manifestement le droit de l'être.
À quel point elle est meilleure
355/113 vaut 3,1415929204, contre 3,1415926536 pour π. L'erreur est de 2,7 × 10⁻⁷, ce qui représente sept décimales exactes pour une fraction de six chiffres.
Pour bien en mesurer la portée, il faut regarder ce qui était disponible d'autre. Balayez tous les dénominateurs de 1 à 112, prenez le numérateur le plus proche pour chacun, et conservez le résultat le plus proche. La gagnante est 333/106, avec un écart de 8,3 × 10⁻⁵ — 312 fois plus éloignée. Il se produit entre un dénominateur de 106 et un dénominateur de 113 quelque chose qui vaut plus que l'ensemble des améliorations des cent étapes précédentes.
Et rien ne vient lui reprendre ce record pendant longtemps. 355/113 demeure la fraction la plus proche de π pour tout dénominateur allant jusqu'à 16 603. La première fraction qui finit par la surpasser est 52163/16604, qui requiert un dénominateur 147 fois plus grand pour réduire l'erreur de 0,21 %.
Le 292
La raison devient évidente dès que π est écrit sous forme de fraction continue :
π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, …]
Tronquez ce développement après chaque terme et les fractions qui en émergent sont 3, puis 22/7, puis 333/106, puis 355/113. Ce sont les réduites, et un théorème du domaine énonce que chacune d'elles constitue la meilleure approximation rationnelle pour sa taille : aucune fraction ayant un dénominateur plus petit ne s'en approche davantage. How Close a Fraction Can Get ne cite pas tant ce théorème qu'il ne l'exécute, balayant tous les dénominateurs plus petits et rapportant ses résultats.
Le terme qui importe est le 292. Un grand terme signifie que le reste à cette étape était presque nul, et un reste quasi nul est une autre manière de dire que la fraction que vous teniez déjà en main était presque exacte. Ainsi, la réduite située immédiatement avant le 292 obtient sept décimales. Comparez avec 22/7, située après un terme d'à peine 7 et qui n'en obtient que trois.
La grandeur du terme suivant indique à quel point la fraction que l'on détient déjà est précise. Zu Chongzhi ne connaissait pas les fractions continues ; la méthode appartient à Euler, douze siècles plus tard. Ce qu'il avait, c'était le nombre, et le nombre est le même dans un cas comme dans l'autre.
Quels nombres sont faciles
Certains irrationnels sont bien plus coopératifs que d'autres, et leur développement indique lesquels. √2 s'écrit [1; 2, 2, 2, …] et e s'écrit [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, …] — des structures régulières qui s'énoncent et se prouvent. Si l'on compare chaque erreur au carré de son dénominateur, √2 se fixe à 0,354, e varie sans cesse, et π progresse par à-coups selon le terme qu'il vient de franchir.
Le cas extrême est le nombre d'or, [1; 1, 1, 1, …]. Tous les termes y sont aussi petits que possible, si bien que chaque réduite n'est que la plus modeste amélioration de la précédente, et la même mesure se stabilise à 0,447. Ce nombre est 1/√5, et Hurwitz a prouvé en 1891 qu'aucun irrationnel ne peut rester au-dessus pour toujours. φ vient butter contre ce plafond. Le qualifier de nombre le plus irrationnel ressemble à un effet de style ; c’est une mesure, et 0,447 en est la valeur.
Ce que personne ne sait
π ne présente aucune régularité de ce type. Ses termes ont été calculés jusqu'à des milliards et aucune règle n'y a jamais été trouvée, ce qui laisse ouverte une question d'allure ordinaire : restent-ils bornés, ou existe-t-il quelque part un terme bien plus grand que 292 ?
S'il en existe un, juste après lui se trouve une fraction qui approche π bien mieux que toute autre de sa taille n'a en principe le droit de le faire, exactement comme le fait 355/113. Nul ne peut dire si une telle chose existe. Aucun théorème ne justifie la présence du 292. C'est simplement ainsi que se comporte π.