See on masintõlge ja originaalartikkel on inglise keeles. Loe originaali
Kaks riiki mõõtsid sama piiri ja nende tulemused erinesid 227 kilomeetri võrra
Mõõtke rannikut lühema mõõtepulgaga ja saate pikema ranniku. Jätkake selle lühendamist ning vastus ei jäägi püsima. Küsimus ise on vigane ja selle asemele astub mõõde, mis ei ole täisarv.
Mõni aeg enne 1951. aastat otsis Lewis Fry Richardson midagi igavat. Ta uuris, mis paneb riike sõdima, kahtlustas, et ühise piiri pikkus võib rolli mängida, ja tal oli vaja arve.
Ta avastas, et Hispaania andmetel oli Hispaania-Portugali piir 1214 km ja Portugali andmetel 987 km. Üks ja sama piir. Vahe 227 km — umbes 23% — kahe valitsuse vahel, kes kirjeldavad ühte ja sama joont maapinnal.
Keegi polnud eksinud. Nad olid kasutanud erinevaid mõõtepulki.
Miks lühem mõõtepulk alati võidab
Kõverjoonelise joone mõõtmiseks liigutakse mööda seda kindla pikkusega sammuga, ots otsa peale, ja loetakse samme. Iga laht, mis on sellest sammust kitsam, astutakse üle. Lühendage sammu ja varem nähtamatud lahed saavad teekonna osaks — teekond muutub pikemaks ja see muutub pikemaks iga kord.
Suurbritannia on selle standardne näide. 100 km sammudega mõõtes on selle rannikujoon umbes 2800 km. 50 km sammudega mõõtes umbes 3400 km. Kuussada kilomeetrit uut rannikut ilmus juurde, ilma et miski oleks paigast liikunud.
Tavalise kõvera puhul on see tühine nähtus. Mõõtke ringjoont järjest peenemate sammudega ja tulemused kasvavad veidi ning siis lakkavad kasvamast: need koonduvad ümbermõõdule, mis ongi see, mida tähendab "ringjoone pikkus". Rannik ei tee seda kunagi. Poolitage mõõtepulk, võitke uuesti sama osa ja jätkake nii kaugele, kui teie kannatus ja kaardid lubavad.
Vaadake seda juhtumas seal, kus aritmeetika on täpne
Päris rannikud lakkavad mingil hetkel koostööd tegemast — lõpuks mõõdate ümber üksikute rahnude. Konstrueeritud kujund seda ei tee, ja tööriistal Fractal Explorer on üks selline, kus iga samm on täpne.
Valige Kochi lumihelves ja nihutage sügavuse liugurit nullist ülespoole. Paneeli loendusrida näitab 3 lõiku, seejärel 12, siis 48; sügavusel 5 näitab see 3072 ja sügavusel 7 näitab see 49 152. Reegel, mis seda teeb, on mõõtepulga argument ilma ebamäärasuseta: iga lõik asendatakse nelja lõiguga, millest igaüks on kolmandiku pikkune. Neli kolmandikku pikkusest igal sammul, igavesti.
Nüüd jälgige rida selle kõrval. Kui loendur jookseb 3-st kuni 49 152-ni, ei liigu mõõtme näit üldse: log 4 / log 3 ≈ 1,262. Pikkus divergeerub ja see arv seisab paigal, mis ongi kogu asja mõte.
Küsimus, millel on vastus olemas
"Kui pikk on Suurbritannia rannik?" ei oma vastust, ja mitte sellepärast, et mõõdistamine oleks raske. Pikkus on fakt ranniku ja mõõtepulga kohta ning te ei saa seda teatada ilma mõlemaid esitamata.
Ainult rannikule endale kuulub see, kui kiiresti pikkus kasvab mõõtepulga kahanedes. Kandke mõõdetud pikkus mõõtepulga pikkuse suhtes, mõlemad logaritmilistel telgedel, ja punktid langevad sirgele — see on Richardsoni graafik ning selle tõus on omadus, mida te otsisite. Sovitage see ise lehel linear regression; põhjus, miks astmeseadus muutub sirgeks teema logarithms all, on sama põhjus, miks see töötab siin.
Suurbritannia lääneranniku puhul annab see eksponent mõõtmeks umbes 1,25. Lõuna-Aafrika ranniku puhul umbes 1,02 — rannik, mis on nii sile, et see on peaaegu sirge, ja selle mõõtmisel saab peaaegu sama tulemuse, mida tahes te kasutate. Suurbritannia ei ole peaaegu sirge. See ei ole ka tasapind. See asub jäävalt nende vahel ja ükski täpsem mõõdistus ei ümmerda seda kunagi millegi korrapärasemaks.
Richardson avaldas piiriandmed lisana. Kuusteist aastat hiljem luges Mandelbrot neid ning vastus valele küsimusele osutus uut tüüpi arvu definitsiooniks.