ピラミッドの幾何学

古代エジプト風の正四角錐の幾何学

初期値 — ピラミッドの幾何学

底辺の長さ (s)	230.4
垂直の高さ (h)	146.6

上のコントロールを変えると、ここから結果が計算し直されます。

インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

3 分の 1 は厳密だが、切り分けでは証明できない 🖖

角錐は、同じ底面と高さをもつ角柱のちょうど 3 分の 1 を占めます。おおよそではなく、厳密にです。2 次元での対応する事実は簡単に見て取れます。三角形は長方形の半分であり、長方形を切って並べ替えれば示せます。3 次元ではこの道が閉ざされています。ヒルベルトは 1900 年に、体積の等しい 2 つの立体は必ず有限個の断片に切り分けて互いに組み替えられるかと問い、マックス・デーンは 1901 年にそれが不可能であることを証明しました。同じ体積の正四面体と立方体は、いかなる有限回の切断でも互いに移り合えないのです。したがって 3 分の 1 という係数は本当に極限に関する結果であり、だからこそハサミではなく微分積分とともに現れます。

2つの数値で角錐全体が決まる 🖖

正四角錐は、底面の一辺 s と高さ h というたった2つの値で完全に決まります。残りはすべて、底面の中心から辺の中点へ伸びる1つの直角三角形から導かれます。斜高はその斜辺で l = √(h² + (s/2)²) となり、l が分かれば表面積と体積も自然に求まります。入力を1つ変えるだけで、すべての結果が同時に再計算されます。

エジプト人は勾配を逆向きに測った 🖖

古代エジプト人は角度を使いませんでした。リンド数学パピルスでは、角錐の勾配を セケド として記録しました。すなわち垂直に1ロイヤルキュビット(7パーム)上がるごとの水平方向の移動量(パーム単位)で、これは本質的にコタンジェント、現代の勾配の逆数です。ギザの大ピラミッドのセケドは約5½パームで、面の角度はおよそ51.84°になります。このツールのセケド出力は、その3600年前の慣習をよみがえらせます。

全プロセスの詳細解説

1つの数で決着する大ピラミッドの2つの偶然 6 ステップ
ギザの大ピラミッド：底辺 230.4 m、高さ 146.6 m。斜高、各面積、体積、および側面角を求め、1つの数値で2つの有名な一致に決着をつけよ。
1. 斜高は、底面の中心から辺の中点を通って頂点に至る直角三角形の斜辺である。底辺全体ではなく、底辺の半分を用いる点が最も間違いやすいポイントである。
  
  $ℓ = h^{2} + (\frac{s}{2})^{2} = 146. 6^{2} + 115. 2^{2} = 34 762.6 = 186.4473 m$
2. 側面は底辺 s、高さ ℓ の4つの三角形で構成されるため、4 × ½sℓ は 2sℓ となる。表面積全体を求めるには底面積を加算する。
  
  $A_{b} = s^{2} = 53 084.16, A_{l} = 2 s ℓ = 85 914.92, A = 138 999.08 m^{2}$
3. 体積は角柱の3分の1であり、この3分の1は近似ではなく、任意の底面を持つあらゆる錐体について厳密に成り立っている。
  
  $V = \frac{1}{3} s^{2} h = \frac{1}{3} (53 084.16) (146.6) = 2594 045.95 m^{3}$
4. 側面の角度は、高さを底辺の半分で割った値から導かれます。セケドはその逆数であり、当時の建築家たちが実際の作業で使っていたのはまさにこの数値でした。
  
  $θ = arctan \frac{2 h}{s} = arctan \frac{293.2}{230.4} = 51.839 3^{\circ}, k = \frac{s /2}{h} = 0.7858$
5. 実測されたセケドを、その近傍にある最も単純な分数と比較する。7パームの1キュービットあたり5½ パームは 11/14 であり、8000分の1の精度で一致する。
  
  $k = \frac{5 \frac{1}{2} palms}{7 palms} = \frac{11}{14} = 0.785714 (measured 0.785812)$
6. 次に、その1つの分数から π の比率を導出する。これはピラミッドに関する独立した事実ではなく 8k であり、8 × 11/14 は偶然にも 2π から 0.04% しか離れていない。
  
  $k = \frac{s /2}{h} \Rightarrow h = \frac{s}{2 k} \Rightarrow \frac{4 s}{h} = 8 k = 8 \cdot \frac{11}{14} = 6.28571 against 2 π = 6.28319$
解答

この二つの一致は全く同じものです。建築の現場で用いられた分数、すなわち 11/14 という「セケド」に他なりません。 古代エジプトでは、斜面の勾配を角度で表すことはありませんでした。高さが一キュビット上がるごとに水平方向へ何パーム進むか、という基準で定めていたのです。ちなみに一キュビットは七パームに相当します。ここで水平距離に5½パームを選んでみてください。セケドは純粋な比率として 11/14 = 0.785714 となります。ピラミッドの実測値 0.785812 と比較してみてください。他の数値もすべてここから導かれます。周長を高さで割った値はセケドのちょうど8倍となるため、8 × 11/14 = 6.28571 となり 2π = 6.28319 に肉薄します。さらに斜高と底辺の半分の比を計算すると 1.6186 となり、こちらも φ = 1.618034 に見事に近似します。πもφも、意図して設計に組み込まれたわけではありません。縄と下げ振りだけで簡単に測量できるという理由で選ばれた一つの有理数の勾配が、結果としてこれら二つの定数を三桁まで一致させているのです。

$k = \frac{11}{14} ⟹ \frac{4 s}{h} = 6.2857 \approx 2 π and \frac{ℓ}{s /2} = 1.6186 \approx φ$

参考文献 (2)

Insight block 1 — why the factor of 1/3 cannot be shown with scissors: M. Dehn, "Ueber den Rauminhalt." Mathematische Annalen 55(3), 465–478, 1901 — the negative answer to Hilbert's third problem.
Insight block 3 — the seked, and the 5½ palms of the Great Pyramid: A. B. Chace, The Rhind Mathematical Papyrus, problems 56–60. Mathematical Association of America, 1927–29.

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。