陰関数の微分

y について解けない曲線であっても、ごく一部の例外を除けば、どの点にもきちんと傾きが存在します。曲線と x の値を選ぶと、その x に対応する点がすべて現れ、選んだ点における接線と −F_x/F_y の値が求まります。あとは微分の歩みを進めながら、数式と数値を一行ずつ照らし合わせてみてください。

陰関数の微分法	$\frac{d y}{d x} = - \frac{F _{x}}{F _{y}}, F_{y} \neq = 0$

計算例 — 陰関数の微分

選択した点	(1, 2.3615)
その点における ∂F/∂x	−11.1688
その点における ∂F/∂y	10.7296
その点での傾き	1.0409
同じ枝上の近傍の二点を結ぶ割線	1.0409
y′ を含む項を一方の辺にまとめ、それ以外の項を他方の辺に移します。	6y−3x²
この x にある他の点	0 となる点

ページを開いたときに計算機が表示する値です。上の入力を変えると再計算されます。

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レッスン

理論 — 陰関数の微分

y について解けない曲線 F(x, y) = 0 でも、滑らかな点には必ず傾きがあります。x と y の双方を含んだ dy/dx = −F_x/F_y がその式です。F_y = 0 の点では破綻します。

各記号の意味

F_x: ∂F/∂x、y を固定して x で微分した F の導関数
F_y: ∂F/∂y、x を固定して y で微分した F の導関数。この値が 0 のとき、傾きの式は値を持ちません

公式の導き方

曲線に沿って微分する。y を x の関数とみなして、F(x, y(x)) = 0 を微分します。x の項はいつも通り。一方、y の項には連鎖律によって y′ が掛かります。現れる二つの項は F_x と F_y·y′ で、足せば 0 です。
$\frac{d}{d x} F (x, y (x)) = F_{x} + F_{y} y^{'} = 0$
y′ について解く。F_y が 0 でないなら、これで割ります。傾きの式には x と y の双方が現れるため、x だけでなく点そのものの指定が必要です。ひとつの x に対して複数の点が対応し、傾きもそれぞれ異なるからです。
$y^{'} = - \frac{F _{x}}{F _{y}} (F_{y} \neq = 0)$
F_y = 0 のとき。割るべきものがありません。その点で F_x が 0 でなければ接線は垂直です。F_x も 0 ならば式は 0/0 となり、何も教えてくれません。正葉線の交点のように。

前提: その点で F の偏導関数が存在することが前提です。組み込みの三つの曲線では、指定した x に対応する点は閉形式で求まります。一方、直接入力した曲線では、y 方向に沿って F の符号変化を走査して数値的に求めるため、0 を横切らずに接するだけの点は一覧に表示されません。

全プロセスの詳細解説

円の接線 3 ステップ
x² + y² = 25 における dy/dx と、点 (3, 4) での接線を求めましょう。

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1. y を x の関数として両辺を微分します。合成関数の微分法により、y² の微分の隣に y′ が現れます：
  
  $2 x + 2 y y^{'} = 0$
2. y′ について整理して解きます：
  
  $y^{'} = - \frac{x}{y}$
3. 点 (3, 4) を代入し、その点を通りその傾きをもつ直線を求めます：
  
  $(3, 4) : y^{'} = - \frac{3}{4}; y - 4 = - \frac{3}{4} (x - 3) \Rightarrow y = - \frac{3}{4} x + \frac{25}{4}$
解答

y′ = −x/y であり、点 (3, 4) での接線は y = −3x/4 + 25/4 です。画面にはその位置で F_x = 6、F_y = 8 と表示され、傾きは −6/8 となります。接線は半径と直交しており、その半径の傾きは 4/3 です。

$y^{'} = - \frac{x}{y}, y = - \frac{3}{4} x + \frac{25}{4}$
積を含む曲線 3 ステップ
x²y + y² = 2 における dy/dx と、点 (1, 1) でのその値を求めましょう。

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1. 両辺を微分します。x²y は積の形なので二つの項に分かれ、y を微分するたびに y′ が掛かります：
  
  $2 x y + x^{2} y^{'} + 2 y y^{'} = 0$
2. y′ の項をまとめて解きます：
  
  $(x^{2} + 2 y) y^{'} = - 2 x y \Rightarrow y^{'} = - \frac{2 x y}{x ^{2} + 2 y}$
3. 点 (1, 1) では：
  
  $(1, 1) : y^{'} = - \frac{2}{3}$
解答

y′ = −2xy/(x² + 2y) であり、点 (1, 1) では −2/3 です。画面で自分で入力を選び、x^2*y + y^2 = 2、x = 1 と設定すると、F_x = 2、F_y = 3 と表示されます。

$y^{'} = - \frac{2 x y}{x ^{2} + 2 y}$
y の3乗 3 ステップ
y³ + xy = 2 における dy/dx と、点 (1, 1) でのその値を求めましょう。

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1. 両辺を微分します。合成関数の微分法で y³ は 3y²y′ に、積の微分法で xy は y + xy′ になります：
  
  $3 y^{2} y^{'} + y + x y^{'} = 0$
2. 整理して解きます：
  
  $(3 y^{2} + x) y^{'} = - y \Rightarrow y^{'} = - \frac{y}{3 y ^{2} + x}$
3. 点 (1, 1) では：
  
  $(1, 1) : y^{'} = - \frac{1}{4}$
解答

y′ = −y/(3y² + x) であり、点 (1, 1) では −1/4 です。この曲線を y について一行で解くことなど誰にもできませんし、傾きを求めるのにその必要はまったくありませんでした。

$y^{'} = - \frac{y}{3 y ^{2} + x}$
傾いた楕円が水平になるところ 3 ステップ
x² + xy + y² = 3 の接線が水平になる点を求めます。

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1. これまでと同様に微分し、y′ について解きます：
  
  $2 x + y + x y^{'} + 2 y y^{'} = 0 \Rightarrow y^{'} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$
2. 傾きが 0 になるのは分子が 0 のときですから、y = −2x をもとの曲線の式に代入します：
  
  $y^{'} = 0 ⟺ y = - 2 x : x^{2} - 2 x^{2} + 4 x^{2} = 3 \Rightarrow x = \pm 1$
3. 二つの点：
  
  $(1, - 2) (- 1, 2)$
解答

(1, −2) と (−1, 2) です。(1, −2) では、このページに F_x = 0、傾き 0 と表示されます。いっぽう分母が 0 になる (2, −1) と (−2, 1) では、接線は垂直になります。

$(1, - 2), (- 1, 2)$
ln x の導関数 3 ステップ
eʸ = x を用いて、y = ln x の導関数を求めます。

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1. eʸ = x の両辺を微分します。左辺は合成関数なので、eʸ に y′ を掛けた形になります：
  
  $e^{y} y^{'} = 1$
2. y′ について解き、もう一度 eʸ = x を使います：
  
  $y^{'} = \frac{1}{e ^{y}} = \frac{1}{x}$
3. したがって、y = ln x の傾きは 1/x となります：
  
  $y = ln x \Rightarrow \frac{d}{d x} ln x = \frac{1}{x}; x = 2 : \frac{1}{2}$
解答

(ln x)′ = 1/x です。x = 2 では、このページに傾き 0.5 と表示されます。ここで使ったのは eˣ の導関数だけです。ln x の微分公式は、まさにこのようにして初めて証明されるのです。

$\frac{d}{d x} ln x = \frac{1}{x}$
円の第二次導関数 3 ステップ
x² + y² = 25 における y″ と、点 (3, 4) でのその値を求めます。

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1. まずは第一次導関数から始めます：
  
  $y^{'} = - \frac{x}{y}$
2. 商の微分公式でもう一度微分し、y′ に −x/y を代入して x² + y² = 25 を使います：
  
  $y^{''} = - \frac{y - x y ^{'}}{y ^{2}} = - \frac{y + \frac{x ^{2}}{y}}{y ^{2}} = - \frac{x ^{2} + y ^{2}}{y ^{3}} = - \frac{25}{y ^{3}}$
3. (3, 4) では：
  
  $(3, 4) : y^{''} = - \frac{25}{64} \approx - 0.3906$
解答

y″ = −25/y³ であり、(3, 4) では −25/64 ≈ −0.3906 です。第二次導関数はこのページの計算範囲を超えていますが、計算の出発点となった傾き −0.75 は表示されます。

$y^{''} = - \frac{25}{y ^{3}}$
葉形線の先端 3 ステップ
x³ + y³ = 6xy のループの先端 (3, 3) における接線の傾きを求めます。

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1. 両辺を微分します。右辺は積の微分法を使います：
  
  $3 x^{2} + 3 y^{2} y^{'} = 6 y + 6 x y^{'}$
2. y′ について整理し、両辺を 3 で割って解きます：
  
  $(3 y^{2} - 6 x) y^{'} = 6 y - 3 x^{2} \Rightarrow y^{'} = \frac{2 y - x ^{2}}{y ^{2} - 2 x}$
3. (3, 3) では：
  
  $(3, 3) : y^{'} = \frac{6 - 9}{9 - 6} = - 1$
解答

(3, 3) で y′ = −1 です。この曲線は直線 y = x に関して対称なので、そこでの接線はこの直線と直交します。このページには F_x = F_y = 9 と表示されます。

$y^{'} (3, 3) = - 1$
葉の最高点 4 ステップ
正葉線の葉の最高点を厳密に求め、それが直線 y = x と交わる先端 (3, 3) と一致するか判定してください。葉の最高点を押してみましょう。x = 2.52 で上側の点の傾きは 0 に迫る −0.0002 を示しますが、刻み幅 0.01 のスライダーでは答えのおおよその範囲を挟み込むことしかできません。

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1. 接線が水平になるのは y′ = 0 のときであり、そのためには分母が 0 でなく、分子 2y − x² が 0 でなければなりません：
  
  $y^{'} = \frac{2 y - x ^{2}}{y ^{2} - 2 x} = 0 \Rightarrow y = \frac{x ^{2}}{2}$
2. 曲線の式に y = x²/2 を代入します。x = 0 は公式が 0/0 となる原点なので、x³ で両辺を割ります：
  
  $x^{3} + \frac{x ^{6}}{8} = 6 x \cdot \frac{x ^{2}}{2} = 3 x^{3} \Rightarrow \frac{x ^{6}}{8} = 2 x^{3} \Rightarrow x^{3} = 16$
3. したがって x は 16 の立方根であり、この点で分母は 0 になりません：
  
  $x = 2^{4/3} = 2.5198, y = \frac{x ^{2}}{2} = 2^{5/3} = 3.1748, y^{2} - 2 x = 2^{10/3} - 2^{7/3} = 2^{7/3} = 5.0397 \neq = 0$
4. 先端 (3, 3) における傾きは −1 ですから、その左側で葉はまだ登り続けています：
  
  $y^{'} (3, 3) = \frac{2 \cdot 3 - 3 ^{2}}{3 ^{2} - 2 \cdot 3} = \frac{- 3}{3} = - 1, 3.1748 - 3 = 0.1748$
解答

葉の最高点は (2^4/3, 2^5/3) ≈ (2.5198, 3.1748) であり、先端よりも 0.1748 だけ高くなっています。この高さは、曲線が折り返す点の垂直な接線における x 座標と一致します。x と y を入れ替えても x³ + y³ = 6xy の形は変わらず、水平な接線が垂直な接線へと入れ替わるためです。画面はどこに点を置いても傾きを読み取ってくれますが、y′ = 0 を解く代数計算まではしてくれません。

$(2^{4/3}, 2^{5/3}) \approx (2.5198, 3.1748)$

x = 1 の上にある三つの点と、三つの傾き 🖖

x = 1 における三つの傾きを押してみてください。x = 1 の直上には正葉線の点が三つあり、曲線はその各点を異なる傾きで通っています。x だけの式では各 x に対して値がひとつしか定まらないため、この曲線の傾きを表すことはできません。陰関数の導関数 y′ = (2y − x²)/(y² − 2x) はその点の y 座標も必要とし、曲線の下の表はその三点すべてで傾きを計算しています。1638年にこの曲線を初めて論じたデカルトは、花びらのようにすべての象限に葉が繰り返すと信じていました。実際には葉は一枚、尾は二本しかありません。

公式が破綻するのは、曲線上の点が増減するまさにその場所 🖖

曲線が折り返す点を押してみてください。ここでは分母の F_y が 0 になり、接線が垂直になります。この左側では x の直上に点が三つあり、ここで上の二点が合流し、右へ進むと残る点はひとつだけになります。三本の曲線のどれを見ても、x の上にある点の数が変化するのはまさに F_y = 0 となる場所だけで、他にはありません。スライダーを通して見えてくるもの、それこそが陰関数定理です。F_y ≠ 0 の点のまわりでは、曲線はひとつの関数のグラフになっていますが、F_y = 0 の場所では、そうした二つの関数がぶつかり合ってひとつに重なります。

原点では公式が 0/0 を示し、曲線には二本の接線が現れる 🖖

自己交差する原点を押してみてください。原点では F_x も F_y も 0 になるため、式は 0/0 となります。これは単に接線が垂直になるという以上の事態です。曲線はこの点を二度通ります。一度は葉の下側の縁に沿って平らに離れ、もう一度はそこを急勾配で横切っていきます。x = 0.1, 0.01, 0.001 と原点へ近づけていくと、表の傾きのうち、ひとつは 0 へ近づき、ふたつは際限なく大きくなっていきます。ひとつの傾きだけで表せるはずもありません。キャンバスには両方の接線が描かれます。

学習の道すじ

微分法：変化率はどう結びつくか

参考文献 (2)

The method as the page steps it (differentiate both sides with y a function of x, then solve for dy/dx), the circle x² + y² = 25 with its tangent at (3, −4) (Example 3.71), and the folium in the form x³ + y³ − 3xy = 0 with slope −1 at (3/2, 3/2) (Example 3.72), the a = 1 version of the page's tip (3, 3): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 3.8, “Implicit Differentiation”.
That Descartes first discussed the folium in 1638 and believed the leaf was repeated in each quadrant like the petals of a flower (insight block 1), and the asymptote x + y + a = 0 (here a = 2): J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Folium of Descartes”, Famous Curves Index, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews.

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。