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O dobro da altura são quatro vezes a tinta e oito vezes o betão
Uma piza de 16 polegadas tem mais 78% de piza do que uma de 12. Quase ninguém diz 78%, e é na distância entre o que as pessoas dizem e esses 78% que mora muito dinheiro.
Uma piza com o dobro do diâmetro são quatro pizas. Não duas.
É a maneira mais fiável que existe de apanhar em falso um adulto que, de resto, lida bem com números, e o erro não é de cálculo. Ninguém a quem se pergunte "quanto é 2 ao quadrado" responde mal. O erro acontece antes, no passo em que se forma a imagem mental de "o dobro do tamanho" e se lhe atribui, sem dar por isso, o número 2.
A regra
Amplie uma figura por um fator k, com todos os comprimentos multiplicados por k e todos os ângulos deixados em paz, e acontecem três coisas a três ritmos diferentes.
- Todo o comprimento fica multiplicado por k. Lados, perímetros, diagonais, circunferências.
- Toda a área fica multiplicada por k². Superfícies, secções, áreas de implantação, a quantidade de tinta.
- Todo o volume fica multiplicado por k³. Conteúdos, massa a densidade constante, a quantidade de betão.
- Todo o ângulo fica na mesma. É isso que quer dizer "a mesma forma".
Euclides enuncia a metade que diz respeito à área, para triângulos, nos Elementos VI.19: "os triângulos semelhantes estão entre si na razão dobrada dos lados correspondentes", sendo "razão dobrada" a expressão dele para o quadrado da razão. Em VI.20 estende-a aos polígonos semelhantes em geral.
O k² pode ser contado em vez de afirmado. Amplie um triângulo por um número inteiro e o grande recorta-se em exatamente k² cópias do pequeno: quatro no dobro, nove no triplo, dezasseis no quádruplo. A Similar Triangles Lab desenha essa subdivisão, para que o fator seja uma coisa que se conta e não uma coisa que nos dizem.
Onde custa dinheiro
Tinta e materiais. Uma maqueta a 1:2 leva um quarto do revestimento de superfície, não metade. Orce a repintura de um edifício com o dobro da altura do anterior e precisa de quatro vezes a tinta, admitindo que a forma é a mesma.
Pizas e cafés. Uma piza de 16 polegadas tem 1,78 vezes a área de uma de 12, pelo que vale mais 78% e não mais 33%. Preços que assumem linearidade estão sistematicamente errados, a favor de quem vende, em quase todas as casas de take-away do mundo.
Imagens. Duplique a largura de uma fotografia e precisa de quatro vezes os pixels, quatro vezes o armazenamento e mais ou menos quatro vezes o processamento. É por isto que uma tarefa de aspeto inofensivo, do género "vamos suportar ecrãs retina", não é uma tarefa pequena.
Aquecimento e arrefecimento. O calor perde-se pela superfície (k²) e guarda-se no volume (k³), portanto a razão entre superfície e volume cai com 1/k. Um edifício grande perde proporcionalmente menos calor do que um pequeno com a mesma forma; um animal pequeno perde proporcionalmente mais; o gelo picado derrete mais depressa do que um cubo intacto com a mesma massa total, porque picá-lo multiplica a superfície sem tocar no volume.
Onde impede coisas de existirem
A separação entre k² e k³ não é só uma questão de contabilidade. Fixa limites duros ao que pode ser construído e ao que pode viver.
A resistência de uma perna, de um osso ou de uma coluna é governada pela área da secção transversal, k². O peso que ela tem de aguentar é governado pelo volume, k³. Amplie um animal por um fator de dez sem lhe mexer nas proporções e fica mil vezes mais pesado, enquanto os ossos ficam apenas cem vezes mais resistentes. A tensão no osso sobe dez vezes.
É por isso que um elefante não é uma gazela ampliada. Tem as pernas proporcionalmente muito mais grossas, aprumadas por baixo do corpo, e não salta. É por isso que os insetos gigantes dos filmes são impossíveis: uma formiga do tamanho de um cavalo seria esmagada pelo próprio peso muito antes de a respiração traqueal a deixar ficar mal. Galileu chegou a esta conclusão em 1638, nas Duas Novas Ciências, e desenhou o osso absurdamente engrossado de que um animal grande precisaria.
É por isso que os navios muito grandes são objetos estruturalmente diferentes dos pequenos e não versões aumentadas deles, e que ampliar o projeto de uma ponte nunca se resolve multiplicando os desenhos.
Porque é que o erro dura tanto
Porque "o dobro do tamanho" é uma expressão sobre perceção, e a perceção não está calibrada em nenhuma das três unidades.
Mostre a alguém dois círculos em que um tem quatro vezes a área do outro e quase ninguém diz "quatro vezes". Dizem qualquer coisa mais perto de duas vezes e meia. A grandeza percebida não acompanha linearmente a grandeza física: segue uma lei de potência e, no caso da área, o expoente medido na literatura de psicofísica fica bastante abaixo de um, à volta de 0,7 a 0,9 conforme a tarefa. A consequência é que o erro tem sempre a mesma direção. As pessoas subestimam de forma sistemática quanto maior é a coisa maior, e é por isso que os gráficos de bolhas enganam, e enganam muito mais quando o software dimensiona as bolhas pelo diâmetro em vez de as dimensionar pela área, o que empilha um segundo quadrado por cima de um enviesamento percetivo que já apontava no mesmo sentido.
A aritmética não repara um enviesamento da perceção. Uma imagem talvez repare. A razão para desenhar as quatro cópias dentro do triângulo duplicado, em vez de escrever ×4 ao lado, é que o leitor não está a falhar a multiplicação. Está a falhar a ver.
Uma regra prática
Quando alguém disser que uma coisa tem "o dobro do tamanho", pergunte a qual das três se refere. O dobro do comprimento, o quádruplo da área e o óctuplo do volume são todos "o dobro do tamanho" na fala corrente, e entre os extremos vão quatro vezes de diferença.