Dies ist eine maschinelle Übersetzung; der englische Text ist das Original. Original lesen
Der Bruch für π, den seit 1.500 Jahren kein kleinerer übertroffen hat
355/113 stimmt auf sieben Dezimalstellen mit π überein. Der nächste Bruch, der ihn übertrifft, benötigt einen 147-mal größeren Nenner und verbessert den Fehler um 0,2 %.
Einige Zeit vor dem Jahr 500, während der Südlichen Dynastien, berechnete Zu Chongzhi, dass π zwischen 3,1415926 und 3,1415927 liegt. Er notierte auch einen Bruch: 355/113. Fünfzehn Jahrhunderte später ist er nach wie vor der beste Bruch für π, den man mit drei Ziffern über drei erreichen kann, und er ist besser, als er es nach allem Anschein sein dürfte.
Wie viel besser
355/113 ergibt 3,1415929204 gegenüber 3,1415926536 bei π. Der Fehler beträgt 2,7 × 10⁻⁷ – das entspricht sieben Dezimalstellen Genauigkeit bei einem sechsstelligen Bruch.
Um ein Gefühl dafür zu bekommen, muss man sich fragen, was sonst noch zur Auswahl stand. Man durchläuft jeden Nenner von 1 bis 112, wählt jeweils den nächstgelegenen Zähler und behält das genaueste Ergebnis. Der Gewinner ist 333/106, und dieser weicht um 8,3 × 10⁻⁵ ab – 312-mal weiter entfernt. Zwischen einem Nenner von 106 und einem Nenner von 113 geschieht etwas, das wertvoller ist als jede Verbesserung in den hundert Schritten davor.
Und lange Zeit nimmt kein Bruch ihm diesen Rekord wieder ab. 355/113 ist für jeden Nenner bis 16.603 derjenige Bruch, der π am nächsten kommt. Der erste Bruch, der ihn schließlich übertrifft, ist 52163/16604, der einen 147-mal größeren Nenner benötigt, um den Fehler um 0,21 % zu verringern.
Die 292
Der Grund wird sichtbar, sobald man π als Kettenbruch schreibt:
π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, …]
Bricht man diesen Kettenbruch nach jedem Glied ab, so sind die resultierenden Brüche 3, dann 22/7, dann 333/106, dann 355/113. Dies sind die Näherungsbrüche, und ein Satz dieses Fachgebiets besagt, dass jeder davon die beste rationale Approximation seiner Größe ist: Kein Bruch mit kleinerem Nenner kommt dem Wert näher. How Close a Fraction Can Get zitiert diesen Satz nicht so sehr, sondern führt ihn praktisch aus, indem das Werkzeug jeden kleineren Nenner durchgeht und die Ergebnisse berichtet.
Das entscheidende Glied ist die 292. Ein großes Glied bedeutet, dass der Rest an dieser Stelle beinahe Null war – und ein Rest von fast Nichts ist nur eine andere Formulierung dafür, dass der Bruch, den man bereits in Händen hält, nahezu exakt war. Der Näherungsbruch unmittelbar vor der 292 erreicht daher sieben Dezimalstellen. Man vergleiche dies mit 22/7, der nach einem Glied von nur 7 steht und drei erreicht.
Die Größe des nächsten Glieds verrät, wie gut der Bruch ist, den man bereits hält. Zu Chongzhi hatte keine Kettenbrüche; die Methode stammt von Euler, zwölfhundert Jahre später. Was er hatte, war die Zahl – und die Zahl ist so oder so dieselbe.
Welche Zahlen einfach sind
Manche irrationalen Zahlen sind weitaus entgegenkommender als andere, und die Entwicklung verrät, welche das sind. √2 ist [1; 2, 2, 2, …] und e ist [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, …] – Muster, die sich formulieren und beweisen lassen. Vergleicht man jeden Fehler mit dem Quadrat seines Nenners, pendelt sich √2 bei 0,354 ein, e schwankt umher und π macht Sprünge, je nachdem, welches Glied es gerade passiert hat.
Der Extremfall ist der Goldene Schnitt, [1; 1, 1, 1, …]. Jedes Glied ist so klein, wie ein Glied nur sein kann, sodass jeder Näherungsbruch die kleinstmögliche Verbesserung gegenüber dem vorherigen darstellt, und dieselbe Messung pendelt sich bei 0,447 ein. Diese Zahl ist 1/√5, und Hurwitz bewies 1891, dass keine irrationale Zahl dauerhaft darüber bleiben kann. φ drückt direkt gegen die Obergrenze. Sie als die „irrationalste Zahl“ zu bezeichnen, klingt nach einer Redensart; es ist jedoch eine Messung, und 0,447 ist der Wert, den sie erreicht.
Was niemand weiß
π weist kein solches Muster auf. Seine Glieder wurden bis in die Milliarden berechnet, ohne dass jemals eine Regel darin gefunden wurde. Das lässt eine banal klingende Frage offen: Bleiben sie beschränkt, oder gibt es irgendwo da draußen ein Glied, das weit größer als 292 ist?
Wenn es ein solches gibt, dann liegt direkt dahinter ein Bruch, der π besser approximiert, als es ein Bruch dieser Größe eigentlich dürfte – genau wie 355/113. Niemand kann sagen, ob so etwas existiert. Kein mathematischer Satz erklärt die 292. Es ist schlicht das, was π tut.