逆三角関数

小数、分数、または根号を使って x を入力すると、正弦・余弦・正接が x となる主値の範囲の角がただひとつ求まります（存在しない場合はその理由を示します）。角 θ をドラッグして、f⁻¹(f(θ)) が値域へと折り返される様子を観察することもできます。

逆正弦	$sin^{- 1} x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}], - 1 \leq x \leq 1$
逆余弦	$cos^{- 1} x \in [0, π], - 1 \leq x \leq 1$
逆正接	$tan^{- 1} x \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}), x \in R$
正弦を元に戻す	$sin (sin^{- 1} x) = x sin^{- 1} (sin θ) = θ ⟺ - \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2}$

計算例 — 逆三角関数

入力した値	−0.5
主値（ラジアン）	−0.5236
度数法	−30°
cos(sin⁻¹ x)（三角形から求まる値）	0.866

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レッスン

理論 — 逆三角関数

逆三角関数 sin⁻¹ x、cos⁻¹ x、tan⁻¹ x（arcsin、arccos、arctan とも表記します）は、正弦・余弦・正接が x となる角のうち、あらかじめ定めた範囲にあるただひとつの角、すなわち主値を返します。右肩の −1 は逆関数を表す記号であり、累乗ではありません。sin⁻¹ x は 1/sin x とは異なります。

公式の導き方

正弦関数は1対1（単射）ではありません。ひとつの正弦の値を無数の角が共有しているため、あらかじめ範囲を絞り込んでおかないと、「正弦が ½ となる角」と言われても特定の角を指し示せません。
$sin \frac{π}{6} = sin \frac{5 π}{6} = sin (- \frac{7 π}{6}) = \frac{1}{2}$
定義域を制限して、逆関数を作る。−π/2 から π/2 において正弦は −1 から 1 へと単調に増加し、各値を一度きりしかとりません。そのため、この区間に限れば逆関数が定義できます。余弦を 0 ≤ y ≤ π に、正接を −π/2 < y < π/2 に制限するのもまったく同じ理由からです。
$y = sin^{- 1} x ⟺ sin y = x, - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}$
元に戻せるのは一方通行です。定義域内のすべての x について sin(sin⁻¹ x) = x は成り立ちますが、逆向きの sin⁻¹(sin θ) が θ を返すのは、θ が最初から主値の範囲に入っているときだけです。それ以外の角を入れると、同じ正弦をもつ主値の範囲内の角が返されます。
$sin (sin^{- 1} x) = x (- 1 \leq x \leq 1), sin^{- 1} (sin \frac{5 π}{6}) = \frac{π}{6}$
合成関数の値は直角三角形から求まります。y = sin⁻¹ x とおくと sin y = x です。三平方の定理からもう一方の辺の長さが求まり、主値の範囲によってその符号が確定します。
$cos (sin^{- 1} x) = 1 - x^{2}$

前提: sin⁻¹ と cos⁻¹ の定義域は −1 ≤ x ≤ 1 に限られますが、tan⁻¹ はすべての実数に対して定義されます。

全プロセスの詳細解説

負の正弦値 2 ステップ
sin⁻¹(−1/2) の厳密な値を求めよ。

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1. 求める角は sin⁻¹ の値域に含まれている必要があります：
  
  $- \frac{π}{2} \leq sin^{- 1} x \leq \frac{π}{2}$
2. sin(π/6) = 1/2 であり、正弦関数は奇関数なので、値域内の角は −π/6 となります：
  
  $sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow sin (- \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}$
解答

sin⁻¹(−1/2) = −π/6 です。7π/6 や 11π/6 も同じ正弦をとりますが、値域の外にあります。

$sin^{- 1} (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6} \approx - 0.5236$
負の余弦値 2 ステップ
cos⁻¹(−√3/2) の厳密な値を求めよ。

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1. 値域は 0 から π であり、基準角は π/6 です：
  
  $0 \leq cos^{- 1} x \leq π, cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}$
2. 値域内で余弦が負になるのは π/2 を超える部分に限られるため、角は π − π/6 となります：
  
  $cos (π - \frac{π}{6}) = - cos \frac{π}{6} = - \frac{3}{2}$
解答

cos⁻¹(−√3/2) = 5π/6 です。

$cos^{- 1} (- \frac{3}{2}) = \frac{5 π}{6} \approx 2.618$
正接の逆関数 2 ステップ
tan⁻¹(−√3) の厳密な値を求めよ。

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1. tan⁻¹ はすべての実数を定義域とし、−π/2 より大きく π/2 未満の値を返します：
  
  $- \frac{π}{2} < tan^{- 1} x < \frac{π}{2}, x \in R$
2. tan(π/3) = √3 であり、正接関数は奇関数です：
  
  $tan \frac{π}{3} = 3 \Rightarrow tan (- \frac{π}{3}) = - 3$
解答

tan⁻¹(−√3) = −π/3 です。

$tan^{- 1} (- 3) = - \frac{π}{3} \approx - 1.0472$
逆関数が存在する条件 2 ステップ
sin⁻¹ 1.5、cos⁻¹(−1.2)、tan⁻¹ 1.5 のうち値が存在するものはどれか。存在するものはその値を求めよ。

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1. 正弦と余弦は単位円上の点の座標であるため、sin⁻¹ と cos⁻¹ が受け付けるのは −1 から 1 の範囲に限られます：
  
  $sin^{- 1} x, cos^{- 1} x : - 1 \leq x \leq 1; 1.5 \in / [- 1, 1], - 1.2 \in / [- 1, 1]$
2. 正接は任意の実数値をとるため、tan⁻¹ 1.5 は存在します。有名角ではないため、電卓を用いてラジアンで求めます：
  
  $tan^{- 1} 1.5 \approx 0.9828 \approx 56.309 9^{\circ}$
解答

値が存在するのは tan⁻¹ 1.5 のみで、約 0.9828（約 56.3099°）です。sin⁻¹ 1.5 と cos⁻¹(−1.2) は定義されません。

$tan^{- 1} 1.5 \approx 0.9828$
値域の外にある角の正弦を戻す 2 ステップ
sin⁻¹(sin 5π/6) の値を求めよ。

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1. 5π/6 は値域の外にあるため、答えは 5π/6 にはなりません：
  
  $\frac{5 π}{6} > \frac{π}{2}$
2. π − θ の正弦は θ の正弦と等しく、π − 5π/6 は値域内に収まります：
  
  $sin (π - \frac{5 π}{6}) = sin \frac{5 π}{6}, π - \frac{5 π}{6} = \frac{π}{6} \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$
解答

sin⁻¹(sin 5π/6) = π/6 です。

$sin^{- 1} (sin \frac{5 π}{6}) = \frac{π}{6}$
値域の外にある角の余弦を戻す 2 ステップ
cos⁻¹(cos 4π/3) の値を求めよ。

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1. 4π/3 は π を超えているため、値域の外です：
  
  $\frac{4 π}{3} > π$
2. 余弦は偶関数であり 2π の周期をもつため、2π − θ は θ と同じ余弦をとります。そして 2π − 4π/3 は値域内に収まります：
  
  $cos (2 π - \frac{4 π}{3}) = cos \frac{4 π}{3}, 2 π - \frac{4 π}{3} = \frac{2 π}{3} \in [0, π]$
解答

cos⁻¹(cos 4π/3) = 2π/3 です。

$cos^{- 1} (cos \frac{4 π}{3}) = \frac{2 π}{3}$
負の値を入力した合成関数 3 ステップ
tan(cos⁻¹(−3/5)) の厳密な値を求めよ。

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1. この角を y とおきます。余弦が −3/5 なので、値域の定義から y は π/2 を超える角です：
  
  $y = cos^{- 1} (- \frac{3}{5}) : cos y = - \frac{3}{5}, \frac{π}{2} < y \leq π$
2. この範囲で正弦は正なので、sin²y + cos²y = 1 より：
  
  $sin y = + 1 - \frac{9}{25} = \frac{4}{5}$
3. さらに tan y = sin y / cos y より：
  
  $tan y = \frac{4/5}{- 3/5} = - \frac{4}{3}$
解答

tan(cos⁻¹(−3/5)) = −4/3 です。

$tan (cos^{- 1} (- \frac{3}{5})) = - \frac{4}{3} \approx - 1.3333$
x の式で表す合成関数 3 ステップ
cos(sin⁻¹ x) を x の式で表し、x = −3/5 で成り立つことを確かめよ。

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1. 角を y とおきます。sin⁻¹ の値域により y は −π/2 から π/2 の間に保たれ、この範囲で余弦が負になることはありません：
  
  $y = sin^{- 1} x : sin y = x, - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2} \Rightarrow cos y \geq 0$
2. したがって根号の前には正の符号をとります：
  
  $cos y = + 1 - sin^{2} y = 1 - x^{2}$
3. x = −3/5 のとき：
  
  $cos (sin^{- 1} (- \frac{3}{5})) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{4}{5}$
解答

−1 から 1 までのすべての x について、± を伴わずに cos(sin⁻¹ x) = √(1 − x²) となります。

$cos (sin^{- 1} x) = 1 - x^{2}, - 1 \leq x \leq 1$
逆三角関数を含む方程式 2 ステップ
cos⁻¹ x = 2π/3 を解け。また、cos⁻¹ x = −π/3 を解け。

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1. 両辺の余弦をとります。2π/3 は値域に含まれているため、これがただひとつの解となります：
  
  $cos^{- 1} x = \frac{2 π}{3} \Rightarrow x = cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}$
2. cos⁻¹ が −π/3 を返すことはありません。値域の外にあるからです：
  
  $- \frac{π}{3} \in / [0, π]$
解答

前者の解は x = −1/2 であり、後者には解がありません。cos(−π/3) = 1/2 ですが、cos⁻¹(1/2) は π/3 です。

$x = - \frac{1}{2}; - \frac{π}{3} \in / [0, π] \Rightarrow \emptyset$

補充問題（答えのみ）

tan⁻¹(tan 2π/3) の値を求めよ。

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−π/3（2π/3 − π です）。

$tan^{- 1} (tan \frac{2 π}{3}) = - \frac{π}{3}$
cos⁻¹(cos(−2π/5)) の値を求めよ。

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2π/5（余弦関数は偶関数であるため）。

$cos^{- 1} (cos (- \frac{2 π}{5})) = \frac{2 π}{5}$
sin⁻¹(sin 4) の値を求めよ（4 はラジアン）。

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π − 4 ≈ −0.8584（4 が π/2 と 3π/2 の間にあるため）。

$sin^{- 1} (sin 4) = π - 4 \approx - 0.8584$
sin(cos⁻¹(−12/13)) の厳密な値を求めよ。

答えを表示

5/13（角は π/2 を超えますが、正弦はその範囲でも正だからです）。

$sin (cos^{- 1} (- \frac{12}{13})) = \frac{5}{13}$
tan(sin⁻¹ x) を x の式で表せ。

答えを表示

x/√(1 − x²)（ただし −1 < x < 1）。

$tan (sin^{- 1} x) = \frac{x}{1 - x ^{2}}, - 1 < x < 1$
−1 ≤ x ≤ 1 において sin⁻¹ x + cos⁻¹ x = π/2 であることを示し、x = −1/2 で成り立つことを確かめよ。

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y = sin⁻¹ x とおくと cos(π/2 − y) = sin y = x であり、π/2 − y は 0 と π の間にあるため、π/2 − y = cos⁻¹ x となります。

$sin^{- 1} (- \frac{1}{2}) + cos^{- 1} (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} = \frac{π}{2}$

sin⁻¹(sin θ) は円の半分で逆戻りする 🖖

sin⁻¹(sin 150°) を押すと、値は 30° になります。ここで θ を 90° から 270° まで動かしてみてください。θ を増やしているはずなのに、sin⁻¹(sin θ) は傾き −1 で 90° から −90° へと下がり続けます。この区間では 180° − θ を計算していることになるからです。正弦は 90° で 1 に達したあと反転しますから、その逆をたどる関数も一緒に引き返さなければなりません。対して余弦は 0° と 180° で向きを変えるため、−180° から 180° の間では cos⁻¹(cos θ) は |θ|、つまり V字を描きます。正接には反転がありません。漸近線のあいだの各区間でひたすら増え続けるので、tan⁻¹(tan θ) が逆戻りすることはなく、θ が 90° の奇数倍をまたぐたびに 180° ガクンと落ちるだけです。tan⁻¹(tan 135°) の計算も 135° − 180° = −45° にすぎません。

cos⁻¹ に sin⁻¹ の値域は流用できない 🖖

−90° から 90° の間では、余弦は負になりません。しかも 0 より大きく 1 未満のあらゆる値を、θ と −θ の二箇所で重複してとってしまいます。逆関数を定めるには、そのどちらも困るのです。−1 から 1 までのすべての値を、過不足なく一度きりとらなければなりません。だからこそ cos⁻¹ は、余弦が 1 から −1 へと単調に下がる円の上半分、0° から 180° を値域に選びます。その代償を払うのが、負の値を入力したときです。sin⁻¹(−1/2) は x 軸より下の −30° ですが、cos⁻¹(−√3/2) は 150° を返します。余弦が負だからといって負の角が出ることは決してなく、必ず 90° を超えた角になるのです。

cos(sin⁻¹ x) に ± は要らない 🖖

三角関数の相互関係では、√(1 − sin²θ) は cos θ の絶対値を与えるにすぎず、符号は象限を確かめて自分で決める必要がありました。ところが逆三角関数では、尋ねるまでもなく値域が最初から符号を決めてくれます。sin⁻¹ x は −90° から 90° の間に収まり、この区間で余弦が負になることは決してありません。したがって −1 から 1 までのすべての x について、cos(sin⁻¹ x) = √(1 − x²) がそのまま成り立ちます。角そのものが負であっても、x = −3/5 のときの値は +4/5 です。0° から 180° で正弦が負にならないため、sin(cos⁻¹ x) も同様です。cos⁻¹ の値域は第2象限を含むので正接が負になることはありますが、tan(cos⁻¹ x) = √(1 − x²)/x ではその符号を分母の x 自身が背負ってくれるため、ここでも ± を気にする必要はありません。tan(cos⁻¹(−3/5)) を押すと角は 126.8699°、正接は −4/3 になります。

学習の道すじ

三角関数の恒等式と方程式

参考文献 (1)

The domains and principal ranges of sin⁻¹, cos⁻¹ and tan⁻¹, sin⁻¹(sin x) = x only for −π/2 ≤ x ≤ π/2, the warning that sin⁻¹ x is not 1/sin x, and compositions such as cos(sin⁻¹ x) by a right triangle: J. Abramson, Precalculus 2e, OpenStax (2021), section 6.3, “Inverse Trigonometric Functions”.

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。