五角数定理

オイラーの五角数定理：(1 − x)(1 − x²)(1 − x³)… = 1 − x − x² + x⁵ + x⁷ − x¹² − x¹⁵ + … であり、正、負、ゼロのすべての整数 k に対する (−1)ᵏ x^(k(3k − 1)/2) の和です。指数は一般五角数であり、すべての係数は0、+1、または−1になります。

各記号の意味

p(n)

n の分割数：順序を問わず、n を正の整数の和として表す方法の数

D₊(n), D₋(n)

n を互いに異なる部分に分ける分割のうち、部分の数が偶数個のもの、および奇数個のもの

k(3k ∓ 1)/2

一般五角数 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, …

公式の導き方

1. 各係数が偶数引く奇数になる理由。 (1 − x)(1 − x²)(1 − x³)… を展開するということは、それぞれの括弧から 1 か −xᵏ のどちらかを選ぶ操作にほかなりません。いくつかの括弧から −xᵏ を選ぶと、その k の合計が x の指数となり、選択ひとつにつきマイナスの符号がひとつ掛かります。したがって、n を偶数個の異なる正の整数の和で表す方法がひとつ見つかるごとに xⁿ の係数には +1 が加わり、奇数個の和で見つかるごとに −1 が加わります。定理によれば、n が五角数でない限りこの差はゼロになります。例外である五角数のときは (−1)ᵏ です。
2. フランクリンの操作がそれらをペアにする理由。行の長さがすべて異なる図において、最小の部分を s とし、傾きを g とします。傾きとは、上から数えて1ずつ減っていく行がいくつあるかを示します。s ≤ g の場合は、一番下の行を取り外し、上部の s 個の行の末尾にドットを一つずつ追加します。s > g の場合は、上部の g 個の行の末尾からドットを一つずつ取り外し、それらからなる長さ g の新しい一番下の行を作ります。どちらの場合も、行の長さは異なるままで、合計は n に保たれます。行の数は1だけ変化するため偶数と奇数が入れ替わり、同じ操作をもう一度行うと元に戻ります。この操作が行き詰まるのは、一番下の行と傾きがドットを共有し、かつ s = g または s = g + 1 となる場合のみです。これらの図は k + (k + 1) + … + (2k − 1) と (k + 1) + … + 2k であり、その合計はそれぞれ k(3k − 1)/2 と k(3k + 1)/2 になります。
3. 定理からp(n)へ。重複を許す n のすべての分割は、Σ p(n) xⁿ = 1/((1 − x)(1 − x²)(1 − x³)…) によって数えられます。両辺にその積、すなわち五角数の級数を掛けます。(1 − x − x² + x⁵ + x⁷ − x¹² − …) × Σ p(n) xⁿ = 1。n ≥ 1 の場合、右辺の xⁿ の係数は0になるため、p(n) − p(n − 1) − p(n − 2) + p(n − 5) + p(n − 7) − … = 0 となります。これがオイラーの漸化式であり、その項数は √n 程度でしか増加しません。