三角方程式の解き方

方程式と区間を入力してください。電卓で得られる主値、同じ一周内にあるもう一つの角（sinとcosの場合）、区間内のすべての解を求めます。それぞれの解は、曲線と水平線の交点、そして角の変化を表すらせんと解の方向を示す半直線の交点として確かめられます。

sin x = k、\|k\| ≤ 1	$x = α + 2 nπ, x = π - α + 2 nπ α = arcsin k$
cos x = k、\|k\| ≤ 1	$x = \pm α + 2 nπ, α = arccos k$
tan x = k、kは任意	$x = α + nπ, α = arctan k$

計算例 — 三角方程式の解き方

主値（電卓で得られる値）	17.46°
同じ一周内にあるもう一つの角	162.54°
一般解（nは任意の整数）	162.54° + 360°n
区間内の解	17.46°, 162.54°
解の個数	2

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レッスン

理論 — 三角方程式の解き方

三角方程式では、三角関数を含む式が指定された値を取る角を、与えられた区間内ですべて求めます。区間を限定せず、方程式を満たすすべての角を表したものが一般解です。nを任意の整数として、x = x₀ + n × 周期の形で表します。関数が取るべき値ごとに、この形の式が一つまたは二つ得られます。

公式の導き方

主値を求めます。α = arcsin kは、あらかじめ決められた範囲から電卓が返す一つの値です。指定した区間の外にあっても、この値を出発点に解を求められます。
$arcsin k arccos k arctan k \in [- 9 0^{\circ}, 9 0^{\circ}] \in [0^{\circ}, 18 0^{\circ}] \in (- 9 0^{\circ}, 9 0^{\circ})$
円の対称性から、同じ一周内にあるもう一つの角を求めます。直線y = kと円の交点に対応する角はαと180° − α、直線x = kではαと−αです。原点Oを通る傾きkの直線では、αとα + 180°になります。
$sin x = k : cos x = k : tan x = k : α, 18 0^{\circ} - α α, - α α, α + 18 0^{\circ}$
周期の整数倍を加えて必要な範囲の角を求め、xに戻します。f(ax + b)なら、u = ax + bとおきます。uの変化範囲の両端はa·x₁ + bとa·x₂ + bです。求めたuの値をそれぞれx = (u − b)/aに代入します。
$u = u_{0} + 36 0^{\circ} n (tan : u_{0} + 18 0^{\circ} n), x = \frac{u - b}{a}$
異なる関数や二乗の項があれば、一つの関数の二次方程式にまとめます。cos²xを1 − sin²xに置き換え、s = sin xとして解きます。得られたsのうち、−1以上1以下のものだけを残します。
$cos^{2} x = 1 - sin^{2} x, s = sin x, - 1 \leq s \leq 1$

前提: sin x = kとcos x = kが解を持つのは−1 ≤ k ≤ 1のときだけです。tan x = kは、どのkに対しても解を持ちます。

全プロセスの詳細解説

sin x = kを度数法で解く 3 ステップ
0° ≤ x ≤ 360°でsin x = 0.3を解き、小数点以下二桁まで求めなさい。

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1. 電卓で主値を求めます。
  
  $α = arcsin 0.3 = 17.4 6^{\circ}$
2. sinが正になるのは第一象限と第二象限です。同じ一周内にあるもう一つの角は180° − αなので、
  
  $x = 18 0^{\circ} - 17.4 6^{\circ} = 162.5 4^{\circ}$
3. どちらの角も、360°を加えるか引くと区間の外に出ます。したがって、解はこの二つです。
  
  $17.4 6^{\circ} + 36 0^{\circ} = 377.4 6^{\circ} > 36 0^{\circ}, 162.5 4^{\circ} - 36 0^{\circ} = - 197.4 6^{\circ} < 0^{\circ}$
解答

x = 17.46°、162.54°。

$x = 17.4 6^{\circ}, x = 162.5 4^{\circ}$
0を中心とする区間でcos x = kを解く 3 ステップ
−180° ≤ x ≤ 180°でcos x = −0.6を解きなさい。

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1. arccosが返す角は0°以上180°以下です。今回はcosが負なので、第二象限の角になります。
  
  $α = arccos (- 0.6) = 126.8 7^{\circ}$
2. もう一つの角は、x軸に関して対称な点に対応する−αです。
  
  $x = - α = - 126.8 7^{\circ}$
3. 両方とも区間内にあります。周期を一つ分加減すると区間の外に出るので、
  
  $126.8 7^{\circ} - 36 0^{\circ} = - 233.1 3^{\circ} < - 18 0^{\circ}, - 126.8 7^{\circ} + 36 0^{\circ} = 233.1 3^{\circ} > 18 0^{\circ}$
解答

x = ±126.87°。

$x = \pm 126.8 7^{\circ}$
電卓の値が区間外にあるtan x = k 2 ステップ
0° ≤ x ≤ 360°でtan x = −2を解きなさい。

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1. 電卓で得られる角は負で、指定された区間の外にあります。
  
  $α = arctan (- 2) = - 63.4 3^{\circ}$
2. tanの周期は180°です。180°を一度、二度と加えます。三度加えると476.57°となり、360°を超えます。
  
  $x = - 63.4 3^{\circ} + 18 0^{\circ} = 116.5 7^{\circ}, x = - 63.4 3^{\circ} + 36 0^{\circ} = 296.5 7^{\circ}$
解答

x = 116.57°、296.57°。電卓で得られる−63.43°は、この区間の解には含まれません。

$x = 116.5 7^{\circ}, x = 296.5 7^{\circ}$
弧度法で厳密な値を求める 3 ステップ
0 ≤ x ≤ 2πでsin x = −√3/2を解き、厳密な値で答えなさい。

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1. sin(π/3) = √3/2なので、主値はその符号を変えた角です。
  
  $α = arcsin (- \frac{3}{2}) = - \frac{π}{3}$
2. 同じ一周内にあるもう一つの角はπ − αです。
  
  $x = π - (- \frac{π}{3}) = \frac{4 π}{3}$
3. αは負なので、2πを加えて区間内に移します。
  
  $x = - \frac{π}{3} + 2 π = \frac{5 π}{3}$
解答

x = 4π/3、5π/3。

$x = \frac{4 π}{3}, x = \frac{5 π}{3}$
関数の中の角によって解の個数が変わる 3 ステップ
0° ≤ x ≤ 360°でsin(2x − 30°) = √3/2を解きなさい。

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1. u = 2x − 30°とおきます。xが0°から360°まで動くと、uはちょうど二周分変化します。
  
  $u = 2 x - 3 0^{\circ} : 2 \cdot 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = - 3 0^{\circ} \leq u \leq 2 \cdot 36 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 69 0^{\circ}$
2. 一周の間にsin u = √3/2となるのは60°と120°です。次の一周では、それぞれに360°を加えます。
  
  $u = 6 0^{\circ}, 12 0^{\circ}, 42 0^{\circ}, 48 0^{\circ}$
3. x = (u + 30°)/2を使い、xの値に戻します。
  
  $x = \frac{u + 3 0 ^{\circ}}{2} = 4 5^{\circ}, 7 5^{\circ}, 22 5^{\circ}, 25 5^{\circ}$
解答

解は四つで、x = 45°、75°、225°、255°。uを0°から360°の範囲だけで求めると、このうち二つしか得られません。

$x = 4 5^{\circ}, 7 5^{\circ}, 22 5^{\circ}, 25 5^{\circ}$
cos xの二次方程式で、不適な値を除く 3 ステップ
0° ≤ x ≤ 360°で2cos²x + 3cos x − 2 = 0を解きなさい。

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1. s = cos xとおき、因数分解します。
  
  $2 s^{2} + 3 s - 2 = (2 s - 1) (s + 2) = 0$
2. s = −2は二次方程式の解ですが、cosの値にはなりません。残る方程式は一つです。
  
  $s = \frac{1}{2}, s = - 2 < - 1$
3. cos x = 1/2よりα = 60°です。もう一つの角−60°は、区間内では300°になります。
  
  $x = 6 0^{\circ}, x = 36 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 30 0^{\circ}$
解答

x = 60°、300°。

$x = 6 0^{\circ}, x = 30 0^{\circ}$
sin²x + cos²x = 1で関数を一つにそろえる 3 ステップ
0° ≤ x ≤ 360°で2cos²x + 3sin x − 3 = 0を解きなさい。

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1. cosとsinが混在しています。cos²xを1 − sin²xに置き換え、sin xだけの式にします。
  
  $2 (1 - sin^{2} x) + 3 sin x - 3 = 0 \Rightarrow 2 sin^{2} x - 3 sin x + 1 = 0$
2. s = sin xとおき、因数分解します。
  
  $(2 s - 1) (s - 1) = 0, s = \frac{1}{2}, s = 1$
3. sin x = 1/2から30°と150°が得られます。sin x = 1ではαと180° − αが一致するので、90°だけです。
  
  $x = 3 0^{\circ}, 15 0^{\circ}; x = 9 0^{\circ}$
解答

解は三つで、x = 30°、90°、150°。

$x = 3 0^{\circ}, 9 0^{\circ}, 15 0^{\circ}$
割り算でtan xの方程式にする 2 ステップ
−π ≤ x ≤ πで√3 sin x = cos xを解きなさい。

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1. cos x = 0のときはsin x = ±1なので、左辺は±√3となり、右辺の0とは等しくなりません。解となる角ではcos x ≠ 0ですから、cos xで割っても解は失われません。
  
  $\frac{3 sin x}{cos x} = \frac{cos x}{cos x} \Rightarrow tan x = \frac{1}{3}$
2. α = arctan(1/√3) = π/6で、tanの周期はπです。
  
  $x = \frac{π}{6}, x = \frac{π}{6} - π = - \frac{5 π}{6}$
解答

x = −5π/6、π/6。

$x = - \frac{5 π}{6}, x = \frac{π}{6}$
一般解を求める 3 ステップ
cos 2x = −1/2の一般解を弧度法で求め、0から2πの間にある解をすべて挙げなさい。

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1. arccos(−1/2) = 2π/3です。cosの値が等しくなる角は±αの組で得られ、2πごとに繰り返します。
  
  $2 x = \pm \frac{2 π}{3} + 2 nπ$
2. 両辺を2で割ります。周期も半分になります。
  
  $x = \pm \frac{π}{3} + nπ, n \in Z$
3. 0から2πの間の解は、n = 0、1、2から得られます。
  
  $x = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}, \frac{5 π}{3}$
解答

x = ±π/3 + nπ（nは任意の整数）。0から2πの間では、π/3、2π/3、4π/3、5π/3です。

$x = \pm \frac{π}{3} + nπ, n \in Z$

補充問題（答えのみ）

0° ≤ x ≤ 360°でcos x = 0.25を解き、小数点以下二桁まで求めなさい。

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x = 75.52°、284.48°。電卓で得られる角は75.52°です。もう一つの角−75.52°は、区間内では284.48°になります。

$x = 75.5 2^{\circ}, x = 284.4 8^{\circ}$
0° ≤ x ≤ 360°でtan(x/2) = 3を解きなさい。解はいくつありますか。

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解は一つで、x = 143.13°です。関数の中の角x/2は0°から180°まで、半周分しか変化しません。この範囲でtanの値が3になるのは、x/2 = 71.57°だけです。

$x = 143.1 3^{\circ}$
0° ≤ x ≤ 360°で3sin²x − sin x − 2 = 0を解き、小数点以下二桁まで求めなさい。

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(3sin x + 2)(sin x − 1) = 0。sin x = 1から90°、sin x = −2/3から221.81°と318.19°が得られます。解は三つです。

$x = 9 0^{\circ}, 221.8 1^{\circ}, 318.1 9^{\circ}$
0 ≤ x ≤ 2πで2sin²x = cos x + 1を解き、厳密な値で答えなさい。

答えを表示

sin²x = 1 − cos²xを代入すると、2cos²x + cos x − 1 = 0となります。cos x = 1/2またはcos x = −1より、x = π/3、π、5π/3です。

$x = \frac{π}{3}, π, \frac{5 π}{3}$
sin 3x = 1/2の一般解を度数法で求めなさい。

答えを表示

3x = 30° + 360°nまたは3x = 150° + 360°nより、x = 10° + 120°nまたはx = 50° + 120°nです。

$x = 1 0^{\circ} + 12 0^{\circ} n, x = 5 0^{\circ} + 12 0^{\circ} n$

三つの規則を、円の対称性から 🖖

sinは円上の点の高さです。高さがkとなる二点はy軸に関して対称なので、sin x = kからはαと180° − αが得られます。cosは横座標で、対応する二点はx軸に関して対称です。角はαと−αになります。tanは原点Oと円上の点を結ぶ直線の傾きです。この直線は円の正反対にある二点で交わり、角はαとα + 180°になります。そのためtanは半周ごとに同じ値を取り、sinとcosは一周ごとに繰り返します。cos x = −0.6を押すと、鉛直な直線x = −0.6が円と交わる位置は±126.87°です。tan x = −2では、傾き−2の直線が116.57°と296.57°で円と交わります。この二点は半周離れています。

解を求める前に、個数を数える 🖖

sin(2x − 30°) = √3/2を押してみましょう。xが0°から360°まで動くと、関数の中の角2x − 30°は−30°から690°まで、ちょうど二周分変化します。らせんは一周ごとに、解の方向を示す二本の半直線をそれぞれ一度ずつ横切ります。具体的な値を求める前に、解が四つあるとわかります。sin u = √3/2を0°から360°の範囲だけで解くと、u = 60°、120°からx = 45°、75°を得たところで終わり、二つの解を取りこぼします。整数周分の範囲で片方の端だけを含めて数えると、sinとcosは−1 < k < 1のとき一周あたりちょうど二つの解を持ちます。tanも周期が半周なので、どのkでも一周あたり二つです。k = ±1では、sinとcosの二点が一つに重なります。また、解が区間の端と一致する場合、その端を含む≤なら数え、含まない<なら数えません。

sin xで割ると、解が消えることがある 🖖

2 sin x cos x = sin xは、2 cos x = 1と簡単にできそうです。これを0°から360°の範囲で解くと、60°と300°が得られます。ただし、sin xで割るにはsin x ≠ 0が必要です。0°、180°、360°ではもとの式の両辺が0になるので、この三つの角も解です。割り算によって取りこぼしてしまいました。因数分解すれば、すべての解を残せます。sin x (2 cos x − 1) = 0より、sin x = 0またはcos x = 1/2となり、解は二つではなく五つです。式で割ってよいのは、その式が0になるときにもとの方程式が成り立たないと確認できた場合です。√3 sin x = cos xでは、cos x = 0のときsin x = ±1なので、左辺は±√3となり、等式は成り立ちません。したがって、cos xで割ってtan x = 1/√3としても解は失われません。

学習の道すじ

三角関数の恒等式と方程式

参考文献 (1)

Solving trigonometric equations on an interval and in general (adding 2πk to an initial solution), with multiple angles such as sin 2x, equations in quadratic form, and fundamental identities used first: J. Abramson, Precalculus 2e, OpenStax (2021), section 7.5, “Solving Trigonometric Equations”.

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。