Transformations de courbes : translations, étirements et symétries

Choisissez une courbe de référence et définissez les quatre nombres dans y = a·f(bx + c) + d. La page trace la courbe de référence en transparence et la nouvelle courbe en trait plein, relie chaque point remarquable à son image par une flèche, et calcule la translation, les étirements et le point d'arrivée de chacun.

Exemple résolu — Transformations de courbes : translations, étirements et symétries

Facteur d'étirement horizontal	1
Facteur d'étirement vertical	1
Translation verticale	0
Point d'arrivée : le sommet (0, 0)	(3, 0)

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Transformations de courbes : translations, étirements et symétries

Une transformation de courbe déplace chacun de ses points selon la même règle. Pour y = a·f(bx + c) + d, le point (p, q) de y = f(x) arrive en ((p − c)/b, a·q + d). Les deux nombres à l'intérieur de la parenthèse, b et c, agissent sur x avant l'application de f et déplacent la courbe latéralement : sa translation horizontale vaut −c/b et ses largeurs sont multipliées par 1/b. Les deux nombres à l'extérieur, a et d, agissent sur la hauteur après f et la déplacent verticalement.

Ce que signifie chaque symbole

a: le facteur d'étirement vertical ; un a négatif crée aussi une symétrie par rapport à l'axe des abscisses
b: le nombre multipliant x dans la parenthèse ; les largeurs sont multipliées par 1/b, et un b négatif crée aussi une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées
c: le nombre ajouté à bx dans la parenthèse
d: la translation verticale
h: la translation horizontale, −c/b, la valeur de x pour laquelle l'intérieur de la parenthèse s'annule

Suppose: La formule se lit dans l'ordre de ses opérations : bx + c se calcule en premier, puis f, puis la multiplication par a, et enfin l'addition de d. Écrite dans l'autre sens, a·(f(bx + c) + d), la courbe serait soulevée de a·d au lieu de d.
Ne tient plus quand: Ces quatre nombres peuvent translater, étirer et retourner une courbe dans chaque direction, et rien d'autre. Ils ne peuvent pas la faire pivoter. Une parabole tournée d'un angle autre qu'un demi-tour n'est d'ailleurs plus la courbe d'une fonction de x, car, suffisamment loin, une ligne verticale la croise deux fois.

Un signe moins dans la parenthèse décale la courbe vers la droite 🖖

Cliquez sur (x − 3)². Toutes les flèches pointent vers la droite, et le sommet arrive en (3, 0). Lorsque Rina Zazkis et deux collègues ont interrogé des lycéens et des professeurs sur cette même parabole en 2003, la plupart d'entre eux ont trouvé le décalage vers la droite contre-intuitif. La nouvelle courbe en x prend la valeur que x² prenait en x − 3, elle n'atteint donc la valeur minimale de la parabole qu'une fois que x − 3 = 0, en x = 3 : c'est l'ancienne courbe arrivant avec trois unités de retard. Tout ce qui arrive à x à l'intérieur de la parenthèse se produit avant l'intervention de f, et le graphique montre l'opération inverse. Soustrayez 3 et la courbe se déplace de 3 dans le sens inverse. Multipliez par 2, comme dans sin 2x, et la courbe y arrive deux fois plus tôt. Chaque largeur est alors divisée par deux et le point du sinus en 2π, 6,2832, arrive en 3,1416. Les deux nombres à l'extérieur, a et d, agissent sur la hauteur une fois que f a fait son travail, et ils font exactement ce qu'ils annoncent.

Le 6 de √(2x − 6) n'est pas la translation 🖖

Cliquez sur 2√(2x − 6) + 1. La courbe commence en x = 3. Une racine carrée commence là où l'expression sous la racine s'annule, et 2x − 6 vaut zéro en 3, non en 6. Factorisez d'abord l'intérieur, 2x − 6 = 2(x − 3), et la translation correspond au nombre restant dans la parenthèse. La première ligne du tableau de résultats fait exactement cela, −c/b = −(−6)/2. Il existe deux façons correctes de déduire les mouvements à partir de la formule : décaler la courbe de 6 vers la droite puis la comprimer vers l'axe des ordonnées pour réduire sa largeur de moitié, ce qui ramène son point de départ de 6 à 3, ou bien comprimer d'abord puis décaler de 3. La lecture qui mène à l'erreur consiste à prendre les nombres dans l'ordre où ils sont écrits, en comprimant d'abord pour ensuite décaler de 6.

(2x)² et 4x² représentent la même courbe 🖖

Cliquez sur (2x)². Le graphique montre la parabole comprimée à la moitié de sa largeur, et la dernière ligne du tableau de résultats l'écrit sous la forme 4x², la parabole étirée à quatre fois sa hauteur. Il s'agit d'une seule courbe, car (2x)² = 2²·x². Pour b > 0 la même identité, (bx)ⁿ = bⁿxⁿ, est valable pour chaque puissance, donc pour x², |x|, x³, √x et 1/x tout étirement horizontal peut être échangé contre un étirement vertical, sans que rien sur le graphique n'indique le mouvement qui a été effectué. L'exponentielle permet d'échanger l'autre mouvement. 2ˣ⁺³ correspond à 2ˣ décalée de 3 vers la gauche, et c'est aussi 8·2ˣ, car 2ˣ⁺³ = 2³·2ˣ. Le sinus est la seule fonction de référence de cette page qui n'échange aucun des deux : la comprimer, ou la décaler d'une valeur autre qu'un multiple de π, déplace ses zéros, et un étirement vertical laisse chaque zéro à sa place.

Problème entièrement résolu

Déplacer √x pour commencer en (3, 1) et passer par (5, 5) 4 étapes
Trouvez a, b, c et d pour que y = a√(bx + c) + d commence en (3, 1) et passe par (5, 5). Indiquez ensuite le nombre de réponses. Cliquez sur 2√(2x − 6) + 1 pour vérifier l'une d'entre elles.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Une racine carrée commence là où son argument s'annule, et la hauteur y correspond à d. Cet argument doit valoir zéro en x = 3, ce qui fixe c à −3b, tandis que la hauteur de départ fixe d à 1.
  
  $b x + c = 0 at x = 3 \Rightarrow c = - 3 b, d = 1$
2. Passons au second point. En x = 5, l'argument vaut 5b − 3b = 2b, la condition s'écrit donc a√(2b) + 1 = 5. Cela donne une équation pour deux inconnues.
  
  $a 5 b - 3 b + 1 = 5 \Rightarrow a 2 b = 4$
3. Choisissez b = 2 et l'équation donne a = 2 et c = −6, soit le préréglage. Choisissez b = 1 et elle donne a = 4/√2 = 2,8284 et c = −3, ce qui correspond à la courbe affichée sur la dernière ligne du tableau de résultats pour le préréglage.
  
  $b = 2 : a = \frac{4}{2} = 2, c = - 6 b = 1 : a = \frac{4}{2} = 2.8284, c = - 3$
4. Ces résultats concordent car √(bx − 3b) = √b·√(x − 3), ainsi chaque courbe de la famille s'écrit a√b·√(x − 3) + 1, et le deuxième point ne fixe que le produit a√b, à 2√2.
  
  $a b x - 3 b = a b x - 3, a b = 22 = 2.8284$
Réponse

Une infinité d'ensembles de quatre nombres, et exactement une seule courbe. Tout b > 0 fonctionne, avec a = 2√2/√b, c = −3b et d = 1. Prenez b = 8 : alors a = 1 et y = √(8x − 24) + 1, qui passe par (5, 5) car √16 = 4. La question « trouvez a et b » n'a pas de réponse unique ; la question « trouvez la courbe » en a une, 2,8284√(x − 3) + 1.

$b = 8 : a = 1, y = 8 x - 24 + 1, 8 \cdot 5 - 24 + 1 = 4 + 1 = 5$

Références (2)

The standard statement of the four moves, including the order the page's claim 2 turns on: in f(bx − h), shift by h first and then stretch by 1/b; in f(b(x − h)), stretch first and then shift by h: Jay Abramson, "1.5 Transformation of Functions." Precalculus 2e, OpenStax, Houston, Texas, 2021. CC BY-NC-SA 4.0.
That the rightward shift of y = (x − 3)² is counterintuitive to most of the secondary students and teachers asked about it, the observation insight 1 quotes: R. Zazkis, P. Liljedahl and K. Gadowsky, "Conceptions of function translation: obstacles, intuitions, and rerouting." The Journal of Mathematical Behavior 22(4), 2003, pp. 435-448. DOI 10.1016/j.jmathb.2003.09.003

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.