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Deux fois plus haut, c'est quatre fois plus de peinture et huit fois plus de béton
Une pizza de 16 pouces contient 78 % de pizza en plus qu'une pizza de 12 pouces. Presque personne ne dit 78 %, et c'est dans l'écart entre ce que l'on répond et ces 78 % que loge beaucoup d'argent.
Une pizza de diamètre double, ce sont quatre pizzas. Pas deux.
C'est le moyen le plus sûr de prendre en défaut un adulte par ailleurs à l'aise avec les nombres, et l'erreur n'est pas une erreur de calcul. Personne ne se trompe quand on lui demande combien fait 2 au carré. La faute survient plus tôt, à l'étape où se forme l'image mentale de « deux fois plus grand », à laquelle on attribue discrètement le nombre 2.
La règle
Agrandissez une figure d'un facteur k, chaque longueur multipliée par k, chaque angle laissé intact : trois choses se produisent à trois vitesses différentes.
- Chaque longueur est multipliée par k : côtés, périmètres, diagonales, circonférences.
- Chaque aire est multipliée par k² : surfaces, sections, emprises au sol, quantité de peinture.
- Chaque volume est multiplié par k³ : contenance, masse à densité constante, quantité de béton.
- Chaque angle reste inchangé. C'est ce que veut dire « même forme ».
Euclide énonce la moitié « aire » du résultat pour les triangles dans les Éléments, VI.19 : « les triangles semblables sont entre eux en raison doublée des côtés homologues », la « raison doublée » désignant chez lui le carré du rapport. Il l'étend aux polygones semblables en général en VI.20.
Le k² peut se compter au lieu de s'affirmer. Agrandissez un triangle d'un facteur entier et le grand se découpe en exactement k² copies du petit : quatre au double, neuf au triple, seize au quadruple. Le Similar Triangles Lab trace ce découpage, si bien que le facteur se compte au lieu de s'apprendre par cœur.
Là où cela coûte de l'argent
Peinture et matériaux. Une maquette à l'échelle 1:2 demande le quart du revêtement, pas la moitié. Chiffrez la remise en peinture d'un bâtiment deux fois plus haut que le précédent : il vous faudra quatre fois plus de peinture, à forme égale.
Pizza et café. Une pizza de 16 pouces a 1,78 fois l'aire d'une pizza de 12 pouces : elle vaut donc 78 % de plus, et non 33 % de plus. Une tarification qui suppose la linéarité se trompe systématiquement, à l'avantage du vendeur, dans presque tous les points de vente à emporter du monde.
Images. Doublez la largeur d'une photographie et il vous faut quatre fois plus de pixels, quatre fois plus de stockage et à peu près quatre fois plus de calcul. C'est pourquoi un ticket d'apparence anodine, « prenons en charge les écrans Retina », n'est pas un petit ticket.
Chauffage et climatisation. La chaleur se perd par la surface (k²) et se stocke dans le volume (k³) : le rapport surface/volume décroît donc en 1/k. Un grand bâtiment perd proportionnellement moins de chaleur qu'un petit de même forme ; un petit animal en perd proportionnellement plus ; un glaçon pilé fond plus vite qu'un glaçon intact de même masse totale, parce que le piler multiplie la surface sans toucher au volume.
Là où cela empêche des choses d'exister
L'écart entre k² et k³ n'est pas qu'une affaire de comptabilité. Il fixe des limites strictes à ce qui peut se construire et à ce qui peut vivre.
La résistance d'une patte, d'un os ou d'une colonne dépend de son aire de section, en k². Le poids qu'elle doit porter dépend du volume, en k³. Agrandissez un animal d'un facteur dix sans toucher à ses proportions : il devient mille fois plus lourd tandis que ses os ne deviennent que cent fois plus résistants. La contrainte dans l'os est multipliée par dix.
C'est pourquoi l'éléphant n'est pas une gazelle agrandie. Ses pattes sont proportionnellement bien plus épaisses, tenues plus droites sous lui, et il ne peut pas sauter. C'est pourquoi les insectes géants du cinéma sont impossibles : une fourmi portée à la taille d'un cheval serait écrasée par son propre poids bien avant que sa respiration trachéenne ne lâche. Galilée l'avait établi en 1638, dans le Discours concernant deux sciences nouvelles, en dessinant l'os absurdement épaissi qu'exigerait un grand animal.
C'est pourquoi les très grands navires sont, structurellement, d'autres objets que les petits plutôt que des versions agrandies, et pourquoi mettre un pont à l'échelle ne consiste jamais à multiplier les plans.
Pourquoi l'erreur résiste si bien
Parce que « deux fois plus grand » est une expression de la perception, et que la perception n'est étalonnée dans aucune des trois unités.
Montrez à quelqu'un deux disques dont l'un a quatre fois l'aire de l'autre : il ne répondra pas « quatre fois ». Il dira quelque chose de plus proche de deux et demi. La grandeur perçue ne suit pas linéairement la grandeur physique : elle obéit à une loi de puissance, et pour l'aire l'exposant mesuré dans la littérature psychophysique est nettement inférieur à un, de l'ordre de 0,7 à 0,9 selon la tâche. L'erreur a donc une direction constante. On sous-estime systématiquement de combien la plus grande des deux choses est plus grande, d'où le caractère trompeur des graphiques à bulles, et leur caractère bien plus trompeur encore lorsque le logiciel dimensionne les bulles par le diamètre au lieu de l'aire, ce qui empile une seconde mise au carré sur un biais perceptif qui pointait déjà dans le même sens.
L'arithmétique ne répare pas un biais perceptif. Une image, peut-être. Si l'on dessine les quatre copies à l'intérieur du triangle doublé au lieu d'écrire ×4 à côté, c'est que le lecteur n'échoue pas à multiplier : il échoue à voir.
Un réflexe à prendre
Quand on vous dit qu'une chose fait « le double », demandez laquelle des trois grandeurs est en jeu. Le double en longueur, le quadruple en aire et l'octuple en volume se disent tous « deux fois plus grand » dans la langue courante, et un facteur quatre sépare les deux extrêmes.