Dérivation implicite

Bien des courbes ne peuvent pas s'écrire sous la forme y = f(x), tout en possédant une pente en presque chacun de leurs points. Choisissez une courbe et une valeur de x : la page détermine tous les points situés à cette abscisse, trace la tangente en celui que vous choisissez et calcule −F_x/F_y. Déroulez ensuite la dérivation étape par étape pour confronter chaque ligne aux valeurs numériques.

Dérivation implicite	$\frac{d y}{d x} = - \frac{F _{x}}{F _{y}}, F_{y} \neq = 0$

Exemple résolu — Dérivation implicite

Le point choisi	(1; 2,3615)
∂F/∂x en ce point	−11,1688
∂F/∂y en ce point	10,7296
La pente en ce point	1,0409
Corde reliant les voisins sur la même branche	1,0409
Autres points à cette abscisse	0

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

Chargement de la simulation interactive...

Leçon

La théorie — Dérivation implicite

Une courbe F(x, y) = 0 dont vous ne pouvez pas isoler y admet tout de même une pente en chacun de ses points réguliers : dy/dx = −F_x/F_y, une formule où se mêlent x et y. Elle n'est plus définie là où F_y = 0.

Ce que signifie chaque symbole

F_x: ∂F/∂x, la dérivée de F par rapport à x, à y fixé
F_y: ∂F/∂y, la dérivée de F par rapport à y, à x fixé ; là où elle vaut 0, la formule de la pente ne donne aucune valeur

D’où vient la formule

Dérivez le long de la courbe. Considérez y comme une fonction de x et dérivez F(x, y(x)) = 0. Chaque terme en x se dérive normalement ; chaque terme en y fait apparaître un facteur y′ par la règle de dérivation des fonctions composées. Ces deux termes sont F_x et F_y·y′, et leur somme vaut 0.
$\frac{d}{d x} F (x, y (x)) = F_{x} + F_{y} y^{'} = 0$
Isolez y′. Partout où F_y n'est pas nul, divisez par ce terme. La pente s'exprime en fonction de x et de y. Il vous faut donc le point complet, pas seulement x : une même abscisse peut porter plusieurs points et plusieurs pentes.
$y^{'} = - \frac{F _{x}}{F _{y}} (F_{y} \neq = 0)$
Lorsque F_y = 0. Impossible de diviser. Si F_x n'y est pas nul, la tangente est verticale ; si F_x s'annule aussi, la formule donne 0/0 et ne dit rien, comme au croisement du folium.

Suppose: F admet des dérivées partielles au point considéré. Sur les trois courbes prédéfinies, les points d'abscisse x sont obtenus sous forme close ; sur une courbe que vous saisissez, ils sont déterminés numériquement en balayant F selon y à la recherche d'un changement de signe. Un point où F touche 0 sans le traverser n'est donc pas répertorié.

Problèmes entièrement résolus

La tangente à un cercle 3 étapes
Déterminez dy/dx pour x² + y² = 25, puis la tangente en (3, 4).

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Dérivez les deux membres en considérant y comme une fonction de x. La règle des fonctions composées place un facteur y′ à côté de la dérivée de y² :
  
  $2 x + 2 y y^{'} = 0$
2. Isolez y′ :
  
  $y^{'} = - \frac{x}{y}$
3. En (3, 4), puis la droite passant par ce point avec cette pente :
  
  $(3, 4) : y^{'} = - \frac{3}{4}; y - 4 = - \frac{3}{4} (x - 3) \Rightarrow y = - \frac{3}{4} x + \frac{25}{4}$
Réponse

y′ = −x/y, et la tangente en (3, 4) a pour équation y = −3x/4 + 25/4. La page affiche ici F_x = 6 et F_y = 8, d'où la pente −6/8. La tangente est perpendiculaire au rayon, dont la pente vaut 4/3.

$y^{'} = - \frac{x}{y}, y = - \frac{3}{4} x + \frac{25}{4}$
Un produit dans la courbe 3 étapes
Déterminez dy/dx pour x²y + y² = 2 et sa valeur en (1, 1).

Ouvrez ce problème dans l'outil
Afficher la solution
1. Dérivez les deux membres. Comme x²y est un produit, il donne deux termes, et chaque y s'accompagne d'un y′ :
  
  $2 x y + x^{2} y^{'} + 2 y y^{'} = 0$
2. Regroupez les termes en y′ et isolez-le :
  
  $(x^{2} + 2 y) y^{'} = - 2 x y \Rightarrow y^{'} = - \frac{2 x y}{x ^{2} + 2 y}$
3. En (1, 1) :
  
  $(1, 1) : y^{'} = - \frac{2}{3}$
Réponse

y′ = −2xy/(x² + 2y), et −2/3 en (1, 1). Sur la page : Votre courbe, x^2*y + y^2 = 2, x = 1. Elle affiche F_x = 2 et F_y = 3.

$y^{'} = - \frac{2 x y}{x ^{2} + 2 y}$
Un cube en y 3 étapes
Déterminez dy/dx pour y³ + xy = 2 et sa valeur en (1, 1).

Ouvrez ce problème dans l'outil
Afficher la solution
1. Dérivez les deux membres. Le terme y³ donne 3y²y′ par la règle des fonctions composées, et xy donne y + xy′ par la règle du produit :
  
  $3 y^{2} y^{'} + y + x y^{'} = 0$
2. Regroupez et isolez y′ :
  
  $(3 y^{2} + x) y^{'} = - y \Rightarrow y^{'} = - \frac{y}{3 y ^{2} + x}$
3. En (1, 1) :
  
  $(1, 1) : y^{'} = - \frac{1}{4}$
Réponse

y′ = −y/(3y² + x), et −1/4 en (1, 1). Personne ne peut expliciter y en une ligne pour cette courbe, et vous n'en avez nullement besoin pour déterminer la pente.

$y^{'} = - \frac{y}{3 y ^{2} + x}$
Tangentes horizontales d'une ellipse inclinée 3 étapes
Déterminez les points de x² + xy + y² = 3 où la tangente est horizontale.

Ouvrez ce problème dans l'outil
Afficher la solution
1. Dérivez puis isolez y′ comme précédemment :
  
  $2 x + y + x y^{'} + 2 y y^{'} = 0 \Rightarrow y^{'} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$
2. La pente s'annule avec son numérateur : réinjectez y = −2x dans l'équation de la courbe :
  
  $y^{'} = 0 ⟺ y = - 2 x : x^{2} - 2 x^{2} + 4 x^{2} = 3 \Rightarrow x = \pm 1$
3. Les deux points :
  
  $(1, - 2) (- 1, 2)$
Réponse

(1, −2) et (−1, 2). En (1, −2), la page affiche F_x = 0 et une pente de 0. Là où le dénominateur s'annule, en (2, −1) et (−2, 1), la tangente est verticale.

$(1, - 2), (- 1, 2)$
La dérivée de ln x 3 étapes
Utilisez eʸ = x pour déterminer la dérivée de y = ln x.

Ouvrez ce problème dans l'outil
Afficher la solution
1. Dérivez les deux membres de eʸ = x. À gauche, la dérivation d'une composée donne eʸ fois y′ :
  
  $e^{y} y^{'} = 1$
2. Isolez y′, puis appliquez eʸ = x une nouvelle fois :
  
  $y^{'} = \frac{1}{e ^{y}} = \frac{1}{x}$
3. La pente de y = ln x vaut donc 1/x :
  
  $y = ln x \Rightarrow \frac{d}{d x} ln x = \frac{1}{x}; x = 2 : \frac{1}{2}$
Réponse

(ln x)′ = 1/x. En x = 2, la page affiche une pente de 0,5. Le raisonnement repose uniquement sur la dérivée de eˣ : c'est ainsi que l'on démontre pour la première fois la règle pour ln x.

$\frac{d}{d x} ln x = \frac{1}{x}$
La dérivée seconde d'un cercle 3 étapes
Déterminez y″ pour x² + y² = 25 et sa valeur en (3, 4).

Ouvrez ce problème dans l'outil
Afficher la solution
1. Partez de la dérivée première :
  
  $y^{'} = - \frac{x}{y}$
2. Dérivez à nouveau avec la règle du quotient, remplacez y′ par −x/y et appliquez x² + y² = 25 :
  
  $y^{''} = - \frac{y - x y ^{'}}{y ^{2}} = - \frac{y + \frac{x ^{2}}{y}}{y ^{2}} = - \frac{x ^{2} + y ^{2}}{y ^{3}} = - \frac{25}{y ^{3}}$
3. En (3, 4) :
  
  $(3, 4) : y^{''} = - \frac{25}{64} \approx - 0.3906$
Réponse

y″ = −25/y³, et −25/64 ≈ −0,3906 en (3, 4). La dérivée seconde va au-delà de ce que calcule la page : celle-ci affiche la pente de −0,75 d'où part le calcul.

$y^{''} = - \frac{25}{y ^{3}}$
Le sommet du folium 3 étapes
Déterminez la pente de x³ + y³ = 6xy au sommet de sa boucle, en (3, 3).

Ouvrez ce problème dans l'outil
Afficher la solution
1. Dérivez les deux membres. Le membre de droite est un produit :
  
  $3 x^{2} + 3 y^{2} y^{'} = 6 y + 6 x y^{'}$
2. Regroupez les termes en y′ et isolez y′ en divisant par 3 :
  
  $(3 y^{2} - 6 x) y^{'} = 6 y - 3 x^{2} \Rightarrow y^{'} = \frac{2 y - x ^{2}}{y ^{2} - 2 x}$
3. En (3, 3) :
  
  $(3, 3) : y^{'} = \frac{6 - 9}{9 - 6} = - 1$
Réponse

y′ = −1 en (3, 3). La courbe est symétrique par rapport à la droite y = x : sa tangente doit donc la couper à angle droit. La page affiche F_x = F_y = 9.

$y^{'} (3, 3) = - 1$
Le sommet de la feuille 4 étapes
Déterminez avec exactitude le point culminant de la feuille du folium, et décidez s'il s'agit de la pointe (3, 3), où la feuille croise la droite y = x. Cliquez sur Sommet de la feuille : en x = 2,52, la pente au point supérieur affiche −0,0002, tout près de 0, mais un curseur au pas de 0,01 ne peut qu'encadrer la réponse.

Ouvrez ce problème dans l'outil
Afficher la solution
1. La tangente est horizontale là où y′ = 0, ce qui impose au numérateur 2y − x² d'être nul sans que le dénominateur ne le soit :
  
  $y^{'} = \frac{2 y - x ^{2}}{y ^{2} - 2 x} = 0 \Rightarrow y = \frac{x ^{2}}{2}$
2. Injectons y = x²/2 dans l'équation de la courbe. Le point d'abscisse x = 0 est l'origine, où la formule donne 0/0 ; on peut donc diviser par x³ :
  
  $x^{3} + \frac{x ^{6}}{8} = 6 x \cdot \frac{x ^{2}}{2} = 3 x^{3} \Rightarrow \frac{x ^{6}}{8} = 2 x^{3} \Rightarrow x^{3} = 16$
3. Ainsi x est la racine cubique de 16, et le dénominateur n'y est pas nul :
  
  $x = 2^{4/3} = 2.5198, y = \frac{x ^{2}}{2} = 2^{5/3} = 3.1748, y^{2} - 2 x = 2^{10/3} - 2^{7/3} = 2^{7/3} = 5.0397 \neq = 0$
4. À la pointe (3, 3), la pente vaut −1 : la feuille continue donc de monter vers sa gauche :
  
  $y^{'} (3, 3) = \frac{2 \cdot 3 - 3 ^{2}}{3 ^{2} - 2 \cdot 3} = \frac{- 3}{3} = - 1, 3.1748 - 3 = 0.1748$
Réponse

Le sommet de la feuille se situe en (2^4/3, 2^5/3) ≈ (2,5198, 3,1748), soit 0,1748 plus haut que la pointe. Son ordonnée est l'abscisse de la tangente verticale observée dans Le repli, car permuter x et y laisse l'équation x³ + y³ = 6xy inchangée et transforme les tangentes horizontales en tangentes verticales. La page calcule la pente quel que soit le point choisi ; résoudre y′ = 0 relève d'un travail algébrique qu'elle n'effectue pas.

$(2^{4/3}, 2^{5/3}) \approx (2.5198, 3.1748)$

Trois points à l'abscisse x = 1, et trois pentes 🖖

Cliquez sur Trois pentes en x = 1. À la verticale de x = 1, le folium compte trois points, et la courbe traverse chacun d'eux avec une pente différente. Une formule dépendant du seul x ne donne qu'une valeur pour chaque x : elle ne saurait donc représenter la pente de cette courbe. La dérivée implicite, y′ = (2y − x²)/(y² − 2x), fait aussi intervenir l'ordonnée y du point : le tableau sous la courbe la calcule pour ces trois points. Descartes, qui décrivit la courbe pour la première fois en 1638, croyait que sa feuille se répétait dans chaque quadrant comme les pétales d'une fleur. Il n'y a pourtant qu'une feuille, et deux branches infinies.

La formule échoue précisément là où la courbe gagne ou perd un point 🖖

Cliquez sur Le repli. Ici, le dénominateur F_y est nul et la tangente est verticale. À gauche, on compte trois points à la verticale de x ; ici, les deux du dessus se rejoignent ; à droite, il n'en reste plus qu'un. Sur les trois courbes, le nombre de points à la verticale de x change précisément là où F_y = 0, et nulle part ailleurs. Voilà le théorème des fonctions implicites illustré par le curseur : tant que F_y ≠ 0, la courbe est localement le graphe d'une unique fonction ; dès que F_y = 0, deux de ces fonctions viennent fusionner.

À l'origine, la formule donne 0/0 et la courbe possède deux tangentes 🖖

Cliquez sur Le croisement. À l'origine, F_x et F_y s'annulent tous deux : la formule affiche 0/0, ce qui va bien au-delà d'une simple tangente verticale. La courbe passe deux fois par ce point : une fois à l'horizontale en suivant le bord inférieur de la feuille, une autre en grimpant à pic pour la traverser. Approchez-vous de l'origine pour x = 0,1, 0,01, 0,001 : le tableau montre une pente qui tend vers 0 et deux autres qui croissent sans borne. Aucune pente unique ne saurait convenir, et le graphique trace les deux tangentes.

Parcours

Dérivation : comment se combinent les taux

Références (2)

The method as the page steps it (differentiate both sides with y a function of x, then solve for dy/dx), the circle x² + y² = 25 with its tangent at (3, −4) (Example 3.71), and the folium in the form x³ + y³ − 3xy = 0 with slope −1 at (3/2, 3/2) (Example 3.72), the a = 1 version of the page's tip (3, 3): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 3.8, “Implicit Differentiation”.
That Descartes first discussed the folium in 1638 and believed the leaf was repeated in each quadrant like the petals of a flower (insight block 1), and the asymptote x + y + a = 0 (here a = 2): J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Folium of Descartes”, Famous Curves Index, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.