三角関数の積分

sinやcosの奇数乗は、一度の置換で積分できます。偶数乗では、まず公式を使って式を変形します。その違いは、一周期の面積を見るとわかります。x = sin θと置けば、√(1 − x²)を円の上で捉えられ、答えの各項が図のどの部分にあたるかも見えてきます。例題を一つずつたどってから、自分でも解いてみましょう。

偶数乗：半角の公式を使う	$sin^{2} x cos^{2} x = \frac{1}{2} (1 - cos 2 x) = \frac{1}{2} (1 + cos 2 x)$
奇数乗：因数を一つ du に回す	$sin^{2 k + 1} x u = (1 - cos^{2} x)^{k} sin x = cos x$
a² ± x² の根号	$a^{2} - x^{2} a^{2} + x^{2} : x = a sin θ : x = a tan θ$

計算例 — 三角関数の積分

0からbまでの面積	0.0000
一周期の面積：0から2π	0.0000
一周期の平均値 c₀	0.0000
xᵏ√(1 − x²)の下の面積：0からX	0.5618
θで表した同じ面積	0.5618
角度の項 c₀·θ	0.3218
代数的な項：残りの部分	0.2400

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レッスン

理論 — 三角関数の積分

三角関数の積分では、sin xとcos xのべき乗の積を扱います。三角関数による置換を使うと、二次式の平方根を含む積分も、この形に直せます。√(a² − x²)にはx = a sin θ、√(x² + a²)にはx = a tan θ、√(x² − a²)にはx = a sec θを使い、いずれも直角三角形の辺の比から式を読み取ります。指数に奇数があれば、その三角関数の因子を一つ取り出し、もう一方の三角関数で置換して積分します。指数がすべて偶数なら、半角の公式sin²x = ½ − ½cos 2x、cos²x = ½ + ½cos 2xで、まず次数を下げます。

各記号の意味

θ: 置換に使う角度。x = a sin θでは−π/2からπ/2の範囲に取り、この範囲でcos θ ≥ 0なので、√(a² − x²) = a cos θとなる
c₀: sinᵐx·cosⁿxの一周期の平均値。mまたはnが奇数なら0、両方とも偶数なら(m − 1)!!·(n − 1)!!/(m + n)!!。ここでn!! = n(n − 2)(n − 4)…は1または2までの積で、0!! = (−1)!! = 1と定める

公式の導き方

偶数乗で原始関数が増えていく理由。 sinᵐx·cosⁿxの原始関数Fについて、F(x + 2π) − F(x)は、xによらず一周期の面積2π·c₀に等しくなります。したがってF(x) − c₀·xは周期2πの関数です。u = cos xやu = sin xという置換で得られるのは、cos xだけ、あるいはsin xだけで表される関数で、それ自体が周期2πを持ちます。この置換だけで原始関数を求められるのはc₀ = 0、つまり指数に奇数がある場合に限ります。
$F (x + 2 π) - F (x) = \int_{x}^{x + 2 π} sin^{m} t cos^{n} t d t = 2 π c_{0} \Rightarrow F (x) - c_{0} x = F (x + 2 π) - c_{0} (x + 2 π)$

全プロセスの詳細解説

sin の奇数乗 3 ステップ
∫sin³x dx を求めます。

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1. du 用に sin x を一つ残し、残りの二つを cos に変えます：
  
  $sin^{3} x = (1 - cos^{2} x) sin x, u = cos x, d u = - sin x d x$
2. u の多項式：
  
  $\int (1 - u^{2}) (- d u) = - u + \frac{u ^{3}}{3}$
3. x に戻します：
  
  $- cos x + \frac{cos ^{3} x}{3} + C$
解答

−cos x + cos³x/3 + C. du = −sin x dx には負の符号が付きます。これを見落とすとすべての項の符号が反転してしまい、ツールから符号の間違いと判定されます。

$\int sin^{3} x d x = - cos x + \frac{cos ^{3} x}{3} + C$
cos の奇数乗と sin の偶数乗 2 ステップ
∫sin²x cos³x dx を求めます。

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1. 奇数乗になっているのは cos なので、du 用に cos x を一つ残し、残りをすべて sin で表します：
  
  $sin^{2} x cos^{3} x = sin^{2} x (1 - sin^{2} x) cos x, u = sin x, d u = cos x d x$
2. u = sin x の多項式：
  
  $\int (u^{2} - u^{4}) d u = \frac{u ^{3}}{3} - \frac{u ^{5}}{5}$
解答

sin³x/3 − sin⁵x/5 + C. 奇数乗になっている側が置換の方針を決めます。両方とも奇数乗なら、どちらを選んでも構いません。

$\int sin^{2} x cos^{3} x d x = \frac{sin ^{3} x}{3} - \frac{sin ^{5} x}{5} + C$
ともに偶数乗：半角の公式を二度使う 3 ステップ
∫sin²x cos²x dx を求めます。

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1. du に充てられる奇数乗がありません。まずは倍角の公式から：
  
  $sin x cos x = \frac{1}{2} sin 2 x \Rightarrow sin^{2} x cos^{2} x = \frac{1}{4} sin^{2} 2 x$
2. 続いて sin²2x に半角の公式を使います：
  
  $\frac{1}{4} sin^{2} 2 x = \frac{1}{8} (1 - cos 4 x)$
3. 項ごとに積分します：
  
  $\int \frac{1}{8} (1 - cos 4 x) d x = \frac{x}{8} - \frac{sin 4 x}{32} + C$
解答

x/8 − sin 4x/32 + C. x/8 は偶数乗の積分特有の上昇分で、x が 1 単位進むごとに 1/8 ずつ伸びていきます。これを忘れると、導関数が全体で 1/8 不足しているとツールから指摘されます。

$\int sin^{2} x cos^{2} x d x = \frac{x}{8} - \frac{sin 4 x}{32} + C$
異なる二つの周波数：積和の公式 3 ステップ
∫sin 3x cos x dx を求めます。

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1. x の倍数が異なる sin と cos の積は、姿を変えた和にほかなりません：
  
  $sin A cos B = \frac{1}{2} [sin (A + B) + sin (A - B)]$
2. A = 3x、B = x とおくと：
  
  $sin 3 x cos x = \frac{1}{2} (sin 4 x + sin 2 x)$
3. それぞれの sin を積分します：
  
  $\int \frac{1}{2} (sin 4 x + sin 2 x) d x = - \frac{cos 4 x}{8} - \frac{cos 2 x}{4} + C$
解答

−cos 4x/8 − cos 2x/4 + C. 公式にある ½ は、もっとも見落としやすい係数です。これを忘れると答えが二倍に膨らんでしまい、ツールからもそう指摘されます。

$\int sin 3 x cos x d x = - \frac{cos 4 x}{8} - \frac{cos 2 x}{4} + C$
まずは恒等式から 2 ステップ
∫tan²x dx を求めよ。

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1. tan²x は直接積分できませんが、sec²x なら原始関数が分かっています：
  
  $tan^{2} x = sec^{2} x - 1$
2. 項ごとに積分します：
  
  $\int (sec^{2} x - 1) d x = tan x - x + C$
解答

tan x − x + C。tan x と書くだけでは −1 を忘れてしまいます。ツール上では、導関数がすべての点で 1 大きくなってしまいます。

$\int tan^{2} x d x = tan x - x + C$
√(1 − x²)：円上に x をとる 3 ステップ
∫x²/√(1 − x²) dx を求めよ。

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1. x = sin θ とおくと、根号が cos θ に変わります：
  
  $x = sin θ, d x = cos θ d θ, 1 - x^{2} = cos θ$
2. cos が約分され、sin の偶数乗が残ります：
  
  $\int \frac{sin ^{2} θ}{cos θ} cos θ d θ = \int sin^{2} θ d θ = \frac{θ}{2} - \frac{sin 2 θ}{4}$
3. sin 2θ = 2 sin θ cos θ を用いて、x の式に戻します：
  
  $sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = 2 x 1 - x^{2} \Rightarrow \frac{arcsin x}{2} - \frac{x 1 - x ^{2}}{2} + C$
解答

(arcsin x − x√(1 − x²))/2 + C。『三角形と扇形』の解説ブロックにある通り、arcsin は扇形、もう一方の項は三角形を表します。ここでは三角形が引き算されています。

$\int \frac{x ^{2}}{1 - x ^{2}} d x = \frac{arcsin x - x 1 - x ^{2}}{2} + C$
x² + a²：接線上に x をとる 3 ステップ
∫dx/(x² + 4)^3/2 を求めよ。

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1. x = 2 tan θ とおくと、x² + 4 = 4 sec²θ となります：
  
  $x = 2 tan θ, d x = 2 sec^{2} θ d θ, x^{2} + 4 = 4 sec^{2} θ$
2. 大半が約分で消えます：
  
  $\int \frac{2 sec ^{2} θ}{8 sec ^{3} θ} d θ = \frac{1}{4} \int cos θ d θ = \frac{sin θ}{4}$
3. 対辺が x、隣辺が 2、斜辺が √(x² + 4) の直角三角形から、x の式に戻します：
  
  $tan θ = \frac{x}{2} \Rightarrow sin θ = \frac{x}{x ^{2} + 4} \Rightarrow \frac{x}{4 x ^{2} + 4} + C$
解答

x/(4√(x² + 4)) + C。¼ は 2/8 から出てきたものです。これを忘れると、ツール上では導関数が被積分関数の 4 倍になってしまいます。

$\int \frac{d x}{( x ^{2} + 4 ) ^{3/2}} = \frac{x}{4 x ^{2} + 4} + C$
漸化式で求めるsin⁸xの一周期の面積 4 ステップ
このページで選べる指数の上限は6です。sin⁸xの一周期の面積と、原始関数が沿って増える直線の傾きを求めましょう。 漸化式で求めるsin⁴xを押すと、sin⁴xの面積は2.3562、平均値は0.3750と表示されます。

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1. sinⁿx = sinⁿ⁻¹x·sin xと書き、u = sinⁿ⁻¹xとして部分積分します。一周期では境界項−sinⁿ⁻¹x cos xが0になります。さらにcos²x = 1 − sin²xを使うと右辺にもIₙが現れるので、Iₙについて解きます。
  
  $I_{n} = \int_{0}^{2 π} sin^{n} x d x = [- sin^{n - 1} x cos x]_{0}^{2 π} + (n - 1) \int_{0}^{2 π} sin^{n - 2} x (1 - sin^{2} x) d x \Rightarrow I_{n} = \frac{n - 1}{n} I_{n - 2}$
2. 一周期にわたる定数1の積分I₀ = 2πから出発し、偶数の指数を順にたどります。I₄はこのページに表示される値です。
  
  $I_{0} = 2 π, I_{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 π = π, I_{4} = \frac{3}{4} \cdot π = \frac{3 π}{4} = 2.3562$
3. あと二段階でsin⁸xまで進めます。
  
  $I_{6} = \frac{5}{6} \cdot \frac{3 π}{4} = \frac{5 π}{8} = 1.9635, I_{8} = \frac{7}{8} \cdot \frac{5 π}{8} = \frac{35 π}{64} = 1.7181$
4. 原始関数が沿って増える直線の傾きは、一周期の面積を2πで割った値です。
  
  $c_{0} = \frac{I _{8}}{2 π} = \frac{35}{128} = 0.2734$
解答

一周期の面積は35π/64 ≈ 1.7181、傾きは35/128 ≈ 0.2734です。 漸化式を一段階進めるたびに(n − 1)/nを掛けるので、平均値は小さくなっていきます。その大きさはおよそ√(2/(πn))で、n = 8では0.2821となり、実際の値0.2734に近い値です。同じ漸化式を四分の一周期の区間で使うと、奇数乗も計算できます。その出発点はπ/2ではなく1です。各偶数乗の積分値を両隣の奇数乗の積分値で挟み、比を取っていくと、ジョン・ウォリスの公式π/2 = (2·2·4·4·6·6…)/(1·3·3·5·5·7…)が得られます。ウォリスは四分円の面積∫₀¹√(1 − x²) dxを求める研究の中でこの公式を見いだし、Arithmetica infinitorum（1656）に記しました。

$\int_{0}^{2 π} sin^{8} x d x = \frac{35 π}{64} \approx 1.7181, c_{0} = \frac{35}{128} \approx 0.2734$

奇数乗は一周期で打ち消し合い、偶数乗は面積が積み重なる 🖖

sin³xの一周期を押してみましょう。πから2πまでのsin³xのグラフは、0からπまでのグラフを上下に裏返した形です。一周期の正負の面積が打ち消し合い、合計は0.0000になります。原始関数cos³x/3 − cos xも、2πごとに元の値へ戻ります。u = cos xやu = sin xで得られる答えは、すべてこの性質を持ちます。cos xだけ、あるいはsin xだけで表される関数は、2πごとに同じ値を取るためです。次にsin²x：抜けたxの項を押してみましょう。sin²xは常に0以上で、一周期ごとにπ = 3.1416の面積が加わります。その原始関数も、直線x/2に沿って一周期ごとにπずつ増える必要があります。cos xだけで表される関数ではこの増分を持てず、u = cos xという置換では答えを求められません。半角の公式sin²x = ½ − ½cos 2xを使うと、定数項½の積分から、必要なx/2が得られます。練習欄に入力されている−sin(2x)/4は、このx/2を落とした式です。微分して確認すると、どの点でも½だけ足りません。表には指数6までの一周期の増分を示しています。奇数乗ではすべて0、偶数乗ではπ、3π/4、5π/8です。

∫√(1 − x²)の二つの項は、三角形と扇形の面積 🖖

三角形と扇形を押してみましょう。√(1 − x²)のグラフは単位円の上半分です。0からxまでの面積は円の一部で、点(x, √(1 − x²))へ引いた半径が、その部分を二つに分けます。半径の下には、直角を挟む辺がxと√(1 − x²)の直角三角形があり、面積はx√(1 − x²)/2です。その隣には中心角θ = arcsin xの扇形があり、面積はθ/2になります。x = 0.6では、それぞれ0.2400と0.3218。合わせると0.5618です。原始関数(x√(1 − x²) + arcsin x)/2の各項が、この二つの面積にそのまま対応しています。θで表すと、被積分関数は偶数乗のcos²θです。高さ½の破線より下の帯の面積θ/2が扇形にあたり、cos²θの残りの部分を積分したsin 2θ/4が三角形にあたります。Xを1まで動かしてみましょう。三角形はつぶれて面積がなくなり、扇形は四分円になります。その面積はπ/4 = 0.7854。被積分関数にないπが現れるのは、arcsin 1が角度を表すためです。

∫₀¹ xᵏ√(1 − x²) dxにπが現れるのは、kが偶数のとき 🖖

角度を使わずにを押してみましょう。x√(1 − x²)の0から1までの面積は、1/3にあたる0.3333で、下のグラフの角度の項は0.0000です。平方根の前のxは、1 − x²の導関数の−½倍なので、u = 1 − x²という置換だけで積分できます。練習欄で正解となる−(1 − x²)^(3/2)/3にも、arcsinは含まれていません。被積分関数のボタンを順に押してみましょう。k = 0, 2, 4では面積にπが現れ、値はπ/4, π/16, π/32です。k = 1, 3, 5では現れず、1/3, 2/15, 8/105になります。最初の図で見た指数の偶奇が、円の上でも働いています。x = sin θと置くと、xᵏ√(1 − x²) dxはsinᵏθ·cos²θ dθになります。kが奇数ならsinの奇数乗が残り、一周期の平均値は0です。原始関数にθの項は現れません。arcsin xも、x = 1でのπも、このθの項からしか生まれません。√(1 − x²)にxの奇数乗が掛かっていれば、三角形を使わずに積分できます。

学習の道すじ

積分法

参考文献 (3)

The strategy for ∫cosʲx·sinᵏx: if k is odd, keep one sin x and write the rest in cos x with sin²x = 1 − cos²x, then u = cos x; if j is odd, the same with the roles swapped and u = sin x; if both are even, the half-angle identities sin²x = ½ − ½cos 2x and cos²x = ½ + ½cos 2x. Example 3.10 integrates sin²x to x/2 − sin(2x)/4: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 2, OpenStax (2016), section 3.2, “Trigonometric Integrals”.
The three substitutions and their reference triangles: x = a sin θ with −π/2 ≤ θ ≤ π/2, where cos θ ≥ 0 so the root is a cos θ (Example 3.21 integrates √(9 − x²) this way); x = a tan θ; x = a sec θ, where the root is |a tan θ| and changes sign between x ≥ a and x ≤ −a. The strategy for √(a² − x²) begins by advising a check that the integral cannot be done more easily, naming x√(a² − x²) as one u-substitution handles, and Example 3.23 does x³√(1 − x²) both ways: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 2, OpenStax (2016), section 3.3, “Trigonometric Substitution”.
Wallis's product π/2 = (2·2·4·4·6·6·8·8…)/(1·3·3·5·5·7·7·9…), in Arithmetica infinitorum (1656), found while trying to compute ∫₀¹ (1 − x²)^(1/2) dx, the area of a quarter of the unit circle: he could integrate (1 − x²)ⁿ for whole n and reached the half power by interpolation, a word the book introduced: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “John Wallis”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (2002).

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。