オイラー法ビジュアライザー

オイラー法は、初期値が与えられた常微分方程式を解くための一階の数値的手続きです。接線を用いて次のステップに進みます（y_{n+1} = y_n + h * f(x_n, y_n)）。単純ですが、局所的および大局的な打ち切り誤差を累積します。ステップサイズhが大きすぎると、特に安定性境界が狭い「硬い」方程式では急速に発散します。

オイラー法は最も素直な近似です。今いる点から、方程式が示す曲線の向きへ短い距離 h だけ進み、そこで改めて向きを取り直します。厳密な曲線は曲がり続けますが、直線の一歩はその曲がりを無視するためずれていきます。実用的な要点は、この方法が1次であるため、h を半分にすると最終誤差もおよそ半分になることです。これはこのツールで確かめられる手軽な収束チェックになります。

方程式 y' = y に初期値 y = 1 でオイラー法を適用すると、各ステップは単に (1 + h) を掛けるだけになります。区間 [0, 1] を刻み幅 h = 1/N で N 歩進むと、結果はちょうど (1 + 1/N)^N — まさに複利の式になります。N を大きくするとこれは e ≈ 2.71828 に収束し、オイラー法の粗い直線的なステップが、連続複利と指数関数の定義を静かに再現しているのです。