See on masintõlge; artikli algne versioon on inglise keeles. Loe originaali
Murd arvu π jaoks, mida miski väiksem pole 1500 aasta jooksul ületanud
Murd 355/113 ühtib arvuga π seitsme komakohani. Järgmine seda ületav murd vajab 147 korda suuremat nimetajat ja parandab viga 0,2% võrra.
Mõni aeg enne 500. aastat arvutas Zu Chongzhi Lõunadünastiate ajal välja, et π asub vahemikus 3,1415926 kuni 3,1415927. Samuti pani ta kirja murru: 355/113. Viisteist sajandit hiljem on see ikka veel parim arvu π murd, mida saab esitada kolme numbriga kolme kohal, ning see on täpsem, kui selleks nähtavat põhjust oleks.
Kui palju parem
Murd 355/113 annab tulemuseks 3,1415929204, võrrelduna π väärtusega 3,1415926536. Viga on 2,7 × 10⁻⁷, mis tähendab seitsmekohalist täpsust pärast koma kuuenumbrilise murru puhul.
Selle mõistmiseks tasub küsida, mis muud oli saadaval. Vaatame läbi kõik nimetajad 1-st kuni 112-ni, võtame iga jaoks lähima lugeja ja jätame alles kõige täpsema tulemuse. Parim on 333/106 ja selle viga on 8,3 × 10⁻⁵ — 312 korda kaugemal. Nimetaja 106 ja nimetaja 113 vahel juhtub midagi, mis on väärt rohkem kui kõik parandused eelneva saja sammu jooksul kokku.
Ja pikka aega ei võta miski seda rekordit enda kätte tagasi. Murd 355/113 on π-le lähim murd iga nimetaja puhul kuni arvuni 16 603. Esimene murd, mis seda lõpuks ületab, on 52163/16604, mis vajab 147 korda suuremat nimetajat, et vähendada viga 0,21% võrra.
Arv 292
Põhjus muutub nähtavaks kohe, kui π kirjutatakse ahelmurruna:
π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, …]
Kui see avaldis katkestada pärast iga liiget, on saadavad murrud 3, seejärel 22/7, siis 333/106 ja seejärel 355/113. Need on ahelmurru lähismurrud ning selle valdkonna teoreem ütleb, et igaüks neist on parim saadaval olev ratsionaallähendus oma suuruse piires: ükski väiksema nimetajaga murd ei pääse lähemale. How Close a Fraction Can Get ei niivõrd ei tsiteeri seda teoreemi, kuivõrd viib seda praktikas läbi, vaadates läbi kõik väiksemad nimetajad ja esitades leitut.
Määravaks liikmeks on 292. Suur liige tähendab, et selles punktis oli jääk peaaegu olematu, ning peaaegu olematu jääk on teine viis öelda, et käesolev murd oli juba väga täpne. Seega saab lähismurd vahetult enne arvu 292 seitsmekohalise täpsuse pärast koma. Võrdluseks: 22/7 asub pärast liiget 7 ja saavutab vaid kolmekohalise täpsuse.
Järgmise liikme suurus näitab, kui hea on murd, mis sul juba käes on. Zu Chongzhil polnud ahelmurde; see meetod pärineb Eulerilt, kaksteist sajandit hiljem. Talle oli teada arv ise, ja see arv on sama hoolimata esitusviisist.
Millised arvud on hõlpsad
Mõned irratsionaalarvud on palju vastutulelikumad kui teised, ja ahelmurru esitus näitab ära, millised. √2 on [1; 2, 2, 2, …] ja e on [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, …] — seaduspärasused, mida saab sõnastada ja tõestada. Võrreldes iga viga nimetaja ruuduga, stabiliseerub √2 väärtusel 0,354, e kõigub ning π hüpleb sõltuvalt sellest, millisest liikmest ta on just möödunud.
Äärmuslikuks juhtumiks on kuldlõige, [1; 1, 1, 1, …]. Iga liige on vähim võimalik, seega on iga lähismurd võimalikult väike parandus eelmise suhtes ja sama mõõtmistulemus stabiliseerub väärtusel 0,447. See arv on 1/√5 ning Hurwitz tõestas 1891. aastal, et ükski irratsionaalarv ei saa jääda sellest püsivalt suuremaks. φ surub otse vastu ülemist piiri. Nimetada seda kõige irratsionaalsemaks arvuks võib kõlada kui piltlik väljend, kuid see on mõõdetav tulemus, ja 0,447 ongi selle piir.
Mida keegi ei tea
Arvul π ei ole sellist seaduspära. Selle liikmeid on arvutatud miljarditeni ja neist pole leitud ühtegi reeglit, mis jätab avatuks tavalisena kõlava küsimuse: kas need jäävad tõkestatuks või leidub kuskil liige, mis on palju suurem kui 292?
Kui selline liige on olemas, siis asub vahetult pärast seda murd, mis lähendab arvu π paremini, kui üheltki selle suurusega murrult eeldada saaks, täpselt nagu seda teeb 355/113. Keegi ei oska öelda, kas selline murd on olemas. Ükski teoreem ei seleta arvu 292. See on lihtsalt see, kuidas π juhuslikult käitub.