部分積分

積の微分公式を積分すると、∫u dv = uv − ∫v du となります。これは一つの積分を別の形に書き換える操作にほかなりません。掛け算の形をした被積分関数とuを選んでみてください。このページでは、その選択による計算の過程を、別の選び方をした場合と並べて一段階ずつ表示します。一方が無事に完了し、もう一方が複雑に膨れ上がっていく様子を確認できるはずです。実例を一つ追ってから、自身の力で問題に挑戦してみましょう。

部分積分	$\int u d v = uv - \int v d u$
定積分	$\int_{a}^{b} u v^{'} d x = [uv]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} v d x$

計算例 — 部分積分

計算の結末	2回で解決
各段階で残るxの次数	2 → 1 → 0
もう一つの選択肢でのxの次数	2 → 3 → 4 → 5
第1段階後に残る記号数（両選択肢）	6 と 8
解答から求めた 0 から 1 までの面積	0.7183
シンプソンの公式で求めた同区間の面積	0.7183

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レッスン

理論 — 部分積分

部分積分とは、積の微分公式を積分したものです。(uv)′ = u′v + uv′ という関係式から、∫u dv = uv − ∫v du が導かれます。ここで du = u′(x) dx、dv = v′(x) dx です。これはある積分を別の積分にすり替える操作であり、∫v du の方が簡単に計算できる場合に役立ちます。つまり、u には微分してより単純になるものを、dv には積分できるものを選ぶ必要があります。

各記号の意味

u: 微分される因子
dv: dxを含む被積分関数の残りの部分。積分されてvとなる

公式の導き方

公式の導出。 (uv)′ = u′v + uv′ の両辺を積分して uv = ∫v du + ∫u dv を得た後、∫v du を反対側へ移項します。
$(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'} \Rightarrow uv = \int v d u + \int u d v \Rightarrow \int u d v = uv - \int v d u$
複数回の反復。 計算を繰り返すたびに、符号が反転しながら境界項が追加されていきます。つまり、∫f dx = B₁ − B₂ + B₃ − … ± ∫g_K dx となります。ここで g_K はK段階後に残る積分であり、この連鎖全体が表示される方程式を成しています。g_K が f の定数倍 λ に等しい場合、両辺に ∫f dx が現れるため、両者が相殺されない限り方程式として解くことができます。
$\int f d x = B_{1} - B_{2} + \dots \pm \int g_{K} d x, g_{K} = λ f \Rightarrow (1 \mp λ) \int f d x = B_{1} - B_{2} + \dots$

全プロセスの詳細解説

一度の適用 3 ステップ
∫x e^2x dx を求めます。

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1. x は微分すると簡単になるので u に、e^2x は積分しやすいので dv と置きます：
  
  $u = x, d u = d x; d v = e^{2 x} d x, v = \frac{1}{2} e^{2 x}$
2. 公式 uv − ∫v du を一度適用します：
  
  $\int x e^{2 x} d x = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$
3. 残った積分は公式表に載っています：
  
  $= \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$
解答

e^2x(x/2 − 1/4) + C. e^2x をもう一度積分した際に出る二つ目の ½ を掛け忘れると、本来 −1/4 になるべきところが −1/2 になってしまいます。

$\int x e^{2 x} d x = e^{2 x} (\frac{x}{2} - \frac{1}{4}) + C$
べき乗と正弦の積 3 ステップ
∫x sin 2x dx を求めます。

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1. ここでも u = x と置きます。dv = sin 2x dx を積分すると −½ cos 2x になります：
  
  $u = x, d u = d x; d v = sin 2 x d x, v = - \frac{1}{2} cos 2 x$
2. v の符号を落とさず引き継いで、一度適用します：
  
  $\int x sin 2 x d x = - \frac{1}{2} x cos 2 x + \int \frac{1}{2} cos 2 x d x$
3. 残った積分は公式表に載っています：
  
  $= - \frac{1}{2} x cos 2 x + \frac{1}{4} sin 2 x + C$
解答

−(x/2) cos 2x + (1/4) sin 2x + C. 符号のミスが起きやすいのは v = −½ cos 2x のマイナスです。すべての符号が反転した答えが出たとき、本ツールは文字どおり「符号の誤り」と指摘します。

$\int x sin 2 x d x = - \frac{x}{2} cos 2 x + \frac{1}{4} sin 2 x + C$
二度の適用 3 ステップ
∫x² cos x dx を求めます。

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1. 一回目、u = x²：次数が 1 に下がります。
  
  $u = x^{2}, d v = cos x d x : \int x^{2} cos x d x = x^{2} sin x - 2 \int x sin x d x$
2. 二回目、∫x sin x について u = x：次数が 0 に下がります。
  
  $u = x, d v = sin x d x : \int x sin x d x = - x cos x + sin x$
3. 二回分の計算を合わせます：
  
  $x^{2} sin x - 2 (- x cos x + sin x) = x^{2} sin x + 2 x cos x - 2 sin x$
解答

x² sin x + 2x cos x − 2 sin x + C. 部分積分を一度行うごとに x の次数は 1 下がるため、x² には二回、xⁿ には n 回の適用が必要です。カッコは最後まで外さないでおきましょう。最後の項の符号で、計算ミスが頻発します。

$\int x^{2} cos x d x = x^{2} sin x + 2 x cos x - 2 sin x + C$
何が掛けられていても ln x が u 3 ステップ
x > 0 のとき、∫x² ln x dx を求めます。

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1. ln x には v として使える単純な原始関数がないため、u に決まります。dv = x² dx とします：
  
  $u = ln x, d u = \frac{d x}{x}; d v = x^{2} d x, v = \frac{x ^{3}}{3}$
2. 一度の適用です。x³ と 1/x がまとまってべき乗になります：
  
  $\int x^{2} ln x d x = \frac{x ^{3}}{3} ln x - \int \frac{x ^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x} d x$
3. 残った積分は単なるべき乗です：
  
  $= \frac{x ^{3}}{3} ln x - \int \frac{x ^{2}}{3} d x = \frac{x ^{3}}{3} ln x - \frac{x ^{3}}{9} + C$
解答

(x³/3) ln x − x³/9 + C. LIATE則で代数関数より対数が優先されるのは、最初の手順に理由があります。ln x を微分すればべき乗 1/x に変わり、v から生じる x³ がそれをきれいに吸収してくれるからです。

$\int x^{2} ln x d x = \frac{x ^{3}}{3} ln x - \frac{x ^{3}}{9} + C$
置換積分に帰着する ∫arctan x 3 ステップ
∫arctan x dx を求めよ。

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1. ln x と同様に 1·arctan x とみなし、u = arctan x、dv = 1·dx とおきます：
  
  $u = arctan x, d u = \frac{d x}{1 + x ^{2}}; d v = d x, v = x$
2. 一度目の部分積分：
  
  $\int arctan x d x = x arctan x - \int \frac{x}{1 + x ^{2}} d x$
3. 残る積分は置換積分です。w = 1 + x²、dw = 2x dx とおきましょう：
  
  $\int \frac{x}{1 + x ^{2}} d x = \frac{1}{2} \int \frac{d w}{w} = \frac{1}{2} ln (1 + x^{2})$
解答

x arctan x − ½ ln(1 + x²) + C. 1 + x² が負になることは決してないため、対数に絶対値記号は不要です。

$\int arctan x d x = x arctan x - \frac{1}{2} ln (1 + x^{2}) + C$
二つの異なる変化率を持つ循環積分 3 ステップ
∫e^2x sin x dx を求めよ。

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1. 求める積分を I とおきます。一巡目は u = sin x、dv = e^2x dx としましょう：
  
  $I = \int e^{2 x} sin x d x = \frac{1}{2} e^{2 x} sin x - \frac{1}{2} \int e^{2 x} cos x d x$
2. ∫e^2x cos x dx に対する二巡目です。ここでも三角関数の側を u に据えます：
  
  $\int e^{2 x} cos x d x = \frac{1}{2} e^{2 x} cos x + \frac{1}{2} I$
3. 元の積分が 4分の1 の大きさで戻ってきました。これを I について解きます：
  
  $I = \frac{1}{2} e^{2 x} sin x - \frac{1}{4} e^{2 x} cos x - \frac{1}{4} I \Rightarrow \frac{5}{4} I = \frac{1}{4} e^{2 x} (2 sin x - cos x)$
解答

e^2x(2 sin x − cos x)/5 + C. 5 は 2² + 1² であり、まさにここに二つの変化率が現れています。一般の e^ax sin bx でも分母は a² + b² になります。なお、u には二巡とも三角関数を選び続けてください。二巡目で u = e^2x に切り替えると一巡目の計算が帳消しになってしまいます。その様子は eˣ sin x の Undo プリセットで確認できます。

$\int e^{2 x} sin x d x = \frac{e ^{2 x} ( 2 sin x - cos x )}{5} + C$
境界項を計算する定積分 2 ステップ
∫₀^π x sin x dx を計算せよ。
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1. u = x、dv = sin x dx とおけば v = −cos x です。境界項も積分区間の両端で評価します：
  
  $\int_{0}^{π} x sin x d x = [- x cos x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} cos x d x$
2. 両方の項を端点で評価します：
  
  $= (- π cos π + 0) + [sin x]_{0}^{π} = π + 0$
解答

π. 答えのすべてである π は境界項からもたらされ、残った積分は 0 になります。sin π = sin 0 = 0 だからです。

$\int_{0}^{π} x sin x d x = π$
厳密な漸化式と、不確実な数値計算 4 ステップ
I_n = ∫₀¹ xⁿeˣ dx において u = xⁿ として部分積分を一度行うと、I_n = e − n·I_n−1 が得られます。これを利用して I₄ を求めてください。次に、I₀ = e − 1 を 1.7183 と丸めた値から始めて十回の計算を行い、I₁₀ がどのような値になるか確認してください。 次数が下がるを押すと、I₂ = 0.7183 が二段階の計算で求められます。

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1. 0から1の区間において、u = xⁿ、dv = eˣ dx として一段階進めます：
  
  $I_{n} = [x^{n} e^{x}]_{0}^{1} - n \int_{0}^{1} x^{n - 1} e^{x} d x = e - n I_{n - 1}$
2. このページの I₂ からさらに二段階進めます：
  
  $I_{3} = e - 3 (e - 2) = 6 - 2 e = 0.5634, I_{4} = e - 4 (6 - 2 e) = 9 e - 24 = 0.4645$
3. 次に、丸めた初期値から順方向へ計算します。九段階進めたところで、正の関数の積分が負の値になってしまいました：
  
  $I_{0} = 1.7183 \Rightarrow \dots I_{9} = - 6.3451, I_{10} = 66.1689$
4. 開始時の値には 1.8172×10⁻⁵ の誤差がありました。この誤差は一段階ごとにn倍され、十段階で10!倍に膨れ上がります：
  
  $1.8172 \times 1 0^{- 5} \times 10! = 1.8172 \times 1 0^{- 5} \times 3, 628, 800 = 65.94, 0.2280 + 65.94 = 66.17$
解答

I₄ = 9e − 24 ≈ 0.4645 であり、I₁₀ の真の値は 0.2280 です。 漸化式そのものは厳密ですが、順方向に計算すると丸め誤差がn!倍に増幅されてしまいます。逆に I_n−1 = (e − I_n)/n として逆方向へ計算すれば、誤差は一段階ごとにnで割られて縮小していきます。I₂₀ = 0 という大雑把な推測から始めても、小数第4位まで正確な I₁₀ = 0.2280 が導き出されます。このページでの表示は三段階で停止しています。

$I_{4} = 9 e - 24 \approx 0.4645, I_{10} \approx 0.2280$

uの選択を誤るとxの次数が上昇する 🖖

次数が下がるを押してみてください。対象の積分は x²eˣ です。ここで u = x² とすれば、微分によって次数を減らすことができます。第1段階の後に 2x·eˣ が残り、第2段階の後に残る 2eˣ は基本公式で処理できるため、二段階の計算で (x² − 2x + 2)eˣ という答えが導き出されます。0から1の区間で定積分を計算すると0.7183となり、シンプソンの公式による結果とも一致します。薄く表示されているのは、u = eˣ というもう一つの選択をした場合の連鎖です。eˣ は微分しても形が変わらないため、式は少しも単純になりません。それどころかxの次数は積分されるたびに x³eˣ/3、x⁴eˣ/12、x⁵eˣ/60 と上がってしまいます。グラフ上でも、実線がゼロに向かって下がるのに対し、破線はひたすら上昇していくのが確認できるでしょう。LIATE（対数関数、逆三角関数、代数関数、三角関数、指数関数）とは、この判定基準を一覧にしたものです。つまり、微分してより単純になる関数を優先的にuとして選ぶという規則です。結果の下にある表では十五の積について検証していますが、すべての関数でLIATEに従う選択がxの次数を下げるか、あるいはlnやarctanを消去しています。一方で残った積分の「記号の数」で比べてみると、LIATEが有利なのは13例にとどまります。x³eˣ では引き分けとなり、x³ sin x では9記号対8記号で負けてしまいます。したがって、残った積分の見た目の長さを基準にするのは適切ではないと言えます。

∫eˣ sin x は元の姿で現れ、方程式として解かれる 🖖

元に戻るを押してみてください。eˣ も sin x も微分して単純になる関数ではないため、まずは u = sin x として様子を見てみましょう。一段階の計算で ∫eˣ cos x が残ります。続く第2段階で u = cos x とすると、今度は −∫eˣ sin x が残ります。マイナス記号はついていますが、これは計算を始めた時の積分そのものです。この連鎖は基本公式にたどり着くことはありませんが、それで構いません。求める積分をIと置くと、ここまでの計算は I = eˣ sin x − eˣ cos x − I という方程式になります。整理して 2I = eˣ(sin x − cos x) となり、I = eˣ(sin x − cos x)/2 が導かれます。0から1の区間で計算すると0.9093となり、シンプソンの公式でも同じ値が確認できます。続いて取り消しを押してください。第1段階は同じですが、第2段階で u = eˣ とした例です。この段階で、第1段階が生み出した cos x を再び積分してしまうため、境界項の eˣ sin x が第1段階のものと打ち消し合います。結果として I = I という自明な方程式だけが残り、これ以上の情報は何も得られません。

∫ln x には目に見えない「1」が必要になる 🖖

dv = 1·dx とした ln xを押してみてください。ln x は単独の関数に見えるため、二つの関数を必要とする部分積分は使えないように思えます。しかしこれを 1·ln x と見なし、微分すると 1/x になる ln x をuに、積分すると x になる 1·dx をdvに割り当ててみましょう。すると ∫ln x dx = x ln x − ∫x·(1/x) dx = x ln x − x となり、一段階で解決します。1から2までの面積は、どちらの方法で計算しても 2 ln 2 − 1 = 0.3863 となります。逆に u = 1、dv = ln x dx とした場合は、vを求めるために ∫ln x dx が必要になります。これは求めるべき積分そのものであり、薄く表示された連鎖が始まる前に止まってしまっているのはこのためです。練習問題の欄にはあらかじめ x ln x が入力されています。これを微分すると ln x + 1 となり、すべての点で被積分関数より1だけ大きくなります。この「1」こそが、忘れてしまった −∫1 dx の正体です。同じ手法は ∫arctan x でも機能します。また、x arctan x を見れば、部分積分の役割がどこで終わるのかが分かります。u = arctan x とすると、一段階の計算で有理関数 x²/(2(1 + x²)) が残り、ここから先は別の計算手法へと引き継がれることになります。

学習の道すじ

積分法

参考文献 (2)

The formula from the product rule (Theorem 3.1, ∫u dv = uv − ∫v du), the LIATE order (“Logarithmic Functions, Inverse Trigonometric Functions, Algebraic Functions, Trigonometric Functions, and Exponential Functions”) with the reason given for it, the reduction formula ∫xⁿeˣ dx = xⁿeˣ − n∫xⁿ⁻¹eˣ dx (exercise 48), and the device of taking the constant function 1 as the second factor (Example 3.5): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 2, OpenStax (2016), section 3.1, “Integration by Parts”.
Two of the page's cases worked as a teacher works them: ∫ln x dx, where u = 1 with dv = ln x dx “would need to know the answer ahead of time” (Example 6), and ∫e^θ cos θ dθ, where two rounds give “the same integral on both sides … with a minus sign in front of it”, so the integral is added to both sides and the equation divided by 2 (Example 8): P. Dawkins, “Integration by Parts”, Paul's Online Notes, Calculus II, Lamar University (page last modified 31 July 2026).

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。