三角関数の加法定理

A と B を度数で指定するか、試験問題のように三角関数の値と象限で指定し、A + B または A − B を選びましょう。図では、回転させた軸に沿って cos B、そこから直角方向へ ±sin B と進むと、点Pに着きます。表には加法定理による三角関数の計算が並びます。A と B がともに 15° の整数倍なら、正弦と余弦は根号を用いた厳密値でも表示されます。関係する正接がすべて定義されていれば、正接の厳密値も求められます。

正弦	$sin (A \pm B) = sin A cos B \pm cos A sin B$
余弦：符号は逆	$cos (A \pm B) = cos A cos B \mp sin A sin B$
正接	$tan (A \pm B) = \frac{tan A \pm tan B}{1 \mp tan A tan B}$

計算例 — 三角関数の加法定理

角の和・差	75°
Aの正弦	0.7071
Aの余弦	0.7071
Bの正弦	0.5
Bの余弦	0.866
正弦の加法定理	0.9659
余弦の加法定理	0.2588
正接の加法定理	3.7321

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レッスン

理論 — 三角関数の加法定理

三角関数の加法定理は、AとBの正弦・余弦を使って、A + BとA − Bの正弦・余弦・正接を求める公式です。

公式の導き方

座標軸をAだけ回転させます。回転後のx軸の向きは(cos A, sin A)、y軸の向きは(−sin A, cos A)です。この座標系でのPの角度はBなので、Pの位置は新しいx軸方向にcos B、y軸方向にsin B進んだところです。
$P = cos B (cos A, sin A) + sin B (- sin A, cos A)$
Pの座標を読み取ります。元のx軸から測ったPの角度はA + Bなので、座標はcos(A + B)とsin(A + B)です。どちらも二つの積の和・差で表せます。横方向はオレンジ色の辺、縦方向は青色の辺に対応します。
$cos (A + B) sin (A + B) = cos A cos B - sin A sin B = sin A cos B + cos A sin B$
Bを−Bに置き換えます。cos(−B) = cos B、sin(−B) = −sin Bなので、sin Bを含む項だけ符号が変わります。
$cos (A - B) sin (A - B) = cos A cos B + sin A sin B = sin A cos B - cos A sin B$
正弦を余弦で割ります。分子・分母の各項をcos A cos Bで割ると、商が正接に置き換わり、余弦どうしの積は1になります。この操作には、cos Aとcos Bがともにゼロでないことが必要です。
$tan (A + B) = \frac{sin A cos B + cos A sin B}{cos A cos B - sin A sin B} = \frac{tan A + tan B}{1 - tan A tan B}$

全プロセスの詳細解説

基本的な角の和から厳密値を求める 2 ステップ
sin 75°の厳密値を求めなさい。

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1. 75° = 45° + 30°と表せます。どちらの角も正弦と余弦の厳密値がわかるので、加法定理で展開します。
  
  $sin 7 5^{\circ} = sin 4 5^{\circ} cos 3 0^{\circ} + cos 4 5^{\circ} sin 3 0^{\circ}$
2. 値を代入し、分母を4にそろえます。
  
  $= \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6}{4} + \frac{2}{4}$
解答

sin 75° = (√6 + √2)/4 ≈ 0.9659。

$sin 7 5^{\circ} = \frac{6 + 2}{4} \approx 0.9659$
角の差から正接の厳密値を求める 2 ステップ
tan 15°の厳密値を、a + b√3の形で求めなさい。

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1. 15° = 60° − 45°とし、tan 60° = √3、tan 45° = 1を使います。
  
  $tan 1 5^{\circ} = \frac{tan 6 0 ^{\circ} - tan 4 5 ^{\circ}}{1 + tan 6 0 ^{\circ} tan 4 5 ^{\circ}} = \frac{3 - 1}{1 + 3}$
2. 分子と分母に√3 − 1を掛けて、分母を有理化します。
  
  $= \frac{( 3 - 1 ) ^{2}}{( 3 + 1 ) ( 3 - 1 )} = \frac{4 - 2 3}{2} = 2 - 3$
解答

tan 15° = 2 − √3 ≈ 0.2679。

$tan 1 5^{\circ} = 2 - 3 \approx 0.2679$
象限の条件から角の和の三角関数を求める 3 ステップ
sin A = 4/5でAは鈍角、cos B = −5/13で180° < B < 270°とする。sin(A + B)、cos(A + B)、tan(A + B)の値と、A + Bが属する象限を求めなさい。

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1. まず、sin² + cos² = 1から残りの値を求めます。符号は象限で決まります。第II象限では余弦が負、第III象限では正弦が負です。
  
  $cos A = - 1 - \frac{16}{25} = - \frac{3}{5}, sin B = - 1 - \frac{25}{169} = - \frac{12}{13}$
2. 加法定理に代入します。
  
  $sin (A + B) cos (A + B) = \frac{4}{5} (- \frac{5}{13}) + (- \frac{3}{5}) (- \frac{12}{13}) = \frac{- 20 + 36}{65} = \frac{16}{65} = (- \frac{3}{5}) (- \frac{5}{13}) - \frac{4}{5} (- \frac{12}{13}) = \frac{15 + 48}{65} = \frac{63}{65}$
3. 正弦も余弦も正になりました。A + Bは270°と450°の間にあるので、両方が正になる範囲は360°と450°の間、つまり第I象限です。正接は正弦を余弦で割って求めます。
  
  $tan (A + B) = \frac{16/65}{63/65} = \frac{16}{63}$
解答

sin(A + B) = 16/65 ≈ 0.2462、cos(A + B) = 63/65 ≈ 0.9692、tan(A + B) = 16/63 ≈ 0.254。A + Bは第I象限の角です。

$sin (A + B) = \frac{16}{65}, cos (A + B) = \frac{63}{65}, tan (A + B) = \frac{16}{63}$
正接の値から角の和を求める 2 ステップ
A、Bは鋭角で、tan A = 1/2、tan B = 1/3とする。電卓を使わずにA + Bを求めなさい。

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1. 正接の値を加法定理に代入します。
  
  $tan (A + B) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{5/6}{5/6} = 1$
2. どちらの正接も1より小さいので、AとBはともに45°より小さく、A + Bは0°と90°の間にあります。この範囲で正接が1になる角は45°だけです。
  
  $0^{\circ} < A + B < 9 0^{\circ}, tan (A + B) = 1 \Rightarrow A + B = 4 5^{\circ}$
解答

A + B = 45°。A ≈ 26.5651°、B ≈ 18.4349°は三角比の値をよく知っている角ではありませんが、その和は正確に求められました。

$A + B = 4 5^{\circ}$
tan(A + B)が定義されないとき 3 ステップ
A、Bは鋭角で、tan A = 2、tan B = 1/2とする。tan(A + B)はどうなるか。また、A + Bを求めなさい。

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1. 加法定理の分母を計算すると、ゼロになります。
  
  $1 - tan A tan B = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 0$
2. この分母はcos(A + B)/(cos A cos B)に等しく、cos A cos Bはゼロではありません。したがって、
  
  $1 - tan A tan B = \frac{cos ( A + B )}{cos A cos B} = 0 \Rightarrow cos (A + B) = 0$
3. A + Bは0°と180°の間にあり、この範囲で余弦が0になる角は90°だけです。
  
  $0^{\circ} < A + B < 18 0^{\circ} \Rightarrow A + B = 9 0^{\circ}$
解答

A + B = 90°なので、tan(A + B)は定義されません。AとBが鋭角のとき、tan A tan B = 1なら、必ず角の和は90°になります。

$A + B = 9 0^{\circ}, cos (A + B) = 0$
加法定理を逆に使ってまとめる 2 ステップ
cos 80° cos 20° + sin 80° sin 20°の厳密値を求めなさい。

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1. cos · cos + sin · sinは、cos(A − B)を展開した形です。A = 80°、B = 20°とすると、
  
  $cos 8 0^{\circ} cos 2 0^{\circ} + sin 8 0^{\circ} sin 2 0^{\circ} = cos (8 0^{\circ} - 2 0^{\circ})$
2. 80° − 20° = 60°なので、
  
  $= cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$
解答

cos 80° cos 20° + sin 80° sin 20° = cos 60° = 1/2。

$cos 8 0^{\circ} cos 2 0^{\circ} + sin 8 0^{\circ} sin 2 0^{\circ} = \frac{1}{2}$
恒等式を証明する 3 ステップ
sin(A + B) + sin(A − B) = 2 sin A cos Bを証明し、A = 45°、B = 30°で成り立つことを確かめなさい。

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1. 左辺の二つの正弦を、それぞれ加法定理で展開します。
  
  $sin (A + B) + sin (A - B) = (sin A cos B + cos A sin B) + (sin A cos B - cos A sin B)$
2. cos A sin Bを含む項が打ち消し合います。
  
  $= 2 sin A cos B$
3. 45°と30°を代入すると、左辺はsin 75° + sin 15°、右辺は2 sin 45° cos 30°です。
  
  $\frac{6 + 2}{4} + \frac{6 - 2}{4} = \frac{6}{2} = 2 \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2}$
解答

sin(A + B) + sin(A − B) = 2 sin A cos Bは、すべてのA、Bについて成り立ちます。45°と30°では、両辺とも√6/2 ≈ 1.2247です。

$sin (A + B) + sin (A - B) = 2 sin A cos B$
加法定理から倍角の公式へ 2 ステップ
加法定理でB = Aとおき、sin 2Aとcos 2Aの公式を導きなさい。また、sin A = 3/5でAが鈍角のとき、それぞれの値を求めなさい。

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1. B = Aとおくと、正弦の式の二つの積は等しくなり、余弦の式は平方の差になります。
  
  $sin 2 A = 2 sin A cos A, cos 2 A = cos^{2} A - sin^{2} A$
2. Aは鈍角なので、cos A = −4/5です。
  
  $sin 2 A = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot (- \frac{4}{5}) = - \frac{24}{25}, cos 2 A = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$
解答

sin 2A = −24/25 = −0.96、cos 2A = 7/25 = 0.28。2A ≈ 286.2602°は第IV象限の角で、正弦は負、余弦は正になります。

$sin 2 A = - \frac{24}{25}, cos 2 A = \frac{7}{25}$
加法定理を使って方程式を解く 3 ステップ
0° ≤ x < 360°の範囲で、方程式sin(x + 30°) = 2 cos xを解きなさい。

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1. 左辺を加法定理で展開します。
  
  $sin x cos 3 0^{\circ} + cos x sin 3 0^{\circ} = \frac{3}{2} sin x + \frac{1}{2} cos x$
2. cos xを含む項を右辺にまとめ、両辺をcos xで割ります。ここでcos xが0だと、方程式からsin xも0でなければなりません。両方が0になる角はないので、cos xで割ることができます。
  
  $\frac{3}{2} sin x = \frac{3}{2} cos x \Rightarrow tan x = 3$
3. 正接の値は180°ごとに繰り返すので、
  
  $x = 6 0^{\circ}, x = 6 0^{\circ} + 18 0^{\circ} = 24 0^{\circ}$
解答

x = 60°またはx = 240°。60°では両辺が1、240°では両辺が−1になります。

$x = 6 0^{\circ}, 24 0^{\circ}$

補充問題（答えのみ）

cos 105°の厳密値を求めなさい。

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(√2 − √6)/4 ≈ −0.2588

$cos 10 5^{\circ} = \frac{2 - 6}{4}$
tan 105°の厳密値を求めなさい。

答えを表示

−2 − √3 ≈ −3.7321

$tan 10 5^{\circ} = - 2 - 3$
A、Bは鋭角で、sin A = 5/13、cos B = 3/5とする。cos(A − B)を求めなさい。

答えを表示

56/65 ≈ 0.8615

$cos (A - B) = \frac{56}{65}$
sin 3x cos x − cos 3x sin xを、一つの三角関数で表しなさい。

答えを表示

sin 2x

$sin 3 x cos x - cos 3 x sin x = sin 2 x$
A、Bは鋭角で、tan A = 3、tan B = 1/2とする。A − Bを求めなさい。

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A − B = 45°

$A - B = 4 5^{\circ}$
0° ≤ x < 360°の範囲で、方程式cos(x − 60°) = sin xを解きなさい。

答えを表示

x = 75°またはx = 255°

$x = 7 5^{\circ}, 25 5^{\circ}$

加法定理は、回転を式に表したもの 🖖

座標軸を A だけ回転させると、新しい横軸から測った点Pの角度は B です。この軸に沿って cos B だけ進んだ点をQとし、そこから直角方向に sin B だけ進むとPに着きます。それぞれの移動を横方向と縦方向に分けてみましょう。横方向はまず cos A cos B、次に逆向きへ sin A sin B。縦方向は sin A cos B と cos A sin B です。Pの横座標は cos(A + B)、縦座標は sin(A + B) なので、加法定理が得られます。角が鋭角である必要はありません。辺の向きが反転すれば積の符号も変わり、そのまま計算に反映されるからです。sin A = 4/5, cos B = −5/13を押してみましょう。Aは鈍角、Bは第III象限の角で、Qは回転させた軸上の、Oより後ろ側に来ます。それでも同じように成分を足せば、Pの座標は(0.9692, 0.2462)と求まります。行列で表すと、(cos B, sin B)に角 A の回転行列を作用させたものが(cos(A + B), sin(A + B))です。二つの加法定理は、「Aだけ回転させてからBだけ回転させると、A + Bだけ回転させたことになる」という性質を表しています。二世紀のプトレマイオスは、正弦の代わりに弦の長さを用いていました。弧の和と差に対する弦の長さの規則は、正弦の二つの加法定理に対応します。彼はこれらの規則を使い、半度刻みの弦の表を作りました。

sin(A + B)は、ほとんどの場合sin A + sin Bとは異なる 🖖

sin 75° = sin(45° + 30°)を押してみましょう。sin 45° + sin 30° = 0.7071 + 0.5 = 1.2071は正弦がとりうる値の範囲を超えていますが、sin 75° = 0.9659です。加法定理では、それぞれの正弦にもう一方の角の余弦を掛けます。余弦の絶対値は最大でも1です。両者の差はsin A + sin B − sin(A + B) = 4 sin(A/2) sin(B/2) sin((A + B)/2)と因数分解できます。したがって等しくなるのは、A、B、A + Bのいずれかがちょうど整数周分の角になるときだけです。ほとんどの角の組では成り立ちませんが、120°と240°ではA + B = 360°となり、両辺とも0になります。

正接が定義されていても、加法定理が使えないことがある 🖖

A = 90°, B = 45°を押してみましょう。tan 135° = −1ですが、加法定理に代入するtan 90°は定義されないので、この式では値を求められません。原因は角そのものではなく、式を導く途中でcos A cos Bで割っていることにあります。cos 90° = 0だからです。tan Aが定義され、0でない範囲で分子と分母をtan Aで割ると、(1 + cot A tan B)/(cot A − tan B)となります。この形ならAが90°のときも使えます。cot 90° = 0を代入すれば、1/(0 − 1) = −1です。一方、正接そのものが定義されない場合もあります。tan A = 2, tan B = 1/2を押すと、分母の1 − tan A tan Bが0になります。この分母はcos(A + B)/(cos A cos B)に等しいので、cos(A + B)が0のとき、かつそのときに限って0になります。ここではA + B = 90°で、正接は定義されません。AとBが鋭角なら、tan A tan B = 1はB = 90° − Aを意味します。

学習の道すじ

三角関数の恒等式と方程式

参考文献 (2)

The sum and difference formulae for sine, cosine and tangent, the exact value of cos 75° from 45° + 30°, and the unit-circle distance proof of cos(α − β): J. Abramson, Precalculus 2e, OpenStax (2021), section 7.2, “Sum and Difference Identities”.
Insight block 1: Ptolemy (about AD 85 to 165) “used formulae for the Crd function which are analogous to our formulae for sin(a+b) and sin(a−b)” to build a table of chords “at intervals of 1/2 a degree”, in the first two books of the Almagest: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Claudius Ptolemy”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (April 1999).

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。