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El doble de alto son cuatro veces la pintura y ocho veces el hormigón
Una pizza de 16 pulgadas tiene un 78 % más de pizza que una de 12. Casi nadie dice 78 %, y en la distancia entre lo que la gente dice y ese 78 % vive muchísimo dinero.
Una pizza del doble de diámetro son cuatro pizzas. No dos.
Es la forma más fiable de pillar a un adulto por lo demás competente con los números, y el fallo no está en el cálculo. Nadie a quien se le pregunte "cuánto es 2 al cuadrado" se equivoca. El fallo ocurre antes, en el paso donde se forma la imagen mental de "el doble de grande" y se le asigna en silencio el número 2.
La regla
Escala una figura por un factor k, con cada longitud multiplicada por k y cada ángulo intacto, y ocurren tres cosas a tres ritmos distintos.
- Toda longitud queda multiplicada por k: lados, perímetros, diagonales, circunferencias.
- Toda área queda multiplicada por k²: superficies, secciones, huellas en planta, la cantidad de pintura.
- Todo volumen queda multiplicado por k³: contenidos, masa a densidad fija, la cantidad de hormigón.
- Todo ángulo permanece igual. Eso es lo que significa "la misma forma".
Euclides enuncia la mitad de esto referida al área, para triángulos, en Elementos VI.19: "los triángulos semejantes guardan entre sí la razón duplicada de sus lados correspondientes", donde "razón duplicada" es su manera de decir el cuadrado de la razón. En VI.20 lo extiende a los polígonos semejantes en general.
El k² se puede contar en lugar de afirmarlo. Al escalar un triángulo por un número entero, el grande se corta en exactamente k² copias del pequeño: cuatro al duplicar, nueve al triplicar, dieciséis al cuadruplicar. El Similar Triangles Lab dibuja esa subdivisión, así que el factor es algo que se cuenta y no algo que a uno le cuentan.
Dónde cuesta dinero
Pintura y materiales. Una maqueta a 1:2 necesita la cuarta parte del recubrimiento, no la mitad. Al presupuestar el repintado de un edificio del doble de altura que el anterior harán falta cuatro veces la pintura, suponiendo que la forma sea la misma.
Pizza y café. Una pizza de 16 pulgadas tiene 1,78 veces el área de una de 12, de modo que vale un 78 % más y no un 33 % más. Un precio que supone linealidad se equivoca de forma sistemática, a favor de quien vende, en casi todos los locales de comida para llevar del mundo.
Imágenes. Al duplicar el ancho de una fotografía hacen falta cuatro veces los píxeles, cuatro veces el almacenamiento y aproximadamente cuatro veces el procesamiento. Por eso un ticket de aspecto inofensivo como "vamos a dar soporte a las pantallas retina" no es un ticket pequeño.
Calefacción y refrigeración. El calor se pierde por la superficie (k²) y se almacena en el volumen (k³), así que la relación superficie-volumen cae como 1/k. Un edificio grande pierde proporcionalmente menos calor que uno pequeño de la misma forma; un animal pequeño pierde proporcionalmente más; un cubito de hielo triturado se derrite antes que uno entero de la misma masa total, porque triturarlo multiplica la superficie sin tocar el volumen.
Dónde impide que las cosas existan
La separación entre k² y k³ no es solo una cuestión contable: fija límites duros a lo que se puede construir y a lo que puede vivir.
La resistencia de una pata, un hueso o una columna la manda su sección transversal, que va como k². El peso que debe soportar lo manda el volumen, que va como k³. Agranda un animal por un factor de diez sin cambiar sus proporciones y se vuelve mil veces más pesado mientras que sus huesos solo se vuelven cien veces más resistentes. La tensión en el hueso se multiplica por diez.
Por eso un elefante no es una gacela agrandada. Tiene las patas proporcionalmente mucho más gruesas, más rectas bajo el cuerpo, y no puede saltar. Por eso son imposibles los insectos gigantes del cine: una hormiga del tamaño de un caballo quedaría aplastada por su propio peso mucho antes de que le fallara la respiración traqueal. Galileo lo resolvió en 1638, en las Dos nuevas ciencias, y dibujó el hueso absurdamente engrosado que necesitaría un animal grande.
Por eso los barcos muy grandes son, estructuralmente, objetos distintos de los pequeños en vez de versiones mayores de ellos, y por eso escalar el diseño de un puente nunca consiste en multiplicar los planos.
Por qué el error es tan resistente
Porque "el doble de grande" es una expresión sobre la percepción, y la percepción no está calibrada en ninguna de las tres unidades.
Ante dos círculos en los que uno tiene cuatro veces el área del otro, la mayoría no dirá "cuatro veces", sino algo más cercano a dos veces y media. La magnitud percibida no sigue linealmente a la magnitud física: obedece a una ley potencial, y para el área el exponente medido en la literatura psicofísica queda bastante por debajo de uno, en torno a 0,7 o 0,9 según la tarea. La consecuencia es que el error tiene una dirección constante. La gente subestima de forma sistemática cuánto mayor es lo mayor, y de ahí que los gráficos de burbujas engañen, y que engañen mucho más cuando el programa dimensiona las burbujas por el diámetro en vez de por el área, lo que apila un segundo cuadrado sobre un sesgo perceptivo que ya apuntaba en la misma dirección.
La aritmética no repara un sesgo perceptivo. Un dibujo quizá sí. La razón para dibujar las cuatro copias dentro del triángulo duplicado, en lugar de escribir ×4 al lado, es que al lector no le falla la multiplicación, le falla la vista.
Una regla práctica
Cuando alguien diga que algo es "el doble de grande", conviene preguntar a cuál de las tres cosas se refiere. El doble de longitud, cuatro veces el área y ocho veces el volumen son todos "el doble de grande" en el habla corriente, y entre los extremos hay un factor de cuatro.