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Deux pays ont mesuré la même frontière et ont constaté un écart de 227 kilomètres
Mesurez une côte avec une règle plus courte et vous obtenez une côte plus longue. Continuez de la raccourcir et la réponse ne se stabilise jamais. La question est viciée, et ce qui la remplace est une dimension qui n'est pas un nombre entier.
Un peu avant 1951, Lewis Fry Richardson s'est mis en quête de quelque chose de rébarbatif. Il étudiait ce qui pousse les pays à se faire la guerre, soupçonnait que la longueur d'une frontière commune pouvait avoir une importance, et il lui fallait des chiffres.
Il découvrit que l'Espagne évaluait la frontière hispano-portugaise à 1 214 km et le Portugal à 987 km. La même frontière. Un écart de 227 km — environ 23 % — entre deux gouvernements décrivant une seule et même ligne sur le terrain.
Personne ne s'était trompé. Ils avaient utilisé des règles différentes.
Pourquoi la règle la plus courte l'emporte toujours
Pour mesurer une ligne sinueuse, on déplace un écartement fixe le long de celle-ci, bout à bout, et on compte. Chaque renfoncement plus étroit que cet écartement est enjambé. Raccourcissez l'écartement et des renfoncements qui étaient invisibles s'intègrent au parcours — le trajet s'allonge, et il s'allonge à chaque fois.
La Grande-Bretagne en est le cas d'école. Mesuré avec des pas de 100 km, son littoral atteint environ 2 800 km. Mesuré avec des pas de 50 km, environ 3 400 km. Six cents kilomètres de nouvelle côte sont apparus, et rien n'a bougé.
Pour une courbe ordinaire, c'est un non-événement. Mesurez un cercle avec des pas de plus en plus fins et les résultats augmentent un peu puis cessent d'augmenter : ils convergent vers la circonférence, ce qui est le sens même de « la longueur d'un cercle ». Le littoral ne fait jamais cela. Divisez la règle par deux, gagnez à nouveau la même fraction, et continuez aussi loin que votre patience et vos cartes le permettent.
Observez le phénomène là où l'arithmétique est exacte
Les littoraux réels cessent de coopérer à un certain stade — vous finissez par mesurer le contour de rochers individuels. Une forme géométrique construite ne présente pas cette limite, et le Fractal Explorer en propose une dont chaque étape est exacte.
Choisissez le flocon de Koch et augmentez la profondeur à l'aide du curseur depuis zéro. La ligne de décompte du panneau indique 3 segments, puis 12, puis 48 ; à la profondeur 5, elle indique 3 072, et à la profondeur 7, 49 152. La règle qui régit ce résultat est l'argument de la règle de mesure débarrassé de son imprécision : chaque segment est remplacé par quatre segments trois fois plus courts. Quatre tiers de la longueur, à chaque étape, pour toujours.
Observez maintenant la ligne située à côté. Tandis que le décompte passe de 3 à 49 152, l'affichage de la dimension ne varie pas d'un iota : log 4 / log 3 ≈ 1,262. La longueur diverge et ce nombre reste immobile, ce qui est précisément tout son intérêt.
La question qui possède une réponse
« Quelle est la longueur de la côte de Grande-Bretagne ? » n'a pas de réponse, et non pas parce que le relevé est difficile. La longueur est une propriété de la côte et de la règle, et on ne peut l'indiquer sans mentionner les deux.
Ce qui appartient à la côte seule, c'est la vitesse à laquelle la longueur augmente à mesure que la règle rétrécit. Tracez la longueur mesurée en fonction de la longueur de la règle, toutes deux sur des axes logarithmiques, et les points s'alignent sur une droite — c'est le graphique de Richardson, et sa pente est la propriété que vous cherchiez. Ajustez-en une vous-même dans linear regression ; la raison pour laquelle une loi de puissance devient droite sous logarithms est la même qui explique son fonctionnement ici.
Pour la côte ouest de la Grande-Bretagne, cet exposant donne une dimension d'environ 1,25. Pour la côte de l'Afrique du Sud, environ 1,02 — une côte si régulière qu'elle est presque une ligne, et qu'elle donne presque la même mesure quel que soit l'outil utilisé. La Grande-Bretagne est loin d'être une ligne. Elle n'est pas non plus un plan. Elle se situe entre les deux, de façon permanente, et aucun relevé plus fin ne la ramènera jamais à quelque chose de plus ordonné.
Richardson a publié les chiffres des frontières en annexe. Seize ans plus tard, Mandelbrot les a lus, et la réponse à la mauvaise question s'est avérée être la définition d'un nouveau type de nombre.