傾き場と常微分方程式ソルバー
1階微分方程式を、小さな接線の場として読み取ろう。プロットをクリックして初期条件を追加すると、対応する解曲線が描かれます。
インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...
微分方向傾き場の幾何学的可視化 🖖
方向フィールド（傾き場）は、格子点上に傾き f(x,y) を持つ短い線分を描くことで、一階常微分方程式 dy/dx = f(x,y) を表します。これにより、方程式を解析的に解くことなく、潜在的な解曲線の流れを幾何学的に可視化できます。dy/dx = 0となる平衡解、安定・不安定なノード、および変曲点を示します。
解かずに矢印をたどる 🖖
傾き場は無数の小さな道しるべだと考えてください。各点で、解が次にどちらへ進むべきかを示しています。解曲線はこの向きにただ従うだけで、流れに漂う一枚の葉のようです。各点の向きはただ一つなので、出発点（初期条件）を選ぶと一本の曲線が定まります。どこかをクリックすれば、ツールがその唯一の経路を描きます。
RK4は密かにシンプソンの公式になる 🖖
このツールが使うRK4法は、各ステップで傾きを4回評価し、重み 1:2:2:1 で混ぜ合わせます。方程式が右辺に y を含まない dy/dx = f(x) の形なら、この混合は積分のシンプソンの公式とちょうど一致します：h/6·(f₀ + 4f_m + f₁)。つまり常微分方程式を数値的に解くことと定積分を計算することが、この場合は同じ計算になるのです。