レッスン
理論 — 無理方程式チェッカー
無縁根とは、方程式の両辺を2乗した際に生じる解のうち、元の式を満たさない解のことです。これは計算ミスではなく、2乗する操作が不可逆であるため、2乗後の方程式が元の方程式とは実質的に異なる方程式（元の式よりも多くの値で成り立つ式）になるために発生します。
各記号の意味
a, b- 根号の中の数であり、
√(ax + b)を構成します — 初期設定では2と3です。 c, d- 右辺の直線を表す
cx + dです — ここでは共に1なので、方程式は√(2x+3) = x+1となります。 candidate- 2乗した方程式の根（解の候補）です。ここには
x ≈ −1.4142とx ≈ 1.4142の2つが存在します。 valid- 元の方程式に代入しても成立する解の候補です。
x ≈ 1.4142のみが当てはまります。
公式の導き方
- 根号
√(2x+3)は定義上、非負の平方根を意味します。そのため、元の方程式には数式表記に現れない隠れた条件が存在します。それは「右辺は負であってはならない」という条件です。 - 両辺を2乗すると、その条件が切り捨てられてしまいます。
√(2x+3) = x+1と2x+3 = (x+1)²は同値ではありません — 後者は、負の枝である√(2x+3) = −(x+1)が成り立つ場合にも満たされてしまうためです。 - したがって、2乗した方程式の根は双方の枝の解が混ざり合ったものとなります。各候補を元の式に代入して確かめる作業は単なる形式的な手続きではなく、両者を選別するための不可欠なステップです。
x ≈ −1.4142では右辺が負になるため、これは負の枝の解であり、元の方程式の解ではありません。
- 前提
- 実数のみを前提とし、平方根は主値（非負のもの）を指し、右辺は1次式であると仮定しています。複素数まで許容すると、無縁根という概念全体のあり様が変わってきます。
- 成り立たない場合
- 2乗によって何の条件も失われない場合もあり、それが検証の習慣を忘れやすくさせます。根号が定義される全領域で右辺がたまたま非負であれば、すべての候補が適解となり、確認作業が無駄に思えてしまうのです。この吟味（確認作業）は保険であり、その保険料の価値は実際に成果が得られる（無縁根が検出される）機会にのみ実感できます。
練習
自分で確かめる
まず答えを予想し、それから上のコントロールで確かめてください。予想を決めてから答えを開くこと。それが練習になる条件です。
-
三つのプリセットはいずれも、無縁解をちょうど一つ報告します。無縁解が一つもないと報告させることはできるでしょうか。
答えを表示
簡単にできます。a = 1、b = 0、c = 0.5、d = 0 と入力してください。これは √x = x/2 です。パネルは候補として x ≈ 0 と x ≈ 4 を挙げ、その両方を有効な解に置き、無縁解の欄には「None」と表示します。√x = x でも 0 と 1 で同じことが起こります。両辺を二乗する操作は、解を増やす*おそれ*があるだけです。実際に増えるのは、候補が右辺を負にするときに限られます。そのような点が満たしているのは、出発点の方程式ではなく y = −√(ax+b) — ツールが破線で描くもう一方の枝 — だからです。ここではどの候補も負にならないので、失われるものはありません。 -
既定のプリセットは二乗すると 1x² + 0x − 2 = 0 になり、対称な組 ±1.4142 を与えますが、ツールは −1.4142 を退けます。では a = 6、b = 12、c = 1、d = 3 と入力してください。同じ形の二次式 — 1x² + 0x − 3 = 0、候補 ±1.7321 — が得られますが、今度はツールが両方を受け入れます。何が決め手なのでしょうか。
答えを表示
各候補における右辺の符号であり、それだけです。既定の場合、直線は x + 1 で、x = −1.4142 では −0.4142 になります。平方根が負になることはあり得ないので、この点は破線の枝の上にあります。二つ目では直線が x + 3 で、x = −1.7321 でもまだ +1.2679 であり、√(6(−1.7321) + 12) = √1.6077 = 1.2679 — x が負であろうと、正真正銘の解です。どちらの場合も一次の項が消えるのは a = 2cd だからで (2 = 2·1·1、6 = 2·1·3)、これは代数についての事実にすぎず、どの解が生き残るかについては何も語りません。無縁解とは、間違って見える解でも、定義域の外にある解でもありません。直線が軸より下に落ちてしまった場所の解のことです。
全プロセスの詳細解説
-
√(x − 1) = x − 2 における無縁根の場合 7 ステップ
√(x − 1) = x − 2 を解き、解とならない根を生み出したステップを特定せよ。これは無縁根のケースである：a = 1, b = −1, c = 1, d = −2。
-
左辺の記号は主平方根を表すため、その値が負になることはない。このことは、いかなる代数的変形を行う前であっても右辺を制約する。すなわち、2 以上の x のみが解となり得る。
-
両辺を二乗する段階で情報が失われる。等しい値の二乗は等しいが、二乗が等しいことから言えるのは符号の違いを除いて等しいということだけである。この行以降の記述はすべて、本来問われていることよりも広い範囲の問いに答えるものとなる。
-
右辺を展開すると 2 次方程式が得られる。これが、2 つ目の根が現れる構造上の理由である。元の方程式には枝が 1 つしかなかったのに対し、二乗した方程式には 2 つの枝が存在するからである。
-
判別式は 25 − 20 = 5 であるため、候補となる 2 つの数はともに無理数である。これら 2 つの数値は、パネルの多項式の候補欄に表示されているものと完全に一致しており、いずれも二乗した方程式の真の根である。
-
大きい方の候補を検証する。被開方数は 2.618 であり、その主平方根は 1.618 となる。右辺もまた 1.618 である。両辺が一致するため、3.618 は解として残る。
-
次に小さい方の候補を検証する。左辺は 0.618 となり、右辺は −0.618 となる。大きさは同じで符号が反対である。これは丸め誤差によるものではない。1.382 は、根号記号によって切り捨てられた横向きの放物線の下半分である √(x − 1) = −(x − 2) の厳密な根であり、それが無縁根の行に入る理由である。
-
おそらく教わったであろう定義域の確認がここで何を意味するか注意されたい。二乗した方程式の任意の根において、被開方数は平方数である (x − 2)² に等しくなるため、どちらの候補においても非負となり、いずれも除外されない。この方程式の族全体において、被開方数のテストは何の機能も果たさず、右辺の符号のみが検証として機能する。
解答
x ≈ 3.618 であり、1.382 は惜しい誤差などではなく、別の方程式の厳密な解である。この問題が完全に回避できるのはいつかを考えてみよう。被開方数を x − 1 のままとし、右辺を x + d と置くと、二乗によって判別式 −4d − 3 を持つ f(x) = x² + (2d − 1)x + (d² + 1) = 0 が得られる。d = −0.75 を超えると実数の候補は一切存在しなくなる。候補が符号テストをクリアするのは x ≥ −d のときであり、放物線の頂点は常に −d の右側に位置するため、両方の根が基準をクリアするのはまさに f(−d) ≥ 0 のときである。そして f(−d) は d + 1 に帰着される。したがって、この方程式の族が偽りのない解を与えるのは −1 ≤ d ≤ −0.75 という狭い範囲のみである。d を −0.75 より大きくすると根は消滅し、−1 より小さくすると一方の根が無縁根となる。d = −2 ではこの範囲を大きく外れており、そのためまさに 1 つの候補が不適合となる必要があったのである。
-
参考文献 (2)
- Why squaring both sides produces solutions the original equation does not have: J. S. Zelkowski, "Making Sense of Extraneous Solutions." The Mathematics Teacher 106(6), 452–458, 2013.
- The idea has a longer history than the textbook treatment suggests: K. R. Manning, "Historically Speaking — A History of Extraneous Solutions." The Mathematics Teacher 63(2), 165–175, 1970.