La règle de la chaîne

Une fonction composée est une chaîne de maillons dont chacun étire une petite variation selon son propre taux. Construisez une chaîne et choisissez x : les axes gradués y propagent un intervalle dont les étirements se multiplient. Quand cet intervalle rétrécit, chaque étirement tend vers la dérivée de son maillon, à moins qu'un maillon ne l'écrase complètement. À vous ensuite d'écrire dy/dx.

La règle de la chaîne	$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$
En notation fonctionnelle	$(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$

Exemple résolu — La règle de la chaîne

Valeur intérieure	4
Sortie	−0,7568
Taux intérieur, en x	4
Taux extérieur, en u	−0,6536
Pente de la chaîne complète	−2,6146
Même pente, d'après y seul	−2,6146
Puis le maillon intérieur, par rapport à x.	2x

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — La règle de la chaîne

Si u = g(x) et y = f(u), la dérivée de toute la chaîne est le produit des dérivées de ses maillons, dy/dx = f′(g(x))·g′(x). Chaque dérivée s'évalue au point où opère son maillon : la dérivée externe est ainsi calculée en u = g(x), et non en x. Une chaîne plus longue multiplie une dérivée de plus par maillon.

Ce que signifie chaque symbole

u: la valeur transmise par le maillon interne, u = g(x)
w: dans une chaîne à trois maillons, la valeur transmise par le maillon intermédiaire

D’où vient la formule

Décomposez la variation en maillons. Décalez x de Δx. Le maillon interne déplace u de Δu, le maillon externe déplace y de Δy, et tant que Δu n'est pas 0, le rapport de toute la chaîne se décompose en produit des rapports des deux maillons. Sur la page, les étirements des bandes se multiplient.
$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{Δ y}{Δ u} \cdot \frac{Δ u}{Δ x} (Δ u \neq = 0)$
Faites rétrécir Δx. Comme g est continue en x, Δu rétrécit avec lui. Le rapport interne tend vers g′(x) et le rapport externe vers f′ au point où opère le maillon externe, u = g(x). La limite d'un produit est le produit des limites.
$\frac{Δ u}{Δ x} \to g^{'} (x), \frac{Δ y}{Δ u} \to f^{'} (u) = f^{'} (g (x)) \Rightarrow \frac{d y}{d x} = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)$
Le cas que masque la décomposition. Si Δu vaut 0 pour un petit Δx, la première ligne divise par zéro. La démonstration rigoureuse attribue au rapport externe la valeur f′(u) chaque fois que Δu = 0. Le produit reste alors valable pour tout Δx, et sa limite est la même.

Suppose: Chaque maillon admet une dérivée au point où il opère. Si l'un d'eux n'en a pas, comme √u en 0, la règle ne dit rien et la page affiche la chaîne comme non définie à cet endroit.

Problèmes entièrement résolus

Puissance d'une expression affine 3 étapes
Dérivez y = (3x + 1)⁴ et donnez la pente en x = 0.

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1. Identifiez les maillons et leurs taux. Le maillon intérieur est la partie affine, le maillon extérieur la puissance quatrième :
  
  $u = 3 x + 1, \frac{d u}{d x} = 3; y = u^{4}, \frac{d y}{d u} = 4 u^{3}$
2. Multipliez en plaçant d'abord le taux extérieur, puis écrivez le résultat comme à l'examen, avec la constante devant :
  
  $\frac{d y}{d x} = 4 (3 x + 1)^{3} \cdot 3 = 12 (3 x + 1)^{3}$
3. En x = 0, le maillon intérieur vaut 1 :
  
  $x = 0 : 12 \cdot 1^{3} = 12$
Réponse

dy/dx = 12(3x + 1)³, et 12 en x = 0. C'est ce 3 que tout le monde oublie : le taux extérieur seul donnerait 4(3x + 1)³, soit le quart de la pente réelle. La page affiche les deux taux, 3 et 4, et leur produit, 12.

$\frac{d y}{d x} = 12 (3 x + 1)^{3}$
Sinus d'un carré 3 étapes
Dérivez y = sin(x²) et donnez la pente en x = 1.

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1. Les maillons et leurs taux :
  
  $u = x^{2}, \frac{d u}{d x} = 2 x; y = sin u, \frac{d y}{d u} = cos u$
2. Multipliez. Le cosinus s'évalue en u = x², là où agit le maillon extérieur, et non en x :
  
  $\frac{d y}{d x} = cos (x^{2}) \cdot 2 x = 2 x cos (x^{2})$
3. En x = 1 :
  
  $x = 1 : 2 cos 1 \approx 1.0806$
Réponse

dy/dx = 2x cos(x²), et 2 cos 1 ≈ 1,0806 en x = 1. La page affiche ici un taux extérieur de 0,5403, soit cos 1, car u = x² vaut 1 en ce point.

$\frac{d y}{d x} = 2 x cos (x^{2})$
Là où la pente de e^(−x²) s'annule 3 étapes
Dérivez y = e^(−x²), déterminez où sa pente s'annule et donnez la pente en x = 1.

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1. Les maillons et leurs taux. L'exponentielle est sa propre dérivée :
  
  $u = - x^{2}, \frac{d u}{d x} = - 2 x; y = e^{u}, \frac{d y}{d u} = e^{u}$
2. Multipliez :
  
  $\frac{d y}{d x} = e^{- x^{2}} \cdot (- 2 x) = - 2 x e^{- x^{2}}$
3. L'exponentielle n'est jamais nulle : seul le facteur −2x peut donc s'annuler :
  
  $e^{- x^{2}} > 0 \Rightarrow \frac{d y}{d x} = 0 ⟺ x = 0; x = 1 : - \frac{2}{e} \approx - 0.7358$
Réponse

dy/dx = −2x e^(−x²) : pente nulle uniquement en x = 0, et −2/e ≈ −0,7358 en x = 1. À gauche de 0, la pente est positive et à droite, négative : x = 0 correspond donc au sommet de la courbe.

$\frac{d y}{d x} = - 2 x e^{- x^{2}}$
Logarithme d'une somme 3 étapes
Dérivez y = ln(x² + 1) et donnez la pente en x = 1.

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1. Les maillons et leurs taux :
  
  $u = x^{2} + 1, \frac{d u}{d x} = 2 x; y = ln u, \frac{d y}{d u} = \frac{1}{u}$
2. Multipliez :
  
  $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x ^{2} + 1} \cdot 2 x = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$
3. En x = 1, la valeur intérieure vaut 2 :
  
  $x = 1 : \frac{2}{2} = 1$
Réponse

dy/dx = 2x/(x² + 1), soit exactement 1 en x = 1. La page affiche 0,5 pour le taux extérieur, c'est-à-dire 1/u en u = 2.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$
Une puissance négative 3 étapes
Dérivez y = 1/(2x − 1)³ et donnez la pente en x = 1.

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1. Écrivez d'abord l'expression sous forme de puissance ; les maillons et leurs taux se trouvent alors comme précédemment :
  
  $y = (2 x - 1)^{- 3} : u = 2 x - 1, \frac{d u}{d x} = 2; y = u^{- 3}, \frac{d y}{d u} = - 3 u^{- 4}$
2. Multipliez, puis réécrivez la puissance négative sous forme de fraction :
  
  $\frac{d y}{d x} = - 3 (2 x - 1)^{- 4} \cdot 2 = - \frac{6}{( 2 x - 1 ) ^{4}}$
3. En x = 1, la valeur intérieure vaut 1 :
  
  $x = 1 : - \frac{6}{1} = - 6$
Réponse

dy/dx = −6/(2x − 1)⁴, soit −6 en x = 1. Écrit sous forme de puissance, un quotient au numérateur constant se passe totalement de la règle du quotient.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6}{( 2 x - 1 ) ^{4}}$
Le cube d'un sinus 3 étapes
Dérivez y = sin³x et donnez la pente en x = π/4.

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1. sin³x est le cube de sin x : la puissance forme le maillon extérieur, et le sinus le maillon intérieur :
  
  $sin^{3} x = (sin x)^{3} : u = sin x, \frac{d u}{d x} = cos x; y = u^{3}, \frac{d y}{d u} = 3 u^{2}$
2. Multipliez :
  
  $\frac{d y}{d x} = 3 sin^{2} x cos x$
3. En π/4, le sinus et le cosinus valent tous deux √2/2 :
  
  $x = \frac{π}{4} : 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{3 2}{4} \approx 1.0607$
Réponse

dy/dx = 3 sin²x cos x, soit 3√2/4 ≈ 1,0607 en x = π/4. Lisez sin³x comme sin(x³), et vous formez une tout autre chaîne, aux maillons inversés.

$\frac{d y}{d x} = 3 sin^{2} x cos x$
Trois maillons 3 étapes
Dérivez y = e^(sin(x²)) et donnez la pente en x = 1.

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1. Trois maillons, trois taux, évalués chacun là où son maillon opère :
  
  $u = x^{2}, \frac{d u}{d x} = 2 x; w = sin u, \frac{d w}{d u} = cos u; y = e^{w}, \frac{d y}{d w} = e^{w}$
2. Multipliez les trois, en commençant par l'extérieur :
  
  $\frac{d y}{d x} = e^{s i n (x^{2})} \cdot cos (x^{2}) \cdot 2 x$
3. En x = 1 :
  
  $x = 1 : e^{s i n 1} \cdot cos 1 \cdot 2 \approx 2.3198 \cdot 0.5403 \cdot 2 \approx 2.5068$
Réponse

dy/dx = 2x cos(x²) e^(sin(x²)), soit environ 2,5068 en x = 1. Un maillon de plus apporte un facteur supplémentaire, sans que la méthode ne change.

$\frac{d y}{d x} = 2 x cos (x^{2}) e^{s i n (x^{2})}$
Combien d'appuis sur cos ? 4 étapes
Une calculatrice en radians affiche 1, et vous appuyez de façon répétée sur cos. Près de p = 0,739085…, où cos p = p, chaque appui multiplie l'erreur par cos′(p) = −sin p = −0,6736. Estimez le nombre d'appuis amenant l'affichage à moins de 10⁻⁶ de p, puis vérifiez cette estimation. Cliquez sur À partir de x = 1 : trois appuis mènent de 1 à 0,6543, et la pente de la chaîne à trois maillons y vaut −0,3273.

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1. L'erreur avant le premier appui :
  
  $e_{0} = 1 - p = 1 - 0.739085 = 0.2609$
2. n appuis forment une chaîne de n maillons ; près de p, chaque maillon a le même taux, de sorte que la règle de la chaîne multiplie n facteurs égaux :
  
  $\frac{d}{d x} n cos (cos (\dots cos x))_{x = p} = (- sin p)^{n} = (- 0.6736)^{n}, ∣ e_{n} ∣ \approx 0.2609 \times 0.673 6^{n}$
3. Demandons que cette quantité devienne inférieure à 10⁻⁶ et appliquons les logarithmes :
  
  $0.2609 \times 0.673 6^{n} < 1 0^{- 6} ⟺ n > \frac{ln ( 0 . 2609/1 0 ^{- 6} )}{ln ( 1/0 . 6736 )} = \frac{12 . 47}{0 . 3951} = 31.57$
4. Les trois appuis proposés testent l'estimation à ses débuts, quand elle est encore grossière : elle prédit −0,0797 alors que l'affichage s'écarte de −0,0848, car les premiers appuis se font loin de p.
  
  $e_{3} \approx 0.2609 \times (- 0.3057) = - 0.0797, e_{3} = 0.6543 - 0.7391 = - 0.0848$
Réponse

32 appuis. L'estimation donne 31,57, soit 32 appuis, et le calcul itératif confirme ce résultat : après 31 appuis, l'erreur est de 1,286×10⁻⁶ et après 32, elle vaut 8,664×10⁻⁷. Chaque erreur divisée par la précédente donne −0,7619 au premier appui et −0,5960 au deuxième, avant de se fixer à −0,6736 à mesure que les appuis se succèdent. La page s'arrête ici à trois maillons.

$n = 32 : ∣ e_{31} ∣ = 1.286 \times 1 0^{- 6}, ∣ e_{32} ∣ = 8.664 \times 1 0^{- 7}$

Un facteur intérieur oublié peut réussir le test en un point isolé 🖖

Cliquez sur Intérieur oublié. La chaîne est sin(x²) en x = 2, et la réponse saisie, cos(x²), a omis la dérivée interne, 2x. Elle est fausse d'un facteur 4. Cliquez à présent sur Test en un seul point : voici la même réponse en x = 0,5, où 2x vaut exactement 1, si bien qu'elle concorde avec la vraie pente. Tester une dérivée en un seul point ne prouve rien si la dérivée interne y vaut justement 1. La page teste 24 points et la refuse sur chacun d'eux.

Trois appuis sur cos font basculer l'erreur trois fois 🖖

Cliquez sur Trois fois cos. La chaîne est cos(cos(cos x)) en 0,739085…, le seul nombre que cos laisse inchangé. Chaque maillon opère au même point avec la même dérivée, environ −0,67 : chaque bande en ressort retournée et raccourcie d'un tiers. Voilà ce qui se produit quand vous appuyez en boucle sur cos avec une calculatrice : près de 0,7391, chaque pression conserve environ deux tiers de l'erreur tout en inversant son signe. L'affichage passe alors au-dessus, puis en dessous, en se resserrant. Le dernier problème résolu compte ces appuis.

e puissance ln x révèle la dérivée de ln x 🖖

Cliquez sur e puissance ln x. Les deux maillons restituent la valeur reçue, e^(ln x) = x ; la chaîne entière a donc une pente de 1. La règle de dérivation des composées énonce que 1 est le produit des deux dérivées : l'extérieure, e^(ln x), qui vaut x, multipliée par celle de ln. La dérivée de ln en x vaut donc nécessairement 1/x, sans que le raisonnement ait eu besoin de la connaître. Faites glisser x : les deux dérivées restent inverses l'une de l'autre.

Parcours

Dérivation : comment se combinent les taux

Références (2)

The rule in both notations the page uses, h′(x) = f′(g(x))g′(x) and dy/dx = (dy/du)·(du/dx), the advice to work “from the outside in, taking one derivative at a time”, the warning that “we never evaluate a derivative at a derivative” (the page's derivOfDeriv slip), and a chain of three links (Example 3.55, cos⁴(7x² + 1)): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 3.6, “The Chain Rule”.
The derivative of ln x proved from the identity e^y = x, differentiated implicitly (Theorem 3.15), the argument insight block 3 makes as a chain e^(ln x) = x: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 3.9, “Derivatives of Exponential and Logarithmic Functions”.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.