Dies ist eine maschinelle Übersetzung, und der englische Text ist das Original. Original lesen
Zwei Länder maßen dieselbe Grenze und wichen um 227 Kilometer voneinander ab
Misst man eine Küste mit einem kürzeren Maßstab, erhält man eine längere Küste. Verkürzt man ihn immer weiter, kommt das Ergebnis nie zur Ruhe. Die Frage ist fehlerhaft, und an ihre Stelle tritt eine Dimension, die keine ganze Zahl ist.
Einige Zeit vor 1951 machte sich Lewis Fry Richardson auf die Suche nach etwas Trockenem. Er untersuchte, was Länder dazu bringt, Kriege zu führen; er vermutete, dass die Länge einer gemeinsamen Grenze eine Rolle spielen könnte, und er benötigte die Zahlen.
Er stellte fest, dass Spanien die spanisch-portugiesische Grenze mit 1.214 km angab und Portugal sie mit 987 km. Dieselbe Grenze. Eine Abweichung von 227 km — etwa 23 % — zwischen zwei Regierungen, die dieselbe Linie auf dem Boden beschreiben.
Niemand hatte einen Fehler gemacht. Sie hatten unterschiedliche Maßstäbe verwendet.
Warum der kürzere Maßstab immer gewinnt
Um eine geschwungene Linie zu messen, geht man eine feste Spanne an ihr entlang, Stück für Stück, und zählt. Jede Bucht, die schmaler als diese Spanne ist, wird übersprungen. Verkürzt man die Spanne, werden zuvor unsichtbare Buchten Teil der Route — der Weg wird länger, und er wird jedes Mal länger.
Großbritannien ist das klassische Beispiel. In 100-km-Schritten gemessen beläuft sich seine Küstenlinie auf rund 2.800 km. In 50-km-Schritten gemessen auf rund 3.400 km. Sechshundert Kilometer neue Küste sind aufgetaucht, und nichts hat sich bewegt.
Bei einer gewöhnlichen Kurve geschieht so etwas nicht. Misst man einen Kreis mit immer feineren Schritten, steigen die Werte ein wenig an und hören dann auf zu steigen: Sie konvergieren gegen den Umfang, was mit „Länge eines Kreises“ gemeint ist. Die Küste tut das nie. Halbiert man den Maßstab, gewinnt man denselben Bruchteil noch einmal hinzu, und man kann so weit weitermachen, wie die eigene Geduld und die Karten es erlauben.
Beobachten Sie es dort, wo die Arithmetik exakt ist
Reale Küsten verweigern irgendwann die Zusammenarbeit — schließlich misst man um einzelne Felsbrocken herum. Eine konstruierte Form tut das nicht, und der Fractal Explorer bietet eine, bei der jeder Schritt exakt ist.
Wählen Sie die Kochsche Schneeflocke und schieben Sie den Tiefenregler von Null nach oben. Die Anzahlzeile der Anzeige zeigt 3 Segmente an, dann 12, dann 48; bei Tiefe 5 zeigt sie 3.072 an und bei Tiefe 7 zeigt sie 49.152 an. Die Regel dahinter ist das Maßstab-Argument ohne die Unschärfe: Jedes Segment wird durch vier Segmente ersetzt, die ein Drittel so lang sind. Vier Drittel der Länge, bei jedem Schritt, für immer.
Beobachten Sie nun die Zeile daneben. Während die Anzahl von 3 auf 49.152 steigt, verändert sich die Dimensionsanzeige überhaupt nicht: log 4 / log 3 ≈ 1,262. Die Länge divergiert und diese Zahl steht still — genau darum geht es.
Die Frage, die eine Antwort hat
„Wie lang ist die Küste Großbritanniens?“ hat keine Antwort, und zwar nicht, weil die Vermessung schwierig wäre. Die Länge ist eine Eigenschaft der Küste und des Maßstabs, und man kann sie nicht angeben, ohne beides zu nennen.
Was der Küste allein gehört, ist die Geschwindigkeit, mit der die Länge wächst, wenn der Maßstab schrumpft. Trägt man die gemessene Länge gegen die Maßstablänge auf, beides auf logarithmischen Achsen, liegen die Punkte auf einer Geraden — das ist Richardsons Diagramm, und seine Steigung ist die Eigenschaft, nach der Sie gesucht haben. Passen Sie selbst eine in linear regression an; der Grund, warum ein Potenzgesetz unter logarithms zu einer Geraden wird, ist derselbe, warum es hier funktioniert.
Für die Westküste Großbritanniens ergibt dieser Exponent eine Dimension von etwa 1,25. Für die Küste Südafrikas etwa 1,02 — eine Küste, die so glatt ist, dass sie beinahe eine Linie ist und fast dasselbe Messergebnis liefert, was auch immer man verwendet. Großbritannien ist nicht annähernd eine Linie. Es ist auch keine Fläche. Es liegt dauerhaft dazwischen, und keine feinere Vermessung wird es jemals auf etwas Glatteres abrunden.
Richardson veröffentlichte die Zahlen zur Grenze als Anhang. Sechzehn Jahre später las Mandelbrot sie, und die Antwort auf die falsche Frage erwies sich als die Definition einer neuen Art von Zahl.