数値積分ラボ

数値積分は単に一つの推定値を得るだけでなく、誤差の振る舞いを理解することでもあります。左和と右和は端点による偏りを持ち、中点法と台形法は滑らかな関数では通常2次収束で改善し、シンプソン法はしばしばさらに速く改善します。nを2倍にしても推定値がほとんど変わらない場合、その近似はおそらく安定した領域にあります。

数値積分は、曲線の下の領域を細い短冊に分割し、それぞれを長方形・台形・小さな放物線といった単純な図形で埋めて、その面積を足し合わせます。コツは、狭い短冊の中では激しく波打つ曲線でもほぼ直線に見えるため、粗い図形でも驚くほどよく合うことです。シアンの塗りつぶしを見てください。短冊を細くするほど図形の選び方は重要でなくなります。見逃すべき曲線がほとんど残らないからです。

このツールがシンプソン法に使う区間公式 S = (Δx/6)(f(x_L) + 4f(x_M) + f(x_R)) は、ヨハネス・ケプラーが1615年にワイン樽の体積を求めるために発表した公式——「ケプラーの樽公式」——とまったく同じで、トーマス・シンプソンが1743年に書き記すより一世紀以上も前のものです。手法の名前が真の発明者より長生きする典型例です。樽の膨らんだ側面には簡単な面積の公式がないため、ケプラーはこれを必要としました。