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Une primitive sans formule, et une aire valant exactement ln 2
Intégrez (x − 1)/ln x de 0 à 1. Le changement de variable, l'intégration par parties et la décomposition en éléments simples ne mènent à rien, et sa primitive ne peut pas s'écrire sans fonction spéciale. La réponse est ln 2, exactement.
Voici une intégrale avec laquelle les techniques d'un premier cours d'analyse ne mènent à rien :
∫₀¹ (x − 1) / ln x dx
L'intégrande est parfaitement docile. En x = 0,5, il vaut 0,72135, près de x = 1, il monte doucement vers 1, et à l'autre extrémité, il descend vers 0. Il s'agit de la moyenne logarithmique de x et 1, si bien qu'il est compris entre √x et (1 + x)/2, et l'aire se trouve encadrée entre 2/3 et 3/4. La difficulté vient de la primitive. Écrite explicitement, elle exige une fonction spéciale : li(x²) − li(x), où li, le logarithme intégral, est la primitive de 1/ln x et l'une des fonctions dont la théorie de Liouville démontre qu'elles ne peuvent pas être construites à partir de puissances, d'exponentielles, de logarithmes et de fonctions trigonométriques.
L'aire vaut exactement ln 2 = 0,693147, et son calcul ne prend que trois lignes, pourvu que l'on cesse de regarder l'intégrale initiale.
Donner une molette à l'intégrale
Remplacez le x du numérateur par xᵃ et considérez le résultat comme une fonction de a :
I(a) = ∫₀¹ (xᵃ − 1) / ln x dx
L'intégrale recherchée est I(1). Celle que l'on sait calculer instantanément est I(0), car x⁰ − 1 = 0 et donc I(0) = 0. Dérivez maintenant par rapport à a, sous le signe intégral, en traitant x comme une constante. La dérivée de xᵃ par rapport à a est xᵃ ln x, et le ln x qui rendait le problème insoluble se simplifie :
I′(a) = ∫₀¹ xᵃ dx = 1 / (a + 1)
Une intégrale sans primitive exploitable est devenue la toute première que l'on apprend à calculer. Intégrez à nouveau par rapport à a et utilisez I(0) = 0 pour déterminer la constante :
I(a) = ln(a + 1), donc I(1) = ln 2
Vérifiez-le par force brute, en intégrant numériquement pour plusieurs réglages de la molette :
- a = 0,5 : 0,405465, et ln 1,5 = 0,405465
- a = 1 : 0,693147, et ln 2 = 0,693147
- a = 3 : 1,386294, et ln 4 = 1,386294
- a = 9 : 2,302585, et ln 10 = 2,302585
Le logarithme provient de l'intégration de 1/(a + 1) par rapport à la molette.
C'est le même logarithme qui comble la seule faille de la règle des puissances, en n = −1, en arrivant ici par une porte dérobée.
Une boîte à outils différente
Richard Feynman a rendu cette méthode célèbre en l'appliquant aux intégrales des autres. Il l'avait apprise lorsqu'il était lycéen dans Advanced Calculus de Frederick Woods, un livre que son professeur de physique au lycée, M. Bader, lui avait donné, et il en décrit le résultat dans Vous voulez rire, monsieur Feynman ! : des personnes au MIT ou à Princeton lui apportaient une intégrale sur laquelle elles avaient échoué, il essayait de dériver sous le signe intégral, « et souvent cela marchait ». La raison qu'il invoquait tenait à sa boîte à outils, qui était « différente de celle de tous les autres, et ils avaient déjà essayé tous leurs outils dessus avant de me soumettre le problème ».
L'exemple que Woods développe lui-même page 154 est le cas classique. Placez un facteur d'amortissement devant sin x / x :
J(b) = ∫₀^∞ e−bx sin x / x dx
Dériver par rapport à b élimine le fâcheux 1/x, laissant une intégrale de e−bx sin x que deux intégrations par parties successives permettent de résoudre, et le résultat est J(b) = π/2 − arctan b. Pour b = 1, cela donne π/4 = 0,785398, et une intégration numérique concorde sur les six décimales. Laissez b tendre vers zéro et la formule pointe vers l'un des résultats les plus cités de l'analyse, ∫₀^∞ sin x / x dx = π/2. Ce résultat est exact, mais le passage à la limite exige une justification propre, car cette intégrale ne converge que conditionnellement ; Conrad y consacre une annexe entière.
Cette dernière intégrale est ingrate à aborder de front. Sa primitive est une autre fonction spéciale, et sommer l'aire directement ne converge qu'avec une lenteur extrême : jusqu'à x = 100, on obtient 1,56223 ; jusqu'à x = 1 000, on obtient 1,57023, restant encore inférieure de 0,0006 à π/2 = 1,570796.
La condition, et un exemple où elle échoue
Dériver sous le signe intégral n'est pas toujours licite, et la démonstration la plus limpide s'appuie sur l'intégrale même que nous venons de traiter. Dilatez-la : pour tout b supérieur à 0, le changement de variable x = bt montre que
∫₀^∞ sin(bx) / x dx = π/2
quelle que soit la valeur de b. La dérivée d'une constante est nulle. Mais dérivez plutôt sous l'intégrale, et le 1/x se simplifie avec le facteur x produit par la règle de dérivation des fonctions composées, laissant ∫₀^∞ cos(bx) dx. Cette intégrale n'a aucune valeur : sa valeur cumulée est sin(bX)/b, qui oscille sans fin entre −1/b et +1/b. Intégrée jusqu'à X = 1 000 avec b = 1, elle s'établit à 0,8269 ; une demi-unité plus loin, à 0,9953. Elle ne se stabilise jamais, si bien que les deux membres de la « règle » sont zéro et rien du tout.
Le problème vient de l'interversion de deux limites. La règle intervertit dérivation et intégration, et cette interversion peut échouer même sur un intervalle fini ; ici, c'est l'intervalle infini qui la met en échec. L'interversion est garantie licite lorsque l'intégrande dérivé est dominé, partout et pour toute valeur du paramètre dans le voisinage, par une fonction fixe dont l'intégrale est finie. Les notes de Conrad énoncent les conditions et recensent les cas où elles sont en défaut. Dans la version de Woods, dès lors que b reste supérieur à un nombre positif fixé, le facteur e−bx assure précisément cette domination, c'est pourquoi la méthode est légitime dans ce cas et ne l'est pas dans la version dilatée. Le premier exemple réussit lui aussi le test : dériver (xᵃ − 1)/ln x par rapport à a donne xᵃ, qui ne dépasse jamais 1 sur [0, 1] pour a ≥ 0.