関連変化率

二つの量が常に等式で結ばれているなら、それぞれの変化率もまたその導関数によって結ばれます。場面を選び、特定の瞬間を定めて、五つの手順を自らの手で進めてみましょう。合成関数の微分が導く値と、運動そのものから計測した変化率を並べて示し、全区間にわたる推移を描き出します。

関連変化率	$\frac{d y}{d t} = \frac{d y}{d x} \cdot \frac{d x}{d t}$

上端の高さ y (m)	4
上端の変化率 y′ (m/s)	−0.375
足の速度に対する上端の速度比	0.75
床とのなす角 θ (度)	53.1
両端の速度が等しくなる足の距離 (m)	3.536
上端が床に達するまでの時間 (s)	4
一様なはしごの単位自重あたりに壁が及ぼす抗力	0.373
その抗力が 0 になる高さ (m)	0.752

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レッスン

関連変化率とは、等式で結ばれた複数の量がもつ、時間についての微分のことです。x² + y² = L² のような等式が常に成り立つとき、合成関数の微分法を用いて両辺を t で微分すれば、変化率 x′ と y′ を結ぶ方程式が得られます。したがって、x と y の値が分かっている瞬間であれば、一方の変化率から他方の変化率が一意に定まります。大切なのは順序です。まず微分を済ませ、その後に特定の瞬間の数値を代入しなければなりません。

各記号の意味

x′: dx/dt、x の時間についての変化率
y*: 一様なはしごの上端が壁から離れる高さ、(2a²L²/(3g))^⅓

前提: はしごは剛体であり、足は一定速度で動き、上端は壁に接し続けるものと仮定しています。円錐は完全な円錐形、影は点光源によって作られるものとします。壁の抗力は、摩擦のない床と壁に置かれた一様なはしごを前提としており、重力加速度は g = 9.81 m/s² です。変化率の計算そのものには純粋な幾何学的関係のみを用いています。

3-4-5 の梯子 3 ステップ
長さ 5 m の梯子が壁に立てかけられています。足元は壁から 3 m 離れており、0.5 m/s の速さで壁から遠ざかっています。このとき、梯子の上端が下がる速さはどれほどでしょうか。また、足元が 5 m に達するまでには何秒かかるでしょうか。

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1. この関係式はどの瞬間にも成り立ちます。いまの瞬間にあてはめると、上端の高さが求まります：
  
  $x^{2} + y^{2} = 5^{2}, x = 3 \Rightarrow y = 25 - 9 = 4$
2. 両辺を t で微分し、この瞬間の数値を代入します：
  
  $2 x x^{'} + 2 y y^{'} = 0 \Rightarrow y^{'} = - \frac{x}{y} x^{'} = - \frac{3}{4} \times 0.5 = - 0.375 m/s$
3. 足元はあと 2 m の距離を、一定の速さ 0.5 m/s で進みます：
  
  $t = \frac{L - x}{x ^{'}} = \frac{5 - 3}{0 . 5} = 4 s$
解答

上端は 0.375 m/s で下降し、足元は 4 秒後に 5 m に達します。負の符号は、高さが減少している印です。求めた値はあくまで一瞬の変化率にすぎません。1 秒経てば足元は 3.5 m に達し、上端はさらに速く滑り落ちていきます。

$y^{'} = - 0.375 m/s, t = 4 s$
深さ半分まで水が満ちた円錐 3 ステップ
頂点を下に向けた深さ 4 m、縁の半径 2 m の円錐に、2 m³/min の割合で水が注ぎ込まれています。水深が 2 m のとき水面の上昇する速さはどれほどで、縁に達したときの速さと比べるとどうでしょうか？

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1. 三角形の相似から水面の半径と深さが結びつき、体積を一変数だけで表せます：
  
  $\frac{r}{h} = \frac{R}{H} = \frac{2}{4} \Rightarrow r = \frac{h}{2}, V = \frac{π}{3} r^{2} h = \frac{π}{12} h^{3}$
2. 微分します。h′ の前に現れる係数は、水面の面積そのものです：
  
  $V^{'} = \frac{π}{4} h^{2} h^{'} = π r^{2} h^{'} \Rightarrow h^{'} = \frac{Q}{π r ^{2}} = \frac{2}{π \cdot 1 ^{2}} = 0.6366 m/min$
3. 縁では水面の半径が 2 倍になります：
  
  $h = 4, r = 2 : h^{'} = \frac{2}{π \cdot 2 ^{2}} = 0.1592 m/min$
解答

水面の上昇速度は 2/π ≈ 0.6366 m/min で、縁での速さ 0.1592 m/min の 4 倍にあたります。微分する前に r を消去しておくのが肝心です。r を残したまま V = πr²h/3 を微分すると、もうひとつの未知の変化率として r′ が現れてしまいます。

$h^{'} = \frac{2}{π} \approx 0.6366 m/min, \frac{0 . 6366}{0 . 1592} = 4$
影の先端 3 ステップ
高さ 6 m の柱の上に街灯があります。身長 1.8 m の人が、その柱から 1.5 m/s の速さで遠ざかっています。柱から 4 m 離れたとき、影の長さはどれだけで、影が伸びる速さはいくらでしょうか。また、影の先端はどれほどの速さで動いているでしょうか。

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1. 頭上を通る光線によって、相似な二つの三角形ができます。影の長さ s について解くと：
  
  $\frac{s}{1 . 8} = \frac{d + s}{6} \Rightarrow 4.2 s = 1.8 d \Rightarrow s = \frac{1 . 8 \times 4}{4 . 2} = 1.714 m$
2. 微分します。s は d の定数倍ですから、その変化率も d′ の同じ倍率になります：
  
  $s^{'} = \frac{1 . 8}{4 . 2} d^{'} = \frac{1 . 8 \times 1 . 5}{4 . 2} = 0.643 m/s$
3. 影の先端は、柱から d + s の位置にあります：
  
  $(d + s)^{'} = d^{'} + s^{'} = 1.5 + 0.643 = 2.143 m/s$
解答

影の長さは 1.714 m、伸びる速さは 0.643 m/s で、影の先端は 2.143 m/s で進みます。どちらの変化率も d には依存しません。16 m 離れた地点で同じ問いを考えても、答えはまったく同じです。

$s^{'} = 0.643 m/s, (d + s)^{'} = 2.143 m/s$
角が小さくなる速さ 4 ステップ
長さ 6.5 m のはしごが壁に立てかけられており、その足が 0.4 m/s で壁から離れていきます。足が壁から 2.5 m 離れたとき、上端はどれほどの速さで下降しているでしょうか。両端の速度が一致するのは足がどの位置にあるときでしょうか。そして、足が 2.5 m 離れたとき、はしごが床となす角はどれほどの速さで小さくなっているでしょうか。はじめの二つの問いに対する答えは、例題を押すと確認できます。三つ目の答えはこの画面には表示されません。

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1. 関係式と、この瞬間の上端の高さ：
  
  $x^{2} + y^{2} = 6 . 5^{2}, x = 2.5 \Rightarrow y = 42.25 - 6.25 = 6$
2. t で微分して y′ について解く：
  
  $2 x x^{'} + 2 y y^{'} = 0 \Rightarrow y^{'} = - \frac{x}{y} x^{'} = - \frac{2 . 5}{6} \times 0.4 = - 0.1667 m/s$
3. 両端の速度が一致するのは x/y = 1、すなわち x = y のとき：
  
  $\frac{x}{y} = 1 \Rightarrow x = y = \frac{6 . 5}{2} = 4.596 m$
4. 角については、代わりに x = L cos θ を微分し、L sin θ が y であることに着目する：
  
  $x = L cos θ \Rightarrow x^{'} = - L sin θ θ^{'} = - y θ^{'} \Rightarrow θ^{'} = - \frac{x ^{'}}{y} = - \frac{0 . 4}{6} = - 0.0667 rad/s$
解答

上端は 0.1667 m/s で下降し、両端の速度が一致するのは足が 4.596 m 離れたときであり、角は毎秒 0.0667 rad（約 3.82°/秒）の速さで小さくなっていきます。θ′ = −x′/y の分母には上端の速度と同じ y があるため、はしごが倒れるにつれて、この角速度もまた際限なく大きくなっていきます。

$y^{'} = - 0.1667 m/s, x = 4.596 m, θ^{'} = - 0.0667 rad/s \approx - 3.8 2^{\circ} / s$

数式上、はしごの上端は無限大の速度で床に達する 🖖

関係式 y′ = −(x/y)·x′ が示す通り、梯子の上端は下端の x/y 倍の速さで動きます。梯子の傾きが 45° より急な間はこの比率も 1 未満ですが、45° を超えると上限がなくなります。上端が床に近づいて y が 0 に向かうにつれ、計算上の速度は無限大へと発散するのです。最後の10 cmを押して、確かめてみてください。この微分は、上端が壁にとどまり続けることを前提にしています。破綻するのは、まさにその仮定です。上端が壁についているには壁から押される力が必要ですが、一様な梯子を等速で引く場合、その力は y* = (2a²L²/(3g))^⅓、この梯子では 0.752 m の地点で 0 になります。それより下では壁が梯子を引き戻さなければならなくなるため、上端は壁から離れてしまいます。琥珀色の線より右側の青い曲線は、実際の梯子が壁を離れた後も、数式だけをそのまま引き写した結果にすぎません。

どれほど歩いても、影の先端の速度は変わらない 🖖

三角形の相似から、影の長さは街灯からの距離 d の一定比、s = pd/(P − p) となります。d の定数倍が増加する速さは、d′ のまったく同じ定数倍です。ですから、自分がどこに立っているかは速度に関係しません。4 m地点の影、続いて16 m地点の影を押してみてください。影の長さは 4 倍になりますが、二つの速度はどちらも変わらず、グラフ上では水平な直線のままです。梯子の速度が跳ね上がったのは、x² + y² = L² が曲線だからでした。対して、こちらは直線。直線は、二つの変化率をひとつの定数で結びつけます。

円錐の深さが半分になるのは、満水時間の八分の一の時点 🖖

流入した水は水面全体に広がるため、水深の上昇率は h′ = Q/(πr²) となります。水面が小さいうちは素早く、広がるにつれてゆっくりと上がります。深さが半分のとき、水面の面積は開口部の 4 分の 1 になるため、水位は最上部での 4 倍の速さで上昇します。そして体積は深さの 3 乗に比例するため、深さが半分の時点で溜まる水量は全体の 8 分の 1 にすぎず、かかる時間も満水までの 8 分の 1 で届きます。どちらの比率にも、円錐の大きさや注ぐ勢いは関係しません。それらを変えてみても、深さが半分の瞬間に画面が表示するのは、変わらず 4 と 12.5% です。リセットと実行を押して、水位が一気に駆け上がり、やがて這うように進む様子を観察してみてください。

学習の道すじ

参考文献 (1)

The five-step strategy the page's stepper follows (assign symbols, state what is given and what is wanted, find an equation relating the variables, differentiate both sides with respect to time by the chain rule, then substitute the known values and solve), with worked examples on a balloon, an aeroplane, a rocket launch and water draining from a cone-shaped funnel, and the ladder and lamppost-shadow problems among the exercises: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 4.1, “Related Rates”.

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。