これは機械翻訳であり、原文は英語です。 原文を読む
高さが2倍ならペンキは4倍、コンクリートは8倍
16インチのピザは12インチのピザより78%多い。78%と答える人はほとんどおらず、人が口にする数と78%との隔たりに、たいへんな額の金が住んでいる。
直径が2倍のピザは、ピザ4枚ぶんである。2枚ではない。
数に強いはずの大人をつまずかせる方法として、これがいちばん確実だ。しかも誤りは計算の誤りではない。「2の2乗は」と聞かれて間違える人はいない。誤りはもっと手前、「2倍の大きさ」という心象が形づくられ、そこに 2 という数がそっと割り当てられる段階で起きている。
規則
図形を k 倍に拡大する。長さはすべて k 倍にし、角はそのままにする。すると三つのことが三つの異なる割合で起きる。
- 長さはすべて k 倍になる。辺、周、対角線、円周。
- 面積はすべて k² 倍になる。表面、断面、底面積、必要なペンキの量。
- 体積はすべて k³ 倍になる。中身、密度が一定なら質量、必要なコンクリートの量。
- 角はすべて変わらない。「同じ形」とはそういうことである。
ユークリッドはこのうち面積についての半分を三角形について『原論』第6巻命題19で述べている。「相似な三角形どうしは対応する辺の二乗比をなす」というもので、「二乗比」は比の平方を指す彼の言い方である。命題20では、これを相似な多角形一般へ広げている。
k² は、主張するのではなく数えられるものにできる。三角形を整数倍に拡大すると、大きいほうはちょうど k² 個の小さいほうに切り分けられる。2倍で4個、3倍で9個、4倍で16個。Similar Triangles Lab はその分割を描くので、倍率は教わるものではなく数えるものになる。
金がかかるところ
ペンキと材料。 1:2 の模型に要る表面の塗料は、半分ではなく4分の1である。前回より高さが2倍の建物の塗り直しを見積もるなら、形が同じであるかぎりペンキは4倍要る。
ピザとコーヒー。 16インチのピザの面積は12インチのものの1.78倍なので、値打ちは33%増しではなく78%増しである。線形を前提にした値付けは体系的に間違っており、その間違いは売る側に有利に働く。世界じゅうのほとんどの持ち帰り店で、そうなっている。
画像。 写真の幅を2倍にすると、画素は4倍、保存容量は4倍、処理もおよそ4倍要る。「Retinaディスプレイに対応しよう」という無害そうなチケットが小さなチケットでないのは、これが理由である。
暖房と冷房。 熱は表面(k²)から逃げ、体積(k³)に蓄えられるので、表面積と体積の比は 1/k で減っていく。同じ形なら、大きな建物は小さな建物より熱の逃げる割合が小さく、小さな動物は逃げる割合が大きい。砕いた氷は同じ質量の塊よりも速く溶ける。砕くことは体積に触れずに表面だけを増やすからである。
存在そのものを止めるところ
k² と k³ の分かれ目は、単なる勘定の問題ではない。何が建てられ、何が生きられるかに厳しい上限を課している。
脚や骨や柱の強さを決めるのは断面積、すなわち k² である。それが支えなければならない重さを決めるのは体積、すなわち k³ である。動物を比を変えずに10倍に拡大すると、重さは1000倍になるのに骨の強さは100倍にしかならない。骨にかかる応力は10倍になる。
ゾウが拡大されたガゼルでないのは、これが理由である。脚は比としてはるかに太く、体の真下によりまっすぐ立てられており、跳ぶことができない。映画に出てくる巨大な昆虫がありえないのも同じ理由だ。馬の大きさに拡大されたアリは、気管による呼吸が破綻するよりずっと前に自分の体重に押しつぶされる。ガリレオは1638年、『新科学対話』でこれを導き、大きな動物が必要とするであろう、ばかげて太い骨の絵を描いている。
きわめて大きな船が小さな船を大きくしたものではなく構造として別の物体であるのも、橋の設計の拡大が図面に数を掛ける作業では決してないのも、同じ理由である。
この誤りがしぶとい理由
「2倍の大きさ」が知覚についての言い回しであり、知覚は三つの単位のどれにも較正されていないからである。
片方の面積がもう片方の4倍である円を二つ見せても、多くの人は「4倍」とは言わない。2.5倍に近い数を言う。知覚される量は物理的な量に線形には追随せず、べき法則に従う。面積についてこの指数は、精神物理学の文献で測られたかぎり1をかなり下回り、課題にもよるがおよそ0.7から0.9である。その結果、誤りには一定の向きがつく。人は大きいほうがどれだけ大きいかを体系的に過小評価する。バブルチャートが誤解を招くのはこのためであり、ソフトウェアが面積ではなく直径でバブルの大きさを決めているとき誤解がはるかにひどくなるのもこのためだ。すでに同じ向きを指している知覚の偏りの上に、もう一度の二乗が積み上がるからである。
算数は知覚の偏りを直さない。図なら直せるかもしれない。2倍にした三角形の内側に4つの複製を描き、隣に ×4 と書かないのは、読み手が掛け算に失敗しているのではなく、見ることに失敗しているからである。
目安
誰かが「大きさが2倍」と言ったら、三つのうちどれのことかを尋ねるとよい。長さが2倍、面積が4倍、体積が8倍は、日常の言葉ではどれも「2倍の大きさ」であり、両端のあいだには4倍の開きがある。