原始関数

積分の世界にも、微分と同じようにべき乗の公式があります。そしてどの公式集にも、一つの例外が記されています。n = −1 の場合です。n を動かしてその例外を通り抜け、グラフがどう変化するか見てみましょう。それから公式を一つずつ適用して積分を解き、自分でも挑戦してみてください。原始関数を入力すると、このページがそれを微分し、元の関数と比較します。

べき乗の公式	$\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C, n \neq = - 1$
例外となる n = −1	$\int \frac{d x}{x} = ln ∣ x ∣ + C$

計算例 — 原始関数

二つの形の間の定数	100.00
ln x との差を n + 1 で割った値	0.9654

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

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レッスン

理論 — 原始関数

ある区間における f の原始関数とは、その区間のすべての x で F′(x) = f(x) となる関数 F のことです。F がその一つであれば、任意の定数 C について F + C もそうであり、一つの区間においてはそれですべてです。1/x における x ≠ 0 のように、定義域が二つの部分に分かれている場合、それぞれの部分が独立した定数を持ちます。不定積分 ∫f(x) dx は、その族全体を指す名前です。

各記号の意味

F_n: (1, 0) を通る xⁿ の原始関数。(xⁿ⁺¹ − 1)/(n + 1)、つまり ∫₁^x tⁿ dt であり、n = −1 では ln x になります
C: 積分定数。その導関数は 0 なので、どのような値でも原始関数になります

公式の導き方

なぜ 1/(n + 1) を取り除くのか。F_n(x) = ∫₁^x tⁿ dt は、1 から x までの tⁿ の下の面積です。n が少し変化すればそれぞれの高さ tⁿ も少し変化するため、面積も少し変化します。したがって、n が −1 を通過するときに F_n が飛ぶことはありません。n = −1 においては 1 から x までの 1/t の下の面積、つまり ln x にならなければなりません。教科書の形は F_n + 1/(n + 1) であり、無限に発散するのはこの定数部分なのです。
$F_{n} (x) = \int_{1}^{x} t^{n} d t = \frac{x ^{n + 1} - 1}{n + 1} = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} - \to \pm \infty \frac{1}{n + 1}$
極限の計算。h = n + 1 と置き、xʰ を h の級数として展開します。ln x との差はおよそ h(ln x)²/2 で、x = 4 では 0.9609h となります。表の最後の列が近づいているのは、この値です。
$x^{h} = e^{h l n x} = 1 + h ln x + \frac{h ^{2} ( ln x ) ^{2}}{2} + \dots \Rightarrow F_{n} (x) = \frac{x ^{h} - 1}{h} = ln x + \frac{h ( ln x ) ^{2}}{2} + \dots$

前提: 判定は数値計算で行われます。このページでは、あなたが使うのと同じ公式で F を正確に微分し、区間内に散りばめられた 120 個の点（すべて整数ではない点）において F′ と f を比較します。相対誤差が 10⁻⁶ までであれば許容されます。係数の抜けや符号の間違いがあれば、誤差は 1 のオーダーになります。f が定義されているのにあなたの F が定義されていない場合、不正解になります。f が区間全体で連続している場合、ページは隣接する点の間で f を数値積分し、あなたの F の変化量とも比較します。これによって、部分ごとには合っていても値が飛んでしまう答えを検出します。

全プロセスの詳細解説

積分の前にまず展開 3 ステップ
∫(x² + 1)² dx を求めよ。

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1. 括弧のまま使えるべき乗の公式はありません。まずは展開して、すべての項を x のべき乗で表します：
  
  $(x^{2} + 1)^{2} = x^{4} + 2 x^{2} + 1$
2. 項ごとに積分します。指数に 1 を足し、その新しい指数で割りましょう：
  
  $\int (x^{4} + 2 x^{2} + 1) d x = \frac{x ^{5}}{5} + 2 \cdot \frac{x ^{3}}{3} + x + C$
3. 微分して確かめます：
  
  $\frac{d}{d x} (\frac{x ^{5}}{5} + \frac{2 x ^{3}}{3} + x) = x^{4} + 2 x^{2} + 1$
解答

x⁵/5 + 2x³/3 + x + C. 展開せずに括弧のまま (x² + 1)³/3 としてしまうのが、実によくある落とし穴です。これを微分すると 2x(x² + 1)² になります。括弧の内側から出てくるこの 2x を、べき乗の公式は考慮してくれません。ツールでこの問題を開き、その式を入力してみてください。二つの曲線が離れていく様子がよくわかります。

$\int (x^{2} + 1)^{2} d x = \frac{x ^{5}}{5} + \frac{2 x ^{3}}{3} + x + C$
積分の前にまず割り算 3 ステップ
x > 0 のとき、∫(x³ − 2√x + 5)/x dx を求めよ。

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1. 各項を x で割り、べき乗の形で表します：
  
  $\frac{x ^{3} - 2 x + 5}{x} = x^{2} - 2 x^{- 1/2} + 5 x^{- 1}$
2. 最初の二項はべき乗の公式通りです：
  
  $\int x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3}, - 2 \int x^{- 1/2} d x = - 2 \cdot \frac{x ^{1/2}}{1/2} = - 4 x$
3. 三つ目は x⁻¹。この公式で割ることができない、唯一の指数です：
  
  $5 \int x^{- 1} d x = 5 ln ∣ x ∣ = 5 ln x (x > 0)$
解答

x³/3 − 4√x + 5 ln x + C. ln|x| の絶対値記号は外してかまいません。問題で x > 0 と指定されていますし、そもそも √x を扱う上でもいずれにせよ必要な条件だからです。

$\int \frac{x ^{3} - 2 x + 5}{x} d x = \frac{x ^{3}}{3} - 4 x + 5 ln x + C$
積分表の三行 2 ステップ
∫(2 cos x − 3 sin x + 4/(1 + x²)) dx を求めよ。

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1. どの項も積分表に載っています：
  
  $\int cos x d x = sin x, \int sin x d x = - cos x, \int \frac{d x}{1 + x ^{2}} = arctan x$
2. 定数はそのまま残し、各関数をそれぞれの原始関数に置き換えます：
  
  $2 sin x - 3 (- cos x) + 4 arctan x$
解答

2 sin x + 3 cos x + 4 arctan x + C. 間違えやすいのは真ん中の項です。sin x の原始関数は −cos x なので、−3 sin x を積分すると +3 cos x になります。マイナスが出てくるのは cos x を微分したときで、その結果が −sin x だからです。

$\int (2 cos x - 3 sin x + \frac{4}{1 + x ^{2}}) d x = 2 sin x + 3 cos x + 4 arctan x + C$
条件が定数を決める 2 ステップ
f′(x) = 6x² − 4x + 1、f(1) = 5 のとき、関数 f を求めよ。

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1. まずは積分し、C を残しておきます：
  
  $f (x) = \int (6 x^{2} - 4 x + 1) d x = 2 x^{3} - 2 x^{2} + x + C$
2. 続いて x = 1 を代入し、C を求めます：
  
  $f (1) = 2 - 2 + 1 + C = 1 + C = 5 \Rightarrow C = 4$
解答

f(x) = 2x³ − 2x² + x + 4。 ツールは導関数だけでなく、条件も同時に検証しています。C を 0 のままにしておくと、F′ = f は満たせても、F(1) が 5 ではなく 1 だと指摘され、定数を 4 変えるよう促されます。

$f (x) = 2 x^{3} - 2 x^{2} + x + 4$
二度の積分、二つの定数 2 ステップ
f″(x) = 12x − 6、f′(0) = 2、f(0) = −1 のとき、関数 f を求めよ。

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1. 一度積分して f′ を求め、f′ の条件から定数を定めます：
  
  $f^{'} (x) = \int (12 x - 6) d x = 6 x^{2} - 6 x + C_{1}, f^{'} (0) = C_{1} = 2$
2. もう一度積分して、f の条件を使います：
  
  $f (x) = \int (6 x^{2} - 6 x + 2) d x = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + C_{2}, f (0) = C_{2} = - 1$
解答

f(x) = 2x³ − 3x² + 2x − 1。 積分するたびに定数がひとつ現れ、それぞれの条件が定数をひとつずつ決めていきます。ツールは二度目の積分の画面から始まり、被積分関数に f′、条件に f(0) = −1 が設定されています。

$f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1$
負の領域における ln|x| 2 ステップ
x < 0 において f′(x) = 2/x、f(−1) = 3 のとき、関数 f を求めよ。

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1. x が負のとき ln x は定義されませんが、ln(−x) は値を持ち、その導関数は 1/x です：
  
  $x < 0 : \frac{d}{d x} ln (- x) = \frac{- 1}{- x} = \frac{1}{x}$
2. したがって f(x) = 2 ln|x| + C となり、条件から C が決まります：
  
  $f (x) = 2 ln ∣ x ∣ + C, f (- 1) = 2 ln 1 + C = C = 3$
解答

x < 0 において f(x) = 2 ln|x| + 3。 条件は正の x について何も定めていません。1/x は 0 で定義されないため、x > 0 で 2 ln x + 7 となる関数であっても、まったく同様に問題の解となります。

$f (x) = 2 ln ∣ x ∣ + 3 (x < 0)$
平方根キーを使って ln 4 を求める 4 ステップ
電卓には平方根キーがありますが、ln キーはありません。このページで解説した極限を使って、ln 4 を小数第4位まで求めてください。まず n = −0.99 を押します。(1, 0) を通る曲線は x = 4 で 1.3959 となり、ln 4 = 1.3863 よりもまだかなり大きな値です。

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1. 平方根キーを十回押すと、4 は 4 の 1/1024 乗になります。つまり、h = n + 1 = 1/1024 です：
  
  $4^{1/1024} = 1.001354720, h = n + 1 = \frac{1}{1024}$
2. その h における (1, 0) を通る曲線です。ページの式で一回の引き算と一回の掛け算を行います：
  
  $F (h) = \frac{4 ^{h} - 1}{h} = 1.3872332$
3. ln 4 との差は約 h(ln 4)²/2、つまり表の最後の列に h を掛けた値です。これでは小数第4位まで求めるには大きすぎます：
  
  $\frac{h ( ln 4 ) ^{2}}{2} = \frac{0 . 9609}{1024} = 0.000938$
4. さらにもう一回平方根をとると h が半分になり、それに伴って差も半分になります。新しい値を二倍して古い値を引くと、誤差の主要な項が打ち消されます：
  
  $2 F (\frac{h}{2}) - F (h) = 2 \times 1.3867637 - 1.3872332 = 1.386294$
解答

ln 4 ≈ 1.3863。2F(h/2) − F(h) という組み合わせにより、h に比例する誤差が取り除かれ、h² に比例する誤差が残ります。ここでは約 2×10⁻⁷ です。このページでは n を 0.01 刻みで動かすため、h = 1/2048 はスライダーで表示できる範囲をはるかに超えています。

$ln 4 \approx 1.3863$

ln x はべき乗の公式自身の極限 🖖

n = −0.99 を押してください。教科書にある xⁿ の原始関数は xⁿ⁺¹/(n + 1) です。これは n = −1 でゼロ除算になるため、積分表には独立した公式として ∫x⁻¹ dx = ln|x| が載っています。破線のゴーストは、そこへ向かう途中でこの数式がどう振る舞うかを示しています。x = 4 では 101.40 となり、n が近づくにつれて限りなく大きくなります。その増加分はすべて定数部分にあります。1/(n + 1)、つまりここでは 100.00 を引くと、(1, 0) を通る原始関数が得られます。これが実線の曲線であり、ln 4 = 1.3863 に対して 1.3959 となっています。n を −2 から 0 まで動かすを押して、n が −1 を通り過ぎるのを観察してください。ゴーストはグラフの外に消えますが、実線の曲線が飛ぶことはなく、n = −1 で ln x になります。飛ぶはずがありません。なぜなら、これは 1 から x までの tⁿ の下の面積だからです。n が少し変化しても、それぞれの高さ tⁿ は少ししか変化しません。グレゴワール・ド・サン＝ヴァンサンは、1647 年の著書 Opus geometricum の中で、別のアプローチから同じ事実にたどり着きました。a から b までの双曲線の面積は、b/a だけに依存するという事実です。彼の弟子であるアルフォンス・アントニオ・デ・サラサは、これによってその面積が対数になることを見抜きました。

ln x が 1/x の答えになるのは直線の半分だけ 🖖

1/x に対する ln x を押してください。練習問題は −4 ≤ x ≤ 4 における 1/x の原始関数を求めており、ここでは ln x と入力されています。ln x が存在する範囲では常にその導関数が 1/x になるため、正解のように見えます。しかし判定では弾かれます。1/x が −0.364 となる x = −2.75 において、ln x は値を持たないからです。両側で成り立つのは ln|x| です。ln(−x) を微分すると −1/(−x) = 1/x になるからです。それを入力すると、上のパネルには二つの枝が描かれ、それぞれ異なる量だけ移動した灰色のコピーも表示されます。これらも正解になります。ln|x| + 3sgn(x) と入力してみてください。これは 0 の右側で ln|x| + 3、左側で ln|x| − 3 となり、正解と判定されます。パネルには、ln|x| との差が 3 と −3 の二つの平らな線として描かれます。1/x は 0 で未定義であるため、左側の定数と右側の定数を結びつけるものは何もありません。公式集では ln|x| + C と一つの C で書かれていますが、定義域全体で見ると、一般の原始関数は左右それぞれに定数を持ちます。x³ のように被積分関数が区間全体で連続している場合、その導関数が至る所で一致していたとしても、値が飛ぶような答えは不正解になります。

全く似ていない二つの答えがどちらも正解になることがある 🖖

一つの答えの二つの形 を押してください。被積分関数は (x + 1)² です。指数を増やして割ると (x + 1)³/3 になり、先に展開すると x³/3 + x² + x になります。並べてみると一方が正解でもう一方が間違いのように見えますが、練習問題はどちらも受け入れます。あなたの F からこちらの式 F₀ を引いた値 の行を見るとその理由がわかります。(x + 1)³/3 を展開すると x³/3 + x² + x + 1/3 になるため、すべての点で −1/3 となるのです。よりはっきりとした例として、2 sin x cos x を押してみてください。sin²x と −cos²x、そして −cos(2x)/2 には共通する項が一つも見当たりませんが、すべて正解であり、それぞれ 1 や ½ ずつ離れています。つまり、判定処理では、入力された答えとページが用意した式を比較しているわけではありません。入力された式を微分しているのです。微分は一つの結果を導く手順だからです。そして、その結果を被積分関数と比較します。原始関数を求めることは探索であり、二つの正しい探索が異なる定数に行き着くこともあるのです。

学習の道すじ

積分法

参考文献 (2)

The definition the page checks against (“F is an antiderivative of f if F′(x) = f(x) for all x in the domain of f”), the power rule with its exception (Theorem 4.15: for n ≠ −1, ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C), and the derivation of d/dx ln|x| = 1/x from ln(−x) on x < 0: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 4.10, “Antiderivatives”.
Grégoire de Saint-Vincent's Opus geometricum (Antwerp, 1647) showed that the area under a rectangular hyperbola over [a, b] equals the area over [c, d] when a/b = c/d, and his pupil Alphonse Antonio de Sarasa made the connection with logarithms: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Grégoire de Saint-Vincent”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated November 2010).

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。