置換積分

合成関数の微分法則を逆向きにたどるのが、積分のひとつの方法です。つまり、g(u(x))·u′(x) という形の被積分関数は G(u(x)) の導関数になります。下の図では、こうした関数の作る面積を細かく切り分け、それぞれの短冊を u 軸へと移動させています。u 軸上では異なる区間を覆うことになりますが、面積はまったく同じです。まずは一つの置換計算を手順に沿って確認し、その後ご自身で挑戦してみてください。

不定積分	$\int g (u (x)) u^{'} (x) d x G^{'} = G (u (x)) + C, = g$
定積分：積分区間も u に合わせて変わる	$\int_{a}^{b} g (u (x)) u^{'} (x) d x = \int_{u (a)}^{u (b)} g (u) d u$

計算例 — 置換積分

x での面積（シンプソンの公式）	−0.7568
x の区間を使った間違い	0.9093
u で正の向きに進む短冊	−0.7568
u で逆向きに進む短冊	0.0000

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レッスン

理論 — 置換積分

置換積分 は合成関数の微分法則を逆向きにたどったものです。被積分関数が g(u(x))·u′(x) という形をしており、G が g の原始関数であるとき、G(u(x)) は被積分関数の原始関数となります。微分すると G′(u(x))·u′(x) になるからです。定積分の場合は、変数とともに積分区間も移動します。∫_a^b g(u(x)) u′(x) dx = ∫_u(a)^u(b) g(u) du となるのです。

各記号の意味

u: 内側の関数。これが新しい変数となります
du: u′(x) dx のこと。定数倍の違いを除き、あらかじめ被積分関数に含まれていなければならない要素です

公式の導き方

なぜ短冊が一致するのか。 ひとつの短冊 [x_i, x_i+1] において、g(u(x))·u′(x) が作る面積は G(u(x_i+1)) − G(u(x_i)) になります。G(u(x)) が原始関数だからです。そしてこれは、u(x_i) と u(x_i+1) の大小関係がどうであれ、g をその二点間で積分した面積とも等しくなります。すべての短冊を足し合わせると中間の項がペアになって消え、G(u(b)) − G(u(a)) だけが残ります。
$\int_{x_{i}}^{x_{i + 1}} g (u (x)) u^{'} (x) d x = G (u (x_{i + 1})) - G (u (x_{i})) = \int_{u (x_{i})}^{u (x_{i + 1})} g (u) d u, i \sum \Rightarrow G (u (b)) - G (u (a))$

前提: x 側の面積は数値計算によって求められています。基本はシンプソンの公式ですが、曲線が急に曲がる場所ではさらに細かく計算されます。一方、u 側の面積は G から直接計算されます。したがって、二つの値が一致するのは単なる式の言い換えではなく、独立した答え合わせとして機能しています。スライダーで設定可能なすべての範囲において、二つの値は小数第4位まで一致します。

全プロセスの詳細解説

中身が一次式 3 ステップ
∫(3x − 2)⁵ dx を求めましょう。

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1. 中身は一次式です。これを u と置くと、その微分は定数の 3 ですから、dx は du/3 になります:
  
  $u = 3 x - 2, d u = 3 d x, d x = \frac{d u}{3}$
2. u の累乗を積分します:
  
  $\int u^{5} \frac{d u}{3} = \frac{u ^{6}}{18}$
3. 元の x に戻します:
  
  $\frac{( 3 x - 2 ) ^{6}}{18} + C$
解答

(3x − 2)⁶/18 + C。3 を忘れると (3x − 2)⁶/6 になってしまいます。ツールでこの問題を開いて入力してみると、導関数が被積分関数の 3 倍になっていると判定されます。

$\int (3 x - 2)^{5} d x = \frac{( 3 x - 2 ) ^{6}}{18} + C$
導関数がすでにある 3 ステップ
∫x(x² + 1)⁴ dx を求めましょう。

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1. 括弧の横にある x は、中身の導関数 2x の半分です:
  
  $u = x^{2} + 1, d u = 2 x d x, x d x = \frac{d u}{2}$
2. これで積分全体が u の累乗になります:
  
  $\int u^{4} \frac{d u}{2} = \frac{u ^{5}}{10}$
3. 元の x に戻します:
  
  $\frac{( x ^{2} + 1 ) ^{5}}{10} + C$
解答

(x² + 1)⁵/10 + C。この x があるからこそ、うまくいくのです。もし x がなければ、∫(x² + 1)⁴ dx では利用できる du がないため、括弧を展開して解くことになります。

$\int x (x^{2} + 1)^{4} d x = \frac{( x ^{2} + 1 ) ^{5}}{10} + C$
分子が分母の導関数 3 ステップ
∫(2x + 1)/(x² + x + 3) dx を求めましょう。

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1. 分子はまさに分母の導関数です:
  
  $u = x^{2} + x + 3, d u = (2 x + 1) d x$
2. したがって、積分は ∫du/u になります:
  
  $\int \frac{d u}{u} = ln ∣ u ∣$
3. 分母は決して負にならないので、絶対値記号は外せます:
  
  $x^{2} + x + 3 = (x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{11}{4} > 0 \Rightarrow ln (x^{2} + x + 3) + C$
解答

ln(x² + x + 3) + C。分数の積分では、常にこの形を探しましょう。∫f′/f dx = ln|f| + C です。もし分子が x + ½ だったなら、答えはこの半分になります。

$\int \frac{2 x + 1}{x ^{2} + x + 3} d x = ln (x^{2} + x + 3) + C$
∫tan x 3 ステップ
∫tan x dx を求めましょう。

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1. tan x を分数で表してみましょう。符号の違いを除けば、分子は分母の導関数になっています:
  
  $tan x = \frac{sin x}{cos x}, u = cos x, d u = - sin x d x$
2. したがって、積分は −∫du/u になります:
  
  $\int \frac{sin x}{cos x} d x = - \int \frac{d u}{u} = - ln ∣ u ∣$
3. 元の x に戻します。−ln a = ln(1/a) ですから、二つの形はどちらも同じひとつの答えです:
  
  $- ln ∣ cos x ∣ + C = ln ∣ sec x ∣ + C$
解答

−ln|cos x| + C、ln|sec x| + C とも書きます。マイナスの符号は、特によく忘れやすいところです。ln|cos x| を微分すると −tan x になるため、ツールでも符号の誤りと判定されます。

$\int tan x d x = - ln ∣ cos x ∣ + C$
u = ln x 3 ステップ
x > 0 において、∫(ln x)²/x dx を求めましょう。

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1. 1/x は ln x の導関数ですから、これがそのまま du にあたります：
  
  $u = ln x, d u = \frac{d x}{x}$
2. 残るのは u のべき乗だけです：
  
  $\int u^{2} d u = \frac{u ^{3}}{3}$
3. 変数を x に戻します：
  
  $\frac{( ln x ) ^{3}}{3} + C$
解答

(ln x)³/3 + C. g(ln x)/x の形をした被積分関数なら、すべて同じ手筋で解けます。

$\int \frac{( ln x ) ^{2}}{x} d x = \frac{( ln x ) ^{3}}{3} + C$
x を u で表すとき 4 ステップ
∫x√(x + 1) dx を求めましょう。

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1. u = x + 1 とおくと du = dx です。前にある x は du に含まれないため、u の式に書き換えます：
  
  $u = x + 1, d u = d x, x = u - 1$
2. 展開して、すべての項を u のべき乗にします：
  
  $\int (u - 1) u d u = \int (u^{3/2} - u^{1/2}) d u$
3. 項ごとに積分します：
  
  $= \frac{2}{5} u^{5/2} - \frac{2}{3} u^{3/2}$
4. 変数を x に戻します：
  
  $\frac{2}{5} (x + 1)^{5/2} - \frac{2}{3} (x + 1)^{3/2} + C$
解答

(2/5)(x + 1)^5/2 − (2/3)(x + 1)^3/2 + C. x と √(x + 1) を別々に積分して掛け合わせてしまうのが、よくある落とし穴です。積の積分は、積分の積ではありません。

$\int x x + 1 d x = \frac{2}{5} (x + 1)^{5/2} - \frac{2}{3} (x + 1)^{3/2} + C$
変数に合わせて積分区間を移す 3 ステップ
定積分 ∫₀¹ 2x(x² + 1)³ dx を求めましょう。
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1. u = x² + 1 とおくと、2x の部分がそのまま du になります：
  
  $u = x^{2} + 1, d u = 2 x d x$
2. 変数に合わせて積分区間を移します：
  
  $x = 0 \Rightarrow u = 1, x = 1 \Rightarrow u = 2$
3. 新しい区間で積分します：
  
  $\int_{1}^{2} u^{3} d u = [\frac{u ^{4}}{4}]_{1}^{2} = \frac{16 - 1}{4} = \frac{15}{4}$
解答

15/4 = 3.75. 元の区間 0 から 1 のままだと 1/4 になってしまいます。先に変数を x に戻してから元の区間を使う手もありますが、u の式に元の区間をあてはめてしまうのが典型的な誤りです。

$\int_{0}^{1} 2 x (x^{2} + 1)^{3} d x = \frac{15}{4} = 3.75$
面積が 5 になるのはどこまで進んだときか？ 4 ステップ
曲線 x/(1 + x²) は、x が大きくなるにつれて 0 に近づいていきます。0 から b までの面積が 5 に達するには、b は 0 からどれだけ離れている必要があるでしょうか。また、そのときの曲線の高さはいくらですか。 緩やかな対数 を押してください。0 から 3 までの面積は 1.1513 です。

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1. u = 1 + x² と置くと du = 2x dx になります。つまり x dx = du/2 なので、面積は対数関数の半分になります。
  
  $u = 1 + x^{2}, d u = 2 x d x : \int_{0}^{b} \frac{x}{1 + x ^{2}} d x = \frac{1}{2} \int_{1}^{1 + b^{2}} \frac{d u}{u} = \frac{1}{2} ln (1 + b^{2})$
2. b = 3 のとき、この値は ½ ln 10 となり、画面上の数値と一致します。これを 5 と等しくしてみましょう。
  
  $\frac{1}{2} ln (1 + b^{2}) = 5 \Rightarrow b = e^{10} - 1 = 148.41$
3. その地点での曲線の高さはわずか
  
  $f (148.41) = \frac{148 . 41}{1 + 148 . 4 1 ^{2}} = 0.0067$
4. 面積を倍の 10 にするにはこれだけ必要です：
  
  $\frac{1}{2} ln (1 + b^{2}) = 10 \Rightarrow b = e^{20} - 1 = 22, 026.47$
解答

b ≈ 148.4 であり、曲線の高さは 0.0067 です。 面積の増加が止まることはありませんが、b が大きいときには ln b のように増えていきます。そのため、面積が 1 増えるごとに b はおよそ e ≈ 2.72 倍になります。画面上のスライダーは b = 5 で止まるようになっています。

$b \approx 148.4, f (b) \approx 0.0067$

足りない定数では割れるが、足りない x では決して割れない 🖖

足りない −2 を押してください。被積分関数は x·e^−x² で、入力されたのは e^−x² です。合成関数の微分により、その導関数は e^−x²·(−2x) となり、すべての点で被積分関数の −2 倍になります。判定欄にもまさにその通りに表示されています。u = −x² と置くと du = −2x dx です。被積分関数にある x は、−2 さえ除けばまさに必要な du となります。定数は積分の外に出せるため、これで割ればよいのです。したがって −½e^−x² が正解です。次に 足りない x を押してください。被積分関数は e^−x² で、横に x はありません。それでも強引に足りない −2x で割ると e^−x²/(−2x) になります。商の微分法則を使って確認してみましょう。その導関数は被積分関数に 1 + 1/(2x²) を掛けたものになります。x = 1 では 1.5 倍の大きさになり、x = 3 でもまだ 1.0556 倍も大きく、どこをとっても一致しません。定数は ∫ の外に出せますが、x は出せません。積分そのものが x に沿って進むからです。足りない x で答えを割る行為は、そもそも置換積分として成立しません。累乗、指数関数、対数関数、三角関数をどう組み合わせても、微分して e^−x² になる式は作れないのです。これはリウヴィルが証明したことであり、この章の最後でその意味を解説します。

x の区間をそのままにすると、面積の符号が変わることがある 🖖

区間をそのままにする？ を押してください。被積分関数 2x cos(x²) は、u = x² と置くと cos u と du の積になります。2² = 4 なので、[0, 2] の短冊は u 軸上の [0, 4] に移動します。どちらの図でも面積は −0.7568 であり、これは sin 4 と等しくなります。下の図の破線はよくある間違いを示しています。被積分関数は置換したものの、区間は古いままなので、cos u を 0 から 2 まで積分してしまっています。これでは sin 2 = 0.9093 となり、本当の面積は負なのに正の値が出てしまいます。cos u は u = π/2 以降で 0 より小さくなり、これは区間 [0, 4] の半分以上を占めますが、古い区間は 2 で終わるため、負の領域のほとんどが含まれません。短冊を移動 を押すと、各短冊の面積が両方の合計値に同じタイミングで加算されます。どちらの図でも、ひとつの短冊の面積は G(u(xᵢ₊₁)) − G(u(xᵢ)) で表されるからです。

u は一対一の関数でなくてもよい 🖖

行ったり来たり を押してください。[0, π] において、u = sin x は 0 から 1 まで上がり、再び 0 へと戻ります。前半の短冊は右に向かって [0, 1] に移動し、その面積は e − 1 である 1.7183 となります。後半の短冊は同じ [0, 1] を左に向かって移動します。これらは赤の斜線で描かれ、面積は −1.7183 です。この区間では u′ = cos x が負であり、すべての du も負になるからです。これらは互いに打ち消し合い、∫₀^π cos x·e^{sin x} dx = 0 となります。これは u(0) = 0 から u(π) = 0 までの空の積分と同じ結果です。置換積分の法則が求めているのは、u′ が連続であることと、u が通るすべての値で g が連続であることだけです。u が一方向に進み続けることは要求されていません。逆向きに進む短冊を引き算するだけで、帳尻は完璧に合います。仮にここで x の区間をそのまま使うと、eᵘ を 0 から π まで積分することになり、値は 22.1407 になってしまいます。

学習の道すじ

積分法

参考文献 (2)

The rule in both forms: Theorem 5.7 (∫f[g(x)]g′(x) dx = ∫f(u) du = F(g(x)) + C) and Theorem 5.8 (∫ₐᵇ f(g(x))g′(x) dx = ∫ from g(a) to g(b) of f(u) du, “using substitution to evaluate a definite integral requires a change to the limits of integration”). Theorem 5.8 asks that g′ be continuous on [a, b] and f continuous over the range of u = g(x), and nothing about g being one-to-one: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 5.5, “Substitution”.
Why no substitution, and no other method, can integrate e^(−x²): Liouville's theorem, and its criterion that f(x)·e^(g(x)) has an elementary antiderivative exactly when R′ + g′R = f has a rational solution R (Theorem 4.4; Example 4.6 proves e^(−x²) has none). For x·e^(−x²), R = −½ works: B. Conrad, “Impossibility theorems for elementary integration”, lecture notes, Stanford University (author's copy).

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。