Esta é uma tradução automática e o original encontra-se em inglês. Ler o original
Dois países mediram a mesma fronteira e discordaram em 227 quilómetros
Meça-se uma costa com uma régua mais curta e obtém-se uma costa mais longa. Continue-se a encurtá-la e a resposta nunca estabiliza. A pergunta está mal formulada, e o que a substitui é uma dimensão que não é um número inteiro.
Algum tempo antes de 1951, Lewis Fry Richardson foi à procura de algo enfadonho. Estava a estudar o que leva os países a entrarem em guerra, suspeitava que o comprimento de uma fronteira partilhada pudesse ter importância e precisava dos números.
Descobriu que a Espanha registava a fronteira entre Espanha e Portugal em 1 214 km e Portugal registava-a em 987 km. A mesma fronteira. Uma diferença de 227 km — cerca de 23% — entre dois governos a descreverem uma única linha no terreno.
Ninguém tinha cometido um erro. Tinham usado réguas diferentes.
Por que razão a régua mais curta ganha sempre
Para medir uma linha sinuosa, percorre-se um intervalo fixo ao longo dela, ponta a ponta, e conta-se. Cada reentrância mais estreita do que esse intervalo é saltada. Encurtando o intervalo, reentrâncias antes invisíveis passam a fazer parte do percurso — o percurso torna-se mais longo, e torna-se mais longo de todas as vezes.
A Grã-Bretanha é a demonstração clássica. Medida em passos de 100 km, a sua linha de costa ascende a cerca de 2 800 km. Medida em passos de 50 km, a cerca de 3 400 km. Seiscentos quilómetros de nova costa surgiram, e nada se moveu.
Para uma curva comum, isto é irrelevante. Meça-se um círculo com passos cada vez mais pequenos e os resultados sobem um pouco e depois param de subir: convergem para o perímetro, que é o que significa "o comprimento de um círculo". A costa nunca faz isso. Reduza-se a régua para metade, ganha-se de novo a mesma fração, e continua-se até onde a paciência e os mapas o permitirem.
Veja o fenómeno acontecer onde a aritmética é exata
As costas reais deixam de cooperar a dada altura — a certa altura está-se a medir em redor de rochedos individuais. Uma figura construída não o faz, e o Fractal Explorer tem uma onde cada passo é exato.
Escolha o floco de neve de Koch e desloque o cursor de profundidade a partir do zero. A linha de contagem do painel indica 3 segmentos, depois 12, depois 48; na profundidade 5 indica 3 072, e na profundidade 7 indica 49 152. A regra que faz isto é o argumento da régua desprovido de vagueza: cada segmento é substituído por quatro segmentos com um terço do comprimento. Quatro terços do comprimento, a cada passo, para sempre.
Agora observe a linha ao lado. À medida que a contagem passa de 3 para 49 152, o indicador da dimensão não se altera: log 4 / log 3 ≈ 1,262. O comprimento está a divergir e aquele número permanece imóvel, sendo essa a razão de ser de tudo isto.
A pergunta que tem efetivamente resposta
"Qual é o comprimento da costa da Grã-Bretanha?" não tem resposta, e não porque a medição seja difícil. O comprimento é um facto sobre a costa e a régua, e não se pode apresentar um sem apresentar ambas.
O que pertence exclusivamente à costa é a rapidez com que o comprimento aumenta à medida que a régua encurta. Represente-se o comprimento medido em função do comprimento da régua, ambos em eixos logarítmicos, e os pontos alinham-se numa reta — esse é o gráfico de Richardson, e o seu declive é a propriedade que procurava. Ajuste uma reta você mesmo em linear regression; a razão pela qual uma lei de potência se transforma numa reta sob logarithms é a mesma razão pela qual funciona aqui.
Para a costa oeste da Grã-Bretanha, esse expoente dá uma dimensão de cerca de 1,25. Para a costa da África do Sul, cerca de 1,02 — uma costa tão suave que é quase uma linha, e mede quase o mesmo seja qual for a régua usada. A Grã-Bretanha não é quase uma linha. Tampouco é um plano. Encontra-se entre ambos, permanentemente, e nenhum levantamento mais detalhado a arredondará para algo mais simples.
Richardson publicou os dados das fronteiras como um apêndice. Dezasseis anos mais tarde, Mandelbrot leu-os, e a resposta à pergunta errada revelou ser a definição de um novo tipo de número.