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Dos países midieron la misma frontera y discreparon en 227 kilómetros
Al medir una costa con una regla más corta se obtiene una costa más larga. Si se continúa acortando, el resultado nunca se estabiliza. La pregunta está mal planteada, y lo que la sustituye es una dimensión que no es un número entero.
Un tiempo antes de 1951, Lewis Fry Richardson buscaba algo anodino. Estudiaba qué lleva a los países a entrar en guerra, sospechaba que la longitud de una frontera compartida podía ser relevante y necesitaba las cifras.
Descubrió que España fijaba la frontera hispanoportuguesa en 1.214 km y Portugal en 987 km. La misma frontera. Una diferencia de 227 km —alrededor del 23 %— entre dos gobiernos que describían una sola línea sobre el terreno.
Nadie se había equivocado. Habían utilizado reglas distintas.
Por qué la regla más corta siempre gana
Para medir una línea irregular, se desplaza un segmento de longitud fija a lo largo de ella, extremo sobre extremo, y se cuenta. Cada entrante más estrecho que ese segmento se pasa por alto. Al acortar el segmento, los entrantes que eran invisibles pasan a formar parte del trayecto; el recorrido resulta más largo, y resulta más largo cada vez.
Gran Bretaña es el ejemplo clásico. Medida en pasos de 100 km, su línea de costa asciende a unos 2.800 km. Medida en pasos de 50 km, a unos 3.400 km. Aparecieron seiscientos kilómetros de costa nueva sin que nada se moviera.
En el caso de una curva ordinaria, esto no ocurre. Si se mide un círculo con pasos cada vez más finos, los valores aumentan un poco y luego dejan de aumentar: convergen en la circunferencia, que es lo que significa «la longitud de un círculo». La costa nunca hace eso. Reduzca la regla a la mitad, obtenga de nuevo la misma fracción y continúe tanto como su paciencia y sus mapas se lo permitan.
Véalo suceder allí donde la aritmética es exacta
Las costas reales dejan de colaborar en cierto punto; al final se acaba midiendo alrededor de rocas individuales. Una figura construida no lo hace, y el Fractal Explorer cuenta con una en la que cada paso es exacto.
Seleccione el copo de nieve de Koch y aumente el deslizador de profundidad desde cero. La fila de recuento del panel indica 3 segmentos, luego 12, después 48; en la profundidad 5 indica 3.072, y en la profundidad 7 indica 49.152. La regla que genera eso es el argumento de la regla de medir desprovisto de vaguedad: cada segmento es sustituido por cuatro segmentos de un tercio de su longitud. Cuatro tercios de la longitud, en cada paso, para siempre.
Observe ahora la fila contigua. Mientras el recuento pasa de 3 a 49.152, la lectura de la dimensión no se mueve en absoluto: log 4 / log 3 ≈ 1,262. La longitud diverge y ese número permanece inmóvil, lo cual es precisamente el propósito del concepto.
La pregunta que sí tiene respuesta
«¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?» no tiene respuesta, y no porque la medición sea difícil. La longitud es un hecho referente a la costa y a la regla, y no se puede indicar sin especificar ambas cosas.
Lo que pertenece exclusivamente a la costa es la rapidez con la que aumenta la longitud a medida que se reduce la regla. Represente la longitud medida frente a la longitud de la regla, ambas en ejes logarítmicos, y los puntos se situarán sobre una recta: ese es el gráfico de Richardson, y su pendiente es la propiedad que se buscaba. Ajuste una usted mismo en regresión lineal; la razón por la que una ley de potencias se transforma en una recta mediante logaritmos es la misma por la que funciona aquí.
Para la costa occidental de Gran Bretaña, ese exponente da una dimensión de aproximadamente 1,25. Para la costa de Sudáfrica, de aproximadamente 1,02: una costa tan suave que es casi una línea, y que mide casi lo mismo independientemente de lo que se utilice. Gran Bretaña dista mucho de ser una línea. Tampoco es un plano. Se sitúa entre ambos, de forma permanente, y ninguna medición más detallada la redondeará jamás a algo más ordenado.
Richardson publicó las cifras sobre la frontera como apéndice. Dieciséis años más tarde Mandelbrot las leyó, y la respuesta a la pregunta equivocada resultó ser la definición de un nuevo tipo de número.