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初等的な式で表せない原始関数と、厳密に ln 2 となる面積
(x − 1)/ln x を0から1まで積分することを考えます。置換積分、部分積分、部分分数分解を用いても歯が立たず、その原始関数を特殊関数なしで書き表すことはできません。しかし、その答えは厳密に ln 2 です。
初年級の微積分で学ぶ手法ではまったく歯が立たない積分があります。
∫₀¹ (x − 1) / ln x dx
被積分関数そのものは極めて素直な振る舞いをします。x = 0.5 では 0.72135 であり、x = 1 に近づくにつれて 1 へと緩やかに上昇し、もう一方の端では 0 に向かって沈んでいきます。これは x と 1 の対数平均であるため、√x と (1 + x)/2 の間に位置し、その面積は 2/3 と 3/4 の間に挟まれます。厄介なのは原始関数です。数式で書き下そうとすると、li(x²) − li(x) という特殊関数が必要になります。ここで li（対数積分）は 1/ln x の原始関数であり、冪関数、指数関数、対数関数、三角関数から組み立てることができないとリューヴィルの理論が証明している関数の1つです。
求める面積は厳密に ln 2 = 0.693147 であり、与えられた積分をそのまま眺めるのをやめさえすれば、わずか3行で導出できます。
積分にダイヤルを与える
分子の x を xᵃ に置き換え、その結果を a の関数とおきます。
I(a) = ∫₀¹ (xᵃ − 1) / ln x dx
私たちが求めたい積分は I(1) です。一方、x⁰ − 1 = 0 であるため I(0) = 0 となり、直ちに計算できるのは I(0) です。ここで、x を定数とみなして、積分記号の下で a について微分します。xᵃ の a による微分は xᵃ ln x となり、問題を絶望的にしていた ln x が約分されて消えます。
I′(a) = ∫₀¹ xᵃ dx = 1 / (a + 1)
実用的な原始関数が存在しなかった積分が、誰もが最初に学ぶ基本的な積分へと変わりました。これを a について積分し直し、I(0) = 0 を用いて積分定数を決定します。
I(a) = ln(a + 1), so I(1) = ln 2
ダイヤルの設定をいくつか変えて数値積分を行い、力づくで確かめてみます。
- a = 0.5: 0.405465、ln 1.5 = 0.405465
- a = 1: 0.693147、ln 2 = 0.693147
- a = 3: 1.386294、ln 4 = 1.386294
- a = 9: 2.302585、ln 10 = 2.302585
自然対数は、1/(a + 1) をダイヤルに関して積分することによって現れます。
これは、裏口から回り込んできて冪乗の公式で唯一の欠落となっている n = −1 を埋める、あの対数と同じものです。
別の道具箱
リチャード・ファインマンは、他人が解けなかった積分にこの手法を使って次々と解いてみせることで、それを有名にしました。彼がこの手法を学んだのは学生時代、高校の物理教師であるベーダー先生から譲り受けたフレデリック・ウッズの『Advanced Calculus』からでした。ファインマンはその結果について『ご冗談でしょう、ファインマンさん』の中で次のように記しています。MITやプリンストン大学の人々が解けずに諦めた積分を持ってくると、彼は積分記号下の微分を試み、「そしてしばしばうまくいった」と。彼が語った理由は、自分の道具箱が「他の誰のものとも違っており、彼らは私に問題を持ってくる前に、自分たちの道具をすべて試していたからだ」ということでした。
ウッズ自身が154ページで扱っている例は、まさに古典的なものです。sin x / x の前に減衰因子を置きます。
J(b) = ∫₀^∞ e−bx sin x / x dx
b について微分すると扱いにくかった 1/x が消え、e−bx sin x の積分が残ります。これは2回の部分積分で解決でき、結果は J(b) = π/2 − arctan b となります。b = 1 のときこれは π/4 = 0.785398 であり、数値積分は6桁すべてにおいて一致します。b を0へと近づけていくと、この式は解析学で最もよく引用される結果の1つである ∫₀^∞ sin x / x dx = π/2 を指し示します。その結果自体は正しいものの、この積分は条件収束しかしないため、極限をとるには独自の論証が必要です。コンラッドはこの点に付録を丸ごと1つ割いています。
この最後の積分に正面から取り組むのは極めて困難です。その原始関数は別の特殊関数であり、面積を直接足し合わせても収束は遅々として進みません。x = 100 まで計算しても 1.56223 であり、x = 1,000 までいっても 1.57023 で、π/2 = 1.570796 にはまだ 0.0006 足りません。
条件と、それが破綻する例
積分記号下の微分は常に許されるわけではありません。そして、その最も明快な実例となるのが、私たちが計算を終えたばかりのまさにその積分です。それを引き伸ばしてみます。0 より大きい任意の b に対して、x = bt と置換すると次のようになります。
∫₀^∞ sin(bx) / x dx = π/2
b が何であってもこの値です。定数の微分はゼロです。しかし、代わりに積分の内側で微分すると、合成関数の微分によって降りてくる x と 1/x が相殺され、∫₀^∞ cos(bx) dx が残ります。この積分には値がまったく存在しません。その累積値は sin(bX)/b であり、−1/b と +1/b の間を永遠に振動します。b = 1 として X = 1,000 まで積分すると 0.8269 となり、さらに0.5単位先では 0.9953 となります。値は決して落ち着かないため、「公式」の両辺はゼロと無意味なものになってしまいます。
何が間違っていたのかといえば、2つの極限の順序です。この規則は微分と積分の順序を入れ替えるものであり、その交換は有限区間上であっても失敗することがあります。ここでは無限区間であることが破綻の原因となりました。この入れ替えが安全であると保証されるのは、微分された被積分関数が、至る所で、かつ近傍のすべてのパラメータ値に対して、積分値が有限である1つの固定された関数によって抑え込まれている場合です。コンラッドのノートにはその条件が明記され、それが破綻する事例が集められています。ウッズの版では、b をある固定された正の数より大きく保つ限り、因子 e−bx がまさにその抑え込みの役割を果たすため、引き伸ばした版とは異なり、そこでの手法は正当化されます。最初の例も条件を満たしています。(xᵃ − 1)/ln x を a について微分すると xᵃ が得られますが、a ≥ 0 に対して [0, 1] 上でこれが 1 を超えることは決してありません。