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同じ国境を測定した2つの国、結果は227 km食い違った
より短い尺で海岸線を測ると、より長い海岸線が得られる。尺を短くし続けても、測定値が一つに収束することはない。問いそのものが破綻しており、それに代わって現れるのが、整数ではない次元である。
1951年より少し前、ルイス・フライ・リチャードソンは一見退屈なデータを探していた。彼は国家が戦争に至る要因を研究しており、共有する国境の長さが関係しているのではないかと疑い、その数値を必要としていたのである。
彼が発見したのは、スペインがスペイン・ポルトガル国境を1,214 kmとし、ポルトガルがそれを987 kmとしていることだった。全く同じ国境である。地上の1本の線を記述する2つの政府の間で、227 km——約23%——もの開きが存在していたのである。
誰かがミスをしたわけではない。彼らは異なる尺を使用していただけなのだ。
なぜより短い尺を使うと常に結果が長くなるのか
入り組んだ線を測定するには、一定の幅を保ちながら線に沿って順繰りに倒して進み、その回数を数える。その幅より狭い入り江はすべてまたぎ越される。幅を短くすると、それまで見えなかった入り江が測定ルートの一部となり——歩む道のりは長くなる。しかも、それは毎回必ず長くなるのである。
イギリスはその代表的な例である。100 km単位で測定した場合、その海岸線はおよそ2,800 kmとなる。50 km単位で測定すると、およそ3,400 kmとなる。何も移動していないにもかかわらず、600 kmもの新たな海岸線が出現したのである。
普通の曲線であれば、このようなことは起きない。円をより細かな単位で測定していくと、値は少しずつ増加した後に増加を停止する。すなわち「円の長さ」を意味する円周の値へと収束するのである。しかし海岸線では決してそうはならない。尺を半分にすれば、再び一定の割合だけ長さが増加し、根気と地図の許す限りそれがどこまでも続くのである。
計算が厳密な図形でその現象を確かめる
実際の海岸線はある時点で法則に従わなくなる——最終的には個々の巨岩の周囲を測ることになってしまうからだ。だが、数学的に構成された図形であればそうはならず、Fractal Explorerには、各ステップが厳密に計算される図形が用意されている。
コッホ雪片を選択し、深さのスライダーをゼロから引き上げてみよう。パネルのカウント行には、線分の数が3、12、48と表示され、深さ5では3,072、深さ7では49,152と表示される。この挙動をもたらすルールは、尺による議論から曖昧さを取り除いたものにほかならない。すなわち、すべての線分が、長さが3分の1の4つの線分に置き換えられるのである。各ステップごとに長さは3分の4倍になり、それが永遠に続く。
次に、その隣の行に注目してほしい。カウントが3から49,152へと増えていく間、表示される次元の値はまったく動かない：log 4 / log 3 ≈ 1.262。長さが発散していく一方で、この数値は動かずに留まっている。これこそが、この概念の本質である。
答えが存在する問い
「イギリスの海岸線の長さはどれくらいか？」という問いに答えは存在しない。それは測量が困難だからではない。長さとは、海岸線および尺の両方に関わる事実であり、その両方を提示しなければ報告として成り立たないからである。
海岸線そのものに固有なのは、尺が小さくなるにつれて長さがどれほど急速に増加するかである。測定した長さと尺の長さを両対数軸にプロットすると、測定点は直線上に並ぶ——これがリチャードソン・プロットであり、その傾きこそが求めていた性質である。自らあてはめるには linear regression を使うとよい。べき乗法則が logarithms のもとで直線化する理由は、ここでも同じである。
イギリスの西海岸の場合、その指数から得られる次元はおよそ1.25となる。南アフリカの海岸線ではおよそ1.02である——これはほぼ直線と言えるほど滑らかな海岸線であり、何を使って測定してもほぼ同じ値となる。イギリスの海岸線は直線とはほど遠い。かといって平面でもない。それは両者の間に永久に位置しており、どれほど精密な測量を行っても、よりすっきりした数値に丸められることは決してない。
リチャードソンは国境の数値を付録として発表した。16年後、マンデルブロがそれを目撃し、間違った問いに対する答えが、新しい種類の数の定義へと繋がったのである。